基于數學史的運算一致性教學的思考

岳增成　林永偉

參照數學史料，實現“數的運算的一致性”的思考與實踐

《義務教育數學課程標準（2022年版）》重視“感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性”。如何基于這種理念設計、教學數的運算的相關內容，是新時期落實課程標準值得思考和討論的重要話題。岳增成博士與他的研究團隊經過長期研究，以小學數學中的豎式計算為載體，借助古今中外數學史料中多樣的運算方法及其發展進程，探索“理解算理，掌握算法，實現數的運算的一致性”的基本策略。本期特刊發他們的部分研究成果，為廣大教師落實《義務教育數學課程標準（2022年版）》提供教學參考。

【摘? ?要】運算一致性是需要進一步探索的熱門話題。從定位上看，它既是學習的結果，也是學習的手段；從數學本身及教學的各構成要素看，它聯結了算理與算法。因此，將其引入課程標準既有重要性，也有必要性。歷史上的很多運算都涉及運算一致性，對這些素材的梳理為開展運算一致性教學帶來了啟示。

【關鍵詞】數學史；運算一致性；教學建議

自《義務教育數學課程標準（2022年版）》頒布以來，“數的認識與運算的一致性”備受關注，很多研究者對其內涵以及教學進行了深入的探索，為具體落實新課改理念帶來諸多啟示。［1-2］但有關運算一致性的研究還有進一步拓展的空間，特別是在運算一致性的定位及其與算理、算法的關系上。數學史呈現了數學知識的發生、發展歷程，數學運算的演變歷史及其關鍵節點的突破，能否為數的運算一致性的教學帶來啟示呢？

一、對運算一致性的再認識

（一）運算一致性是作為學習結果，還是作為學習手段

數的認識與運算的一致性的基礎都是計數單位。數的認識的一致性是從計數單位的角度審視數的構成，建立自然數、分數、小數之間抽象的聯系，從中抽象出的計數單位是認識自然數、分數、小數共同的基礎。數的運算的一致性就是計數單位之間的運算和計數單位上的數字之間的運算。雖然自然數、分數、小數的計數單位不同，但各類數的加減乘除運算最終均可化歸為基于計數單位的運算。從這個角度看，運算一致性應被視為一種學習的結果，是學生學完相關內容后，在教師的引導下從各種運算中抽象概括出的數學規律，是嵌入到學生認知系統中的數學結構。當然，運算一致性的形成是一個漸進的過程，教材中數的運算的編排均從計數單位之間的運算開始，因此需要教師持續滲透一致性的理念。教師可從整數的加減法入手，借助小棒、計數器等學具，讓學生體會到整數加減法就是計數單位之間的加減法；借助現實情境圖、點子圖、面積模型、小棒等學習材料，讓學生感受到整數乘除法就是計數單位之間的運算和計數單位上的數字之間的運算。在這樣的過程中，教師一方面將運算一致性作為一種分析工具，引導學生從計數單位的角度分析運算過程，從運算一致性的角度理解運算過程。如“兩位數乘一位數”的豎式出現后，教師會引導學生分析計算過程：第一步是用第二個乘數乘第一個乘數個位上的數字，計算的是有多少個“一”；第二步是用第二個乘數乘第一個乘數十位上的數字，計算的是有多少個“十”。另一方面將運算一致性作為一種學習支架，在學習運算新知的過程中，引導學生從運算一致性角度思考問題解決的方法與策略。如學習“分數除以分數”時，學生觀察除法算式后感覺無從下手，教師便詢問學生無從下手的原因，引導學生思考出解決問題的關鍵是要在相同計數單位的基礎上進行包含除的運算。在這個過程中，運算一致性被視為一種解決問題的策略，學生將已有除法運算一致性經驗遷移到“分數除以分數”的問題解決過程中。

