依托立體幾何,傳播數學文化

■江蘇省梁豐高級中學 黃耀平

立體幾何作為高中數學中的一大主干知識,也是中國古代數學的一個重要載體與應用場景。從中國古代數學中挖掘立體幾何的相關素材,綜合考查立體幾何的有關知識,既符合考生的認知水平,又可以引導考生關注中華優秀傳統文化,成為新高考數學命題中比較熱點的應用之一。

一、空間幾何體的表面積或體積問題

例1《九章算術》是中國古代的數學專著,書中記載有如下一個問題:“今有圓亭,下周三丈,上周兩丈,高一丈,問積幾何。”意思為:“今有一圓臺體建筑物,下周長為3丈,上周長為2 丈,高為1 丈,問它的體積為多少。”則該建筑物的體積(單位:立方丈)為( )。

解析：依題知下周長為3丈,則下底面圓的半徑。又上周長為2丈,則上底面圓的半徑)。所以該建筑物的體積故選D。

點評:本題以優美的圓臺幾何體為背景,通過測量上、下底面的周長及高來確定對應的體積問題。圓臺是中國古代建筑中比較常用的一個幾何場景,應用非常廣泛。

二、立體幾何中的空間角問題

例2在中國古代數學專著《九章算術》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”。已知在“塹堵”ABC-A1B1C1中,AB⊥AC動點M在“塹堵”的側面BCC1B1上運動,且AM=2,則∠MAB的最大值為( )。

解析：在直棱柱ABC-A1B1C1中,作AO⊥BC于點O,所以AO⊥平面BCC1,所以△AOM為直角三角形。又因為AB⊥AC,,所以O為BC的中點,且△ABC是等腰直角三角形,所以AO=。而動點M在側面BCC1B1上運動,且AM=2,則M在以A為球心,2為半徑的球面上,結合AO⊥ 平面BCC1,則M在以O為圓心,為半徑的圓上,如圖1所示,直徑為PQ,所以,所以,則當BM取最大值BP時∠BAM最大,此時BP,所以cos ∠BAP。故選B。

圖1

點評:借助特殊空間幾何體“塹堵”為問題場景,通過特殊空間圖形中的對應線段長度與位置關系等來設置,結合動點軌跡的變化來確定對應空間角的最值問題。這里巧妙將中國古代的優秀數學文化與立體幾何中的信息加以合理遷移與融合,在考查空間想象能力的同時也傳播數學文化。

三、立體幾何中的判斷問題

例3(多選題)圖2 改編自李約瑟所著的《中國科學技術史》,用于說明元代數學家郭守敬在編制《授時歷》時所做的天文計算。圖中的,都是以O為圓心的圓弧,四邊形CMNK是為計算所作的矩形,其中M,N,K分別在線段OD,OB,OA上,MN⊥OB,KN⊥OB。記α=∠AOB,β=∠AOC,γ=∠BOD,δ=∠COD,則( )。

圖2

點評:借助中國古代數學中的天文計算設置復雜的立體幾何情景。解答該題的關鍵就是抓住立體幾何的位置關系等來尋找相應的垂直關系,并利用三角函數的定義建立對應角的三角函數值的表達式,進而加以逐一分析與判斷,實現立體幾何中的對應元素的判斷問題。

四、立體幾何中的綜合應用問題

例4芻甍是中國古代數學中的一種幾何體,中國傳統房屋的頂部大多都是芻甍。《九章算術》 中記載:“芻甍者