一道拋物線定點考題的探究

張應楷

摘要：通過多視角解決一道定點與定值問題，并據此研究了此類問題的一般化結論，發現其為富瑞吉定理的特殊形式.

關鍵詞：定點；定值；拋物線；面積

定點與定值問題是圓錐曲線中的常考熱點問題，常見的解題策略為從特殊到一般，即通過特殊化發現結論，再在一般情況下進行證明.在具體的證明過程中，常見的路徑是將幾何關系代數化，通過代數運算獲得結論，再對結論進行幾何化的解釋.本文中將從不同的視角對一道以拋物線為背景的定點問題進行探究.

1 題目及分析

已知拋物線C：y2=2px（p>0）的準線與x軸的交點為H，直線過拋物線C的焦點且與C交于A，B兩點，△HAB的面積的最小值為4.

（1）求拋物線C的方程；

分析：本題第（1）問考查拋物線的基本性質，其目的是獲得拋物線的方程，考查了焦點弦、點到直線的距離公式等知識點；第（2）問考查了直線與拋物線的位置關系，其核心要點在于EM⊥EN，可從向量、斜率等視角進行解析.

2 解題方法呈現

對于第（1）問，有如下兩種方法.

由韋達定理，得y1+y2=2pt，且y1y2=-p2.由拋物線的定義，得焦點弦|AB|=x1+x2+p=t（y1+y2）+2p=2pt2+2p（也可通過弦長公式求解）.

對于第（2）問，有如下三種方法.

方法一：基本量法.

由此可得y20+4ty0+4t-1=0，等價于4t（y0+1）+y20-1=0.令y0+1=0，且y20-1=0，計算可得y0=-1.

評注：方法一是對題干條件的直接使用，思維量較低.其求解思路是將原題干條件轉化為變量y1，y2間的關系，通過韋達定理實現消元.接下來介紹利用“雙根法”來簡化韋達定理的應用.

方法二：利用“雙根法”求解.

在方法一的基礎上，可令y2-4ty+4t-17=（y-y1）（y-y2）.

在上式中，令y=-y0可得（y1+y0）（y2+y0）=y20+4ty0+4t-17.后續同方法一.

評注：“雙根法”是回避韋達定理的利器，可有效地提升運算效率.

方法三：平移齊次化，構造斜率方程求解.

在題干中，EM⊥EN等價于kEM·kEN=-1，為此，可以考慮通過齊次化，構建關于斜率k的方程，進而結合韋達定理求解.

評注：該方法的本質是將圖形進行平移，得到的“齊二次”可直接構建關于斜率的方程.當斜率滿足其他表達式時，特別是可用韋達定理求解時，利用該方法非常高效.

3 命題推廣

筆者嘗試了將原問題一般化，經過探究，當Q為任意點時，在拋物線C上不一定存在點E使得條件成立；但如下的逆向結論成立：設M（x0，y0）是拋物線C：y2=2px（p>0）上的一定點，A，B是拋物線上兩個動點，且MA⊥MB，則直線AB恒過定點P（2p+x0，-y0）.

因為y1≠y0，y2≠y0，所以（y1+y0）（y2+y0）+4p2=0，即

y1y2+（y1+y2）y0+y20+4p2=0.①

由上式可知，直線AB必過定點P（2p+x0，-y0），因此結論成立.

通過幾何畫板等數學軟件，觀察點M（x0，y0）、拋物線C：y2=2px及定點P（2p+x0，-y0）三者的位置信息，可知：定點P在點M的法線（過點M且與點M處的切線垂直的直線）上.

證明：根據文[1]，拋物線C在點M處的切線l的方程為px-y0y+px0=0.

點M的法線為過點M且與點M處的切線垂直的直線，即為l′：y0x+py-x0y0-py0=0.

代入點P的坐標驗證，可知點P在l′上.結論成立.

該結論即為著名的富瑞吉定理：在圓錐曲線Γ上任取一點P，過點P作兩條互相垂直的射線與Γ交于點A，B，則直線AB過定點，且該定點在過點P的法線上.

通過上述分析，也可利用待定系數法來解決原問題，過程略.

參考文獻：

［1］龍宇.2017年全國高中數學聯合競賽廣東賽區選拔賽第9題的解法與探源[J].中學數學研究（華南師范大學版），2017（21）：7-8.