拋物線中“切點(diǎn)三角形”性質(zhì)的探究及應(yīng)用

陶俊

摘要：過(guò)拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，這兩條切線與過(guò)兩切點(diǎn)的直線圍成的三角形有哪些性質(zhì)，本文中對(duì)這一問(wèn)題作了深入的研究，并給出了簡(jiǎn)潔的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：拋物線;切點(diǎn)三角形;性質(zhì);探究應(yīng)用

1 拋物線“切點(diǎn)三角形”及其性質(zhì)

過(guò)拋物線外一點(diǎn)P（x0，y0）作拋物線y=ax2+bx+c的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)（如圖1），M為AB的中點(diǎn)，連PM交拋物線于點(diǎn)N，稱△PAB為“切點(diǎn)三角形”，它具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1 “切點(diǎn)三角形”的一條中線平行拋物線的對(duì)稱軸l，即PM∥l.

性質(zhì)2 “切點(diǎn)三角形”的一條中線被拋物線平分，即PN=MN.

這里f（x0）是當(dāng)x=x0時(shí)拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的值f（x0）=ax02+bx0+c.

2 拋物線“切點(diǎn)三角形”性質(zhì)的證明

設(shè)其切線方程為y-y0=k（x-x0），與拋物線方程聯(lián)立，整理得到

ax2+（b－k）x+c+kxo－y0=0.

由PA，PB與拋物線y=ax2+bx+c相切，得Δ=0，即（b－k）2－4a（kx0－y0+c）=0，亦即k2－（2b+4ax0）k+b2+4ay0－4ac=0，則

整理，得y+y0=2ax0x+bx+bx0+2c=f′（x0）x+bx0+2c.

所以直線AB的方程為y=f′（x0）x+bx0－y0+2c.

又點(diǎn)A，B在拋物線上，聯(lián)立方程消去y，得

ax2+bx+c=f′（x0）x+bx0+2c－y0.

故AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（x0，2f（x0）－y0 ），又P的坐標(biāo)為（x0 ， y0），則PM∥l.性質(zhì)1得證.

這里，PN2=（f（x0）－y0）2，

由平面幾何可知，在△PAB中，PM是AB邊上的中線，根據(jù)三角形中線定理，可得

由①②式，可得4 PN2=PM2，即2|PN|=|PM|.所以N是PM的中點(diǎn)，PN=MN.性質(zhì)2得證.

3 拋物線“切點(diǎn)三角形”性質(zhì)的應(yīng)用

所以△PAB的面積為18.

例2 如圖3，從拋物線上A（1，3），B（3，-1）兩點(diǎn)分別作拋物線的切線交于點(diǎn)P，若△ABP的面積為10，求拋物線的解析式.

解析：取AB中點(diǎn)M并連接PM交拋物線于點(diǎn)N，由切點(diǎn)三角形性質(zhì)1，

可知PM平行于y軸，N為PM的中點(diǎn).由A（1，3），B（3，-1），得M（2，1）.

因此拋物線的解析式為y=5x2－22x+20.

對(duì)于例1用常規(guī)方法，可以先計(jì)算兩切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用三點(diǎn)坐標(biāo)求三角形PAB的面積.這顯然大費(fèi)周折，用上面的方法要簡(jiǎn)便很多.對(duì)于例2也許用普通的方法就不好應(yīng)對(duì)了，而用拋物線切點(diǎn)三角形的性質(zhì)1則可迎刃而解，似乎“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”.