基于深度學習的期末復習課堂教學模式探究
——以“二次函數”復習第一課時為例

張麗珊

? 福建省廈門市禾山中學

1 文本分析

二次函數屬于函數與方程,是初中代數領域的重要內容,本節課重點復習二次函數的定義、圖象與性質等基礎知識,引導學生將知識點梳理成知識結構圖,難點在于拓展遷移應用函數的圖象與性質解決問題.

2 學情分析

學生已復習了“方程”“一次函數”“反比例函數”,在此基礎上系統梳理二次函數解析式的三種表達方式,建構知識體系,發現知識的“新內涵”,進而獲得研究函數的通用方法,類比歸納總結,幫助學生領悟數學知識,提升深度學習能力[1].

3 目標解析

(1) 知識技能:二次函數的定義、圖象與性質.

(2)數學思想:數形結合思想、特殊到一般、分類思想、類比歸納思想.

(3)數學素養:模型意識,研究函數的方法;結合圖象,發揮好幾何直觀的作用[2].

4 教學實施

活動一：課前診斷 (利用基礎題,了解學生對雙基的掌握情況).

(Ⅰ)二次函數的定義

概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的函數,叫做二次函數.其中x是自變量,a,b,c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.

需要注意的是:函數解析式是整式;整理后自變量的最高次數是2;二次項系數不等于0.

(1)二次函數y=-x2+2x的二次項系數是______,一次項系數是______,常數項是______.

(2)已知函數y=(k2-9)x2+(k+3)x+17,當k為何值時,該函數為一次函數?當k為何值時,該函數為二次函數?

易錯點:忽略二次項系數不等于0.

(Ⅱ)二次函數的圖象與性質

(3)拋物線y=x2-4的頂點坐標是______.

(4)函數y=(x-1)2+2的最小值是______.

(5)二次函數y=-x2-2x的開口______,對稱軸是______.

師生活動:教師精心選擇內容,回顧本章知識;學生5分鐘限時完成上述診斷題.

意圖說明：通過課前診斷快速了解學生對基礎知識、基本技能的掌握情況,精準診斷便于有向有序地進行復習.

活動二：課堂探究(借助典型例題及問題串,引導學生梳理知識).

例1已知二次函數y=ax2+bx+3中的x,y滿足表1:

表1

(1)求該二次函數的解析式(頂點式與一般式).

(2)①開口方向:________.

②對稱軸:__________.

③頂點坐標:__________.

④圖象與x軸的交點A,B的坐標:__________.

⑤圖象與y軸的交點C的坐標:__________.

⑥圖象與y軸的交點關于對稱軸的對稱點的坐標:__________.

⑦畫出函數的圖象.

⑧當x=______時,函數的最值為______.

⑨當______時,y=0;當______時,y>0;當______時,y<0.

師生活動:給予學生適當時間自主探究,再與小組同伴進行交流.還可以提出其他問題,如“若點P在拋物線上,且點P到x軸的距離為2,求點P的坐標”.最后歸納總結:

(1)函數的三種表示形式:列表、圖象、解析式.

(2)二次函數知識結構圖如圖1.

圖1

(3)數學思想:數形結合思想、分類思想、特殊到一般等.

(4)研究函數的基本思路.

意圖說明：通過對近年來涉及本章知識點的質檢題或中考題的整理,以典型例題引領,利用問題串重新建立知識關聯,從不同角度看待原有知識,促進學生對二次函數的深度理解,進而形成高階思維能力.引導學生自主回顧知識,歸納總結并繪制知識結構圖,幫助學生構建并內化知識間的內在聯系,從邏輯推理角度將知識系統化,并形成可遷移能應用的知識網絡圖,真正做到融會貫通,“溫故而知新”,進而找到通向深度學習的有效途徑.重視滲透思想方法及積累復習課活動經驗[3].

活動三：練一練(前后聯系,加深對知識的理解).

(1)(2017-2018學年廈門)某二次函數的幾組對應值如表2所示.若x1

表2

生1:例1與練習(1)相似,都是以表格形式呈現.

生2:可以令x1,x2,x3,x4,x5分別為1,2,3,4,5,畫出示意圖即可求解,即特殊值法和圖象法.

生3:我發現“當x1

師:幾位同學都說得很好,還有補充的嗎?

生4:不管是特殊值結合圖象法還是函數性質法都是解決函數問題的常用方法.

生5:若是含參問題,可先嘗試用特殊值法來理解題意,結合圖象直觀感悟,再用函數性質法解題驗證.

師:同學們能夠反思總結解題方法,運用函數的本質思考并形成解題策略,具有未來數學家的潛質.