綜上可知，運算一致性是學習結果與學習手段的統一。在運算教學中，要讓已有運算一致性作為分析工具、學習支架在不同類型的運算中迭代，幫助學生建立運算整體上的一致性，讓他們能從運算一致性的視角重新審視運算過程，更好地理解數學本質。

（二）運算一致性與算理算法的關系

算理與算法是運算教學繞不開的話題，從注重算法到強調算理與算法的融通是課程改革的重要轉變。那為何要將運算一致性引入運算體系？運算的一致性與算理、算法的關系如何？

從演繹體系的邏輯來看，需要從定義、公設、公理出發，借助已證的命題推導需要證明的命題。運用這個邏輯審視數的運算的過程，在進行數的運算時，首先要對參與運算的全部數或部分數進行拆分。由于采用的計數系統是十進位值制，整數、小數的拆分一般會基于數的認識的一致性進行。其次要運用運算律對拆分后的數進行重組，這一步指向的是算理。重組的目的是將數的運算化歸為計數單位之間的運算和計數單位上的數字之間的運算。最后計算出結果。運算中數的拆分、運算律和運算一致性都是運算的基礎，而數的運算的目的是將其化歸為計數單位間和計數單位上的數字間的運算（日常教學中一般不會回到數的運算的一致性這一基礎上，如在“兩位數乘兩位數”的教學中，教師會讓學生先得到乘法筆算豎式，再引導學生分析運算的第一步計算的是有多少個“一”，第二步計算的是有多少個“十”，正因為如此，數的運算基于其一致性衍生出了多種算法），并計算出正確的結果。由此可知，化歸的依據是運算律，運算律操作的對象是拆分后的數；基于拆分的運算律確定算理，算理是數的運算的一致性的根，而算法是基于數的運算的一致性結出的果。

從數學本身看，將運算一致性引入運算體系完善了運算的基礎，使運算體系更完備，同時聯結算理與算法，讓基于算理的算法具有可操作性。

從學生發展的角度看，運算一致性關涉知識本質，不僅有利于學生對運算意義的理解，還有助于學生在運算的各種轉化中發展推理意識和運算能力。

從課程內容與教師教學的角度看，對于運算基礎中的數的拆分（“數的認識”中的一個重要維度是數的組成）和運算律，教材會編排專門的章節進行教學。而運算一致性的地位并未凸顯，無論是教材編寫，還是教師的教學，都未關注到這一點。

綜上所述，運算一致性與算理、算法的關系密切，將其引入既有重要性，也有必要性。

二、數學史中的運算一致性分析

從數學發展的史料看，與整數的乘除運算、分數的四則運算相關的史料較為豐富，與整數的加減運算、小數的四則運算相關的史料相對匱乏。筆者將以與整數的乘除法、分數的四則運算相關的史料為基礎，分析數學史料中的運算一致性。

就整數乘法而言，歷史上的計算方法十分多元，比如古埃及的“倍乘法”、中國古代的“算籌乘法”、古印度的“格子乘法”、收錄于《計算之書》中的“對角線法”等乘法計算方法。［3］但這些計算方法拆分的方式、運算的順序與書寫格式極為相似，共性是乘數的加法分解。特別是十進位值制被發明和廣泛應用后，乘數以計數單位為標準被分解為一位數、整十數、整百數等的和，由此在運算律的基礎上，將多位數的乘法轉化為多位數乘一位數（由于十進位值制的存在，多位數乘一位數實際上計算的是有多少個計數單位）或一位數乘一位數（在十進位值制中，計數單位乘計數單位產生的新的計數單位最先被確定，因此一位數乘一位數實際上計算的是有多少個新的計數單位）。

