依托立體幾何,傳播數(shù)學(xué)文化

■江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué) 黃耀平

立體幾何作為高中數(shù)學(xué)中的一大主干知識(shí),也是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要載體與應(yīng)用場(chǎng)景。從中國(guó)古代數(shù)學(xué)中挖掘立體幾何的相關(guān)素材,綜合考查立體幾何的有關(guān)知識(shí),既符合考生的認(rèn)知水平,又可以引導(dǎo)考生關(guān)注中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,成為新高考數(shù)學(xué)命題中比較熱點(diǎn)的應(yīng)用之一。

一、空間幾何體的表面積或體積問題

例1《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著,書中記載有如下一個(gè)問題:“今有圓亭,下周三丈,上周兩丈,高一丈,問積幾何。”意思為:“今有一圓臺(tái)體建筑物,下周長(zhǎng)為3丈,上周長(zhǎng)為2 丈,高為1 丈,問它的體積為多少。”則該建筑物的體積(單位:立方丈)為( )。

解析：依題知下周長(zhǎng)為3丈,則下底面圓的半徑。又上周長(zhǎng)為2丈,則上底面圓的半徑)。所以該建筑物的體積故選D。

點(diǎn)評(píng):本題以優(yōu)美的圓臺(tái)幾何體為背景,通過(guò)測(cè)量上、下底面的周長(zhǎng)及高來(lái)確定對(duì)應(yīng)的體積問題。圓臺(tái)是中國(guó)古代建筑中比較常用的一個(gè)幾何場(chǎng)景,應(yīng)用非常廣泛。

二、立體幾何中的空間角問題

例2在中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”。已知在“塹堵”ABC-A1B1C1中,AB⊥AC動(dòng)點(diǎn)M在“塹堵”的側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng),且AM=2,則∠MAB的最大值為( )。

解析：在直棱柱ABC-A1B1C1中,作AO⊥BC于點(diǎn)O,所以AO⊥平面BCC1,所以△AOM為直角三角形。又因?yàn)锳B⊥AC,,所以O(shè)為BC的中點(diǎn),且△ABC是等腰直角三角形,所以AO=。而動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng),且AM=2,則M在以A為球心,2為半徑的球面上,結(jié)合AO⊥ 平面BCC1,則M在以O(shè)為圓心,為半徑的圓上,如圖1所示,直徑為PQ,所以,所以,則當(dāng)BM取最大值BP時(shí)∠BAM最大,此時(shí)BP,所以cos ∠BAP。故選B。

圖1

點(diǎn)評(píng):借助特殊空間幾何體“塹堵”為問題場(chǎng)景,通過(guò)特殊空間圖形中的對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度與位置關(guān)系等來(lái)設(shè)置,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)軌跡的變化來(lái)確定對(duì)應(yīng)空間角的最值問題。這里巧妙將中國(guó)古代的優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化與立體幾何中的信息加以合理遷移與融合,在考查空間想象能力的同時(shí)也傳播數(shù)學(xué)文化。

三、立體幾何中的判斷問題

例3(多選題)圖2 改編自李約瑟所著的《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》,用于說(shuō)明元代數(shù)學(xué)家郭守敬在編制《授時(shí)歷》時(shí)所做的天文計(jì)算。圖中的,都是以O(shè)為圓心的圓弧,四邊形CMNK是為計(jì)算所作的矩形,其中M,N,K分別在線段OD,OB,OA上,MN⊥OB,KN⊥OB。記α=∠AOB,β=∠AOC,γ=∠BOD,δ=∠COD,則( )。

圖2

點(diǎn)評(píng):借助中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的天文計(jì)算設(shè)置復(fù)雜的立體幾何情景。解答該題的關(guān)鍵就是抓住立體幾何的位置關(guān)系等來(lái)尋找相應(yīng)的垂直關(guān)系,并利用三角函數(shù)的定義建立對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值的表達(dá)式,進(jìn)而加以逐一分析與判斷,實(shí)現(xiàn)立體幾何中的對(duì)應(yīng)元素的判斷問題。

四、立體幾何中的綜合應(yīng)用問題

例4芻甍是中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的一種幾何體,中國(guó)傳統(tǒng)房屋的頂部大多都是芻甍。《九章算術(shù)》 中記載:“芻甍者,下有豪有廣,而上有豪無(wú)廣。芻,草也;甍,屋蓋也。”翻譯為:“底面有長(zhǎng)有寬為矩形,頂部只有長(zhǎng)沒有寬為一條棱。芻甍字面意思為茅草屋頂。”如圖3所示的五面體為一個(gè)芻甍,五個(gè)頂點(diǎn)分別為A,B,C,D,E,F,四邊形ABCD為正方形,AB=2,EF∥平面ABCD,,平面BCF⊥平面ABCD,O為BC的中點(diǎn)。

圖3

(1)求證:OE⊥平面ADE。

(2)求平面ADE與平面BCF的夾角的大小。

(3)在線段AB上是否存在點(diǎn)P,使得直線FP與平面EOP所成角的正弦值為? 若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析：(1)取AD的中點(diǎn)為M,連接OF,OM,ME,由于EF∥平面ABCD,且EF?平面ABFE,平面ABCD∩平面ABFE=AB,所以EF∥AB。又OM∥AB,所以O(shè)M∥EF。因?yàn)?O為BC的中點(diǎn),所以BC⊥OF。又BC⊥OM,OM∩OF=O,OM,OF?平面OMEF,所以BC⊥平面OMEF。又OE?平面OMEF,所以BC⊥OE。又BC∥AD,所以O(shè)E⊥AD。因?yàn)槠矫鍮CF⊥平面ABCD,OF?平面BCF,BC⊥OF,且平面BCF∩平面ABCD=BC,所以O(shè)F⊥平面ABCD。又OM?平面ABCD,所以O(shè)F⊥OM。在直角梯形OMEF中,OM=2,OF=1,EF=1,可得,所以O(shè)M2=OE2+ME2,則OE⊥EM。又因?yàn)锳D∩ME=M,AD,ME?平面ADE,所以O(shè)E⊥平面ADE。

(2)如圖4,以O(shè)M,OB,OF所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則E(1,0,1),M(2,0,0)。

圖4

所以在線段AB上存在點(diǎn)P,使得直線FP與平面EOP所成角的正弦值為,此時(shí)。

點(diǎn)評(píng):借助中國(guó)古代建筑中的“芻甍”這一常見場(chǎng)景來(lái)合理構(gòu)建立體幾何情境,結(jié)合空間線面位置關(guān)系的證明、空間角的求解及存在性問題的確定等設(shè)置,來(lái)創(chuàng)設(shè)立體幾何中的綜合應(yīng)用問題。合理數(shù)學(xué)文化場(chǎng)景的創(chuàng)設(shè),融合中國(guó)古代建筑并結(jié)合立體幾何中的相關(guān)知識(shí)加以應(yīng)用。

依托立體幾何這一基本場(chǎng)景,通過(guò)空間幾何體的構(gòu)建與應(yīng)用,合理挖掘立體幾何,交匯中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化,融入立體幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本考點(diǎn),將數(shù)學(xué)知識(shí)中的“四基”巧妙融合與應(yīng)用,合理實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)文化的滲透與數(shù)學(xué)文化的傳播,有效增強(qiáng)同學(xué)們的理性思維與應(yīng)用意識(shí),培養(yǎng)同學(xué)們的愛國(guó)主義情懷。