初中數學“綜合與實踐”活動設計策略的實踐探索*
——以“無蓋長方體紙盒的底面積”為例

桂 楚

? 江蘇省高郵市城北中學

《義務教育數學課程標準(2022版)》指出,“綜合與實踐”的實施是以問題解決為導向,使學生從數學的角度來觀察和發現生活實踐及學習中遇到的問題,經歷實踐操作、數學建模、分析探究、問題解決的過程.綜合運用數學與其他學科的知識與方法,并讓學生從中感受到數學在學習過程中的基礎作用,體會到數學學習的應用價值,逐步培養學生的數學思維,最終形成“會用數學的眼光觀察現實世界,會用數學的思維思考現實世界,會用數學的語言表達現實世界”的數學核心素養[1].

在教學過程中,綜合與實踐是以學生實踐活動為基礎,引導學生在活動中反思,通過自主學習動手“做”數學,突出學生學習的主體性,體現數學知識的綜合性、實踐性,以及問題的開放性.因此,“綜合與實踐”活動的教學設計要體現活動的真實性、實踐性、思維性以及開放性[2].

辯證唯物主義認為,一切認識都是由感性到理性,所有的理論都來源與實踐,理論反過來指導實踐.“綜合與實踐”活動設計還應體現體現實踐—理論—實踐的過程.

1 實踐操作,動中有思

“綜合與實踐”活動課程的教學應以問題為載體,讓學生經歷實踐活動的全過程,在實踐中產生疑問進而激發學生的探究興趣,并在活動的過程中尋找解決問題的突破點,進而讓學生有問題可提,有路徑可突破.

比如,在蘇科版九年級數學實驗“無蓋長方體紙盒的底面積”這一節實踐活動課程開始之前,我們設計了這樣一個操作活動:“將一張長40 cm、寬20 cm的長方形紙板折成一個無蓋長方體紙盒.”

學生在折無蓋長方體紙盒的過程中會產生這樣幾個問題:首先,怎樣剪四個正方形才能折出長方體?學生在剪的時候會發現所剪的四個正方形的邊長必須是相等的.其次,任意剪四個邊長相等的正方形是不是一定能折出長方體紙盒?通過這個問題學生會在操作的過程中發現所剪正方形的邊長是有范圍的.再次,長方體紙盒的底面積是怎么變化的?導致底面積變化的因素是什么?通過這兩個問題,學生發現長方體紙盒底面積隨著小正方形邊長的變化而變化,初步感知函數思想.最后,學生可能會在折的過程中進一步發現,除了底面積在發生變化,實際上長方體的體積也會隨著小正方形邊長的變化而變化.這仍然是函數問題,只不過是三次函數,已經超出了初中數學的知識范疇,但學生可以類比二次函數的圖象與性質去探索,開拓視野.

學生在經歷了這樣一個開放性的實踐活動過程后,可以有效提高操作能力、探究能力和思考能力.

2 思維探索,疑中有析

在“綜合與實踐”活動中,實踐活動不是目的,而是一種手段,旨在通過學生在實踐活動中不斷操作、觀察、探索并發現問題,引導他們去分析問題,培養數學思維,提高解決問題的能力.因此,在設計思維活動時,應著眼于學生實踐操作中產生的疑問,立足學生當前具體的知識水平,有目的、有針對性地挖掘學生綜合應用的潛質.

例如,在“無蓋長方體紙盒的底面積”這一活動課程當中,我們設計了這樣一個問題:

將一張長40 cm、寬20 cm的長方形紙板折成一個無蓋長方體紙盒,通過你的操作、觀察思考下面的兩個問題:

(1)無蓋長方體紙盒的底面積與你裁掉的正方形邊長之間有關系嗎?若有,請寫出它們滿足的關系式;若沒有,請說明理由.

(2)無蓋長方體的底面積能是100 cm2嗎?若能,請求出正方形的邊長,若不能,請說明理由.

這個問題實際上是以學生實踐活動產生的疑問為出發點而設計的一個思維活動過程.第(1)問根據學生在操作過程中感受到小正方形的邊長變化會影響長方體底面積的變化,引導學生構建函數模型;第(2)問已知面積求邊長,一是讓學生感受方程思想,二是讓學生在計算的過程中理解小正方形的邊長是有范圍的.