就整數除法而言，雖然不同年代有不同的方法，比如古埃及利用除數的加倍與減半試商得出運算的結果、中國古代的算籌除法、現代豎式演變過程中的各種代表性方法［4］，但共性是在試商的基礎上對被除數進行分解。同樣在十進位值制被發明和廣泛應用后，基于試商的拆分將被除數分解為商是不同計數單位個數和的形式。如現代豎式演變（如圖1）中的后三個算式，被除數732被拆分為600+120+12，其中600是能夠被除數6整除且結果包含最多個“百”的數，120是732-600后能夠被6整除且結果包含最多個“十”的數，12是732-600-120后能夠被6整除且結果包含最多個“一”的數，最終得到的商為1個百、2個十、2個一的和。從這個演變過程看，數學史上并未明確提出整數乘除法運算的一致性概念，但古代整數乘除法的運算確實是在對參與運算的全部數或部分數進行拆分后，運用運算律，圍繞計數單位之間的運算進行的。

東西方國家都有對分數計算的記載，其中中國是最早形成分數理論體系的國家。中國古代勞動人民在進行分數運算時發現，多個分數沒有統一標準，因而無法運算。如《九章算術》在對分數加法的注釋中提到：“數非一端，分無定準，諸分子雜互，群母參差。粗細既殊，理難從一。”［5］意思是說：分數不只一個，分數單位也不是同一個標準；多個分子相互錯雜，多個分母參差不齊；分數單位的大小既然不同，從道理上說難以遵從其中一個數。因此，古人發明了“齊同術”來進行分數的加法、減法、除法運算。“同”即參與運算的各個分數的分母相乘，使各個分數有統一的分數單位，保證運算的可操作性；“齊”是用每一個分數的分子乘參與運算的其他分數的分母，保證分數的大小未發生改變。由此可見，在分數運算中，中國古代已有了運算的一致性思想。

三、基于數學史的運算一致性的教學建議

（一）基于數學史開展前后測，以測評驅動運算一致性的教學變革

歷史的相似性告訴我們，數學史可以幫助教育者預測學生在學習過程中可能存在的認識障礙和容易出現的錯誤，并能為解決這些問題提供有益的借鑒。［6］學生的這些認識障礙和容易出現的錯誤往往是教學的重難點，因此有必要在厘清數學史的發展歷程及關鍵節點的前提下，通過前測精準定位教學的重點及學生學習的難點，幫助教師設計有針對性的教學活動，以使學生突破認識障礙、減少錯誤的出現。如通過對歷史上筆算除法的考察，發現被除數的拆分方式多元、運算書寫格式多樣，這反映出歷史上的數學家也在積極尋求筆算除法的最優方法，由此推測學生在學習相關內容時，也會在拆分被除數、運用豎式運算時出現“掙扎”。因此，教師可以在教學“筆算除法”前，利用前測，讓學生嘗試通過動手操作和豎式表征解決“54÷3”這樣的退位除法問題，以此了解學生的認知起點，設置多元表征的數學活動，促進學生理解算理和提煉運算的一致性。也可以在教學后通過后測及對教學結果的分析，對學生的學和教師的教進行反思，并采取補救性的教學措施或尋找新的教學方式，使學生有效實現所學知識的內化。如歷史上分數除法的算法易得易記，很多國家很早就有“除以一個不為零的分數等于乘上這個數的倒數”的相關記錄，但這一結論的推導卻相對滯后，由此推測分數除法算法的獲得過程是學生學習的難點。因此，教師可以在學生學完分數除法后進行“計算[2／3]÷[3／4]，并寫出計算理由”的后測（也可以將其作為前測），分析學生是否理解了包含利用算理得出算法在內的推導方法。實踐結果表明，無論是后測還是前測，學生在公式推導方面的情況都不容樂觀。這就需要教師借助數學史，在拓展課、復習課中幫助學生進一步理解分數除法背后的原理。