意圖說明：展示學生求解的思路,并邀請學有余力的學生嘗試析題,總結歸納方法,積累解題經驗.此題雖是含參問題,利用特殊值法,數形結合將其轉化為與例1相似的問題,既鞏固基礎知識又考查學生轉化思想及知識遷移能力,讓學生在不斷思考的過程中感悟轉化、一般到特殊、數形結合等數學思想.通過分享不同的解題方法,開拓思維,培養學生多角度、全方位思考的深度學習能力,提升核心素養.

活動四：拓展提升(不斷拓展,形成解題策略).

例2(2015年廈門中考第24題改編)已知實數a,b滿足a-b=1,a2-ab+2>0,當1≤x≤2時, 函數y=ax2(a≠0)的最大值與最小值之差是1,求a的值．

生1:好多參數啊!從何入手呢?

生2:先求a的值.可用含a的代數式表示b,即b=a-1.

生3:將b=a-1代入a2-ab+2>0,得a>-2.這樣還是無法判斷a的符號,也就無法確定函數的增減性.

生4:雖然無法判斷a的符號,但可以分-20兩種情況進行討論.

師:同學們從一開始的“不知所措”到“步步解套”,最后迎刃而解,能否再對其進行反思總結?

生6:此函數問題主要考查函數性質,利用函數與方程思想,結合數學分類討論等解決問題.

生7:認真審題,推理能力、運算能力是考查重點.

師:分析得太棒了,可以取代老師了!那能否幫老師改編題目呢?

變式已知實數a,b滿足a-b=1,a2-ab+2>0,當-1≤x≤2時, 函數y=ax2(a≠0)的最大值與最小值之差是1,求a的值．

教師追問:還可以再改編嗎?例如將“函數y=ax2(a≠0)” 變為“函數y=a(x-1)2(a≠0)”,找出解題策略.

意圖說明：將例2的條件“當1≤x≤2時”改編為“當-1≤x≤2時”,其他條件不變,此時由于自變量取值范圍的改變導致最大與最小值的變化進而引起a值的改變.加深對二次函數圖象與性質的理解,深化對知識的遷移,進而提升深度學習能力,積累經驗,增進對數學思想方法的理解,提高核心素養.

活動五：課堂反饋 (有效反饋,精準輔導).

(1)將拋物線y=-3x2向上平移一個單位,再向右平移2個單位后,得到的拋物線解析式是______．

(3)(B層)已知二次函數的頂點坐標為(3,-1),且過點(2,0) ,求這個二次函數的解析式.

(A層)已知二次函數y=x2+bx+c的圖象過點(2,0)且對稱軸過點(3,1),求這個二次函數的解析式.

意圖說明：課堂反饋是教學中的一個重要環節.保證每節課有適當的訓練時間,及時運用剛學到的知識解決問題,靈活地“做”,不死記硬背.讓學生獨立限時完成,教師巡視.在雙減政策下,減輕學生過重的課外負擔,如第(3)題可以選擇做A層或B層,并且可用來檢驗教學效果,精準反饋學情,有利于教師課后有針對性地進行輔導,布置拓展性的作業,使學生擁有高階思維能力,進一步走向深度學習.

活動六：課后作業(鞏固教學內容,中考鏈接,培養學生解決問題的能力).

(1)對于一元二次方程x2-2x+1=0,根的判別式b2-4ac中的b表示的數是( ).

A.-2 B.2 C.-1 D.1

(2)已知某二次函數,當x<1時,y隨x的增大而減小;當x>1時,y隨x的增大而增大,則該二次函數的解析式可以是( ).

A.y=2(x+1)2B.y=2(x-1)2

C.y=-2(x+1)2D.y=-2(x-1)2

意圖說明：結合近幾年質檢題或中考題,讓學生感受中考氣氛.第(1)題與第(2)題考查方程與函數知識,都屬于“四基”內容,以增強學生學習數學的自信心,激發學生學習熱情.第(4)題屬于二次函數的實際應用問題,引導學生關注實際生活問題,強化數學模型意識,感悟知識的遷移,獲取通向深度學習的途徑.

5 反思與感悟

在雙減背景下,數學復習課堂采用何種教學模式提升學生數學能力與素養給新時代數學教師帶來了挑戰.由于是復習課,因此可以引導學生在課前閱讀教材并繪制知識結構導圖,或以手抄報的形式關聯各知識點,以個體的視角呈現重難點及典型例題,并在課堂中與同學分享交流討論,再通過拓展題的解析與變式,發展學生思維素養,促進教學相長,構建高效有趣的復習課堂.

以活動引導學生思考、觀察、猜想、驗證,合理運用教材資源,讓復習課不再枯燥,這樣的深度學習才能拓寬學生視野,有利于學生提高認知,積累有意義的活動學習經驗.

總之,基于深度學習的期末復習教學應關注教學內容的本質,從知識技能、數學思考、問題解決、情感態度等方面使學生達成課程目標,獲得適應社會生活和發展所需的數學知識,提升數學核心素養.