學生在經歷了這樣一個思維活動后,將實踐活動中的感性認識進一步上升到理性認識,用數學中的函數及方程模型來解決實際問題.

3 合作交流,析中有辨

合作探究是“綜合與實踐”活動課的一個重要環節,也是培養學生主動探究與團隊意識的一種重要手段.學生通過交流可以開闊眼界,拓展思維,豐富知識,體驗數學的價值.在實際教學中,教師根據課前的準備情況,充分發揮教師引導作用,運用豐富的課堂教學資源,精心設計有效的小組活動,發揮每個成員的作用,集思廣益.在設計合作學習活動時,問題的設計應具有生活性、層次性、主線明晰等特點.

例如,在“無蓋長方體紙盒的底面積”這一活動課程當中,我們設計了這樣一個問題:“小明家進行房屋改造,需增加一個無蓋長方體形狀的水槽,承接廠家計劃用一塊長為2 m、寬為0.8 m的矩形鐵皮將四角裁掉一個正方形(厚度不計)進行制作．水槽的外表面需要進行防銹處理,其中側面的處理成本為50元/m2,底面的成本為200元/m2,根據實際需求水槽的底面寬不低于0.3 m且不超過0.5 m,要使得處理的成本最低,應如何裁剪這張矩形鐵皮?最低費用為多少元?”

設計意圖：(1)設置生活中常見的費用問題,易于學生接受和理解;(2)引導學生將費用問題轉化為面積問題,與課題“無蓋長方體紙盒的底面積”緊密結合;(3)問題設置緊扣“二次函數最值問題”這條主線,培養學生用數學建模思想解決實際問題的能力.

4 思維升華,評中有延

通過初中數學綜合與實踐活動課程的開展,學生在問題解決的過程中進行反思,通過學生自評、互評及教師點評等過程性評價方式,逐步培養學生的數學觀,提高學生發現問題、分析并解決實際問題的能力.學生在解決當前問題后,教者可適當設置問題引導學生用剛剛所掌握的方法、知識解決新問題,這既是學生學習成果的反饋,又是對前一問題的延伸學習.根據新問題的反饋作出有效評價,使得學生在被評價和評價中找到了自己在學習中的優點和不足,形成有效經驗,以促進后續學習的開展[3].因此,教師要充分發揮引導作用,設置恰當的問題,以幫助學生在總結的基礎上提升,促進學生進一步發展.

如,在“無蓋長方體紙盒底面積”這一活動課中,我們設置了這樣的一個問題:“將一張邊長為20 cm的正方形紙板制作成無蓋的長方體紙盒,思考并回答下列問題:

(1)長方體的體積與被裁掉的小正方形的邊長之間有怎樣的關系?

(2)你能制作出一個體積最大的長方體紙盒嗎?說一說你的想法.”

這一問題的設置,實際上是“紙盒底面積”的延伸,由“二次函數最值問題”延伸到“三次函數最值問題”,但又是一脈相承的,用前面探索二次函數最值問題的方法解決簡單的三次函數問題,如“圖象法”“逼近”思想等.同時,通過學生對該問題解決情況的反饋,作出有效評價,以幫助教師了解學生對此類問題的掌握情況.

學生活動有效性評價是數學綜合與實踐課中不可或缺的一環,它具有激勵性和導向性,能夠有效促進學生的數學素養.在初中數學活動課評價中,教師通常從過程性評價和表現性評價兩個角度進行綜合評價.例如,在“無蓋長方體紙盒的底面積”教學之前,我們設置了一系列的設計任務清單引導學生進行長方體紙盒的折疊活動,進而有效評價學生在課堂中的接受情況.在評價過程中,應注重學生是否能用數學的思維思考問題,對于相應的知識等學習目標是否真正達成,有沒有完成預期的教學目標.有效的評價結果應由學生和教師共同參與,由教師進行綜合概括,讓學生在數學綜合與實踐課中更好地開展,全面提高數學素養[4].

總之,綜合實踐課程的開展要充分突出學生學習的主體性,使學生經歷“動”“思”“說”“評”的過程,培養數學核心素養.