（二）基于多樣的算法，促進學生理解算理與掌握算法的統一

數學學習是一個順應、同化的過程，學生要將所學知識通過提煉、反思、總結納入已有認知結構中，形成新的認知結構。因此學習的結果是獲得有意義的精致化的數學結論，如筆算乘法的學習結果是步驟最少且保留過程的簡潔豎式。但精致化的數學結論往往會掩蓋學生火熱的思維和思考過程，教師在教學相關內容時，也常常會直指精致化的數學結論，如教學一位數除兩位數的筆算除法時，教師往往會忽略學生多樣的分小棒方法，直接借部分學生先分整、再把整零合在一起的操作方法引出教材豎式。雖然這樣的教學安排效率較高，但學生對于由一種算法得到的算理、提煉出的運算一致性的理解不深刻。歷史上針對某一種運算的算法往往較為多元，多元的方法內蘊不同的思考方式。如整數乘法運算中，不同的方法可能涉及不同的乘數拆分方式、運算順序、運算格式；但通過對比不同思考方式下的多樣算法的異同，學生較易發現運算過程中的共性，而這些共性往往指向算理與運算的一致性，因而經歷這樣的學習過程得到的數學結論更為深刻。因此，在進行運算教學時，可以基于歷史上多樣的算法重構教學，比如兩位數乘兩位數的筆算，就可以在拓展課中直接呈現歷史上的各種方法，供學生理解、對比、辨析，也可以在新授課、拓展課中以歷史上多樣的算法為原型，設計借助操作、圖式、豎式等表征方式及它們之間的聯系理解算法的活動，并通過多種算法的對比、聯系，幫助學生理解算理，構建對運算一致性的認知。

（三）選擇關鍵的史料，適配相應的課型與教學活動

前文已經介紹，與整數的乘除運算、分數的四則運算相關的史料較為豐富。在這樣的研究背景下，要促進學生實現運算的一致性，教師需要考慮怎樣選取數學史料、選擇課型和設計教學活動等問題。目前，拓展課是應用數學史的常用課型，教材中也編排了相關的主題與素材。比如“格子乘法”，它是幫助學生理解運算的一致性的理想素材。從表面上看，“格子乘法”只通過乘法口訣就計算出了多位數乘多位數的結果，但它的實質其實是揭開隱藏在背后的運算的一致性，即計數單位與計數單位相乘，計數單位上的數字與計數單位上的數字相乘。此外，教師更需要在新授課中嘗試借助數學史，促進學生對運算的一致性的理解，因為這樣的嘗試不僅能夠促進課程內容的整合及教學目標的達成，還能改善教師對數學史教育價值與應用方式的看法。比如“除數是一位數的筆算除法”的新授課，同時也是一節單元整體設計視角下的種子課，教師教學時應參照長豎式這一歷史原型和現代豎式的演變過程，結合學生的認知基礎，通過設計實物操作、圖式表征、豎式表征及多種表征之間的關聯等數學活動，充分暴露學生的思維過程，豐富學生對豎式意義及算理的理解，幫助學生感悟運算的一致性。

綜上，本文對運算一致性進行了定位，對算理、算法的關系進行了梳理，并基于對數學史料的分析，提出了借助數學史進行運算的一致性教學的建議。可以預見的是，作為人類長期積累的成果，有關運算的數學史勢必會對運算一致性這一新理念的落實產生積極影響，由此，也為借助數學史落實新課改理念帶來啟示。

參考文獻：

［1］鞏子坤，史寧中，張丹.義務教育數學課程標準修訂的新視角：數的概念與運算的一致性［J］.課程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.

［2］趙莉，吳正憲，史寧中.小學數學教學數的認識與運算一致性的研究與實踐：以“數與運算”總復習為例［J］.課程·教材·教法，2022，42（8）：122-129.

［3］潘麗云.小學數學教師提升數學史素養的意義與路徑：以“豎式乘法”教學為例［J］.教學月刊·小學版（數學），2021（6）：14-18.

［4］岳增成，劉軒如.課堂中一名額外的學生：數學史融入“兩位數被一位數除”的教學［J］.小學數學教師，2017（7/8）：89-93.

［5］郭書春.九章算術譯注［M］.沈陽：遼寧教育出版社，1998：51-52.

［6］趙瑤瑤，張小明.關于歷史相似性理論的討論［J］.數學教育學報，2008（4）：53-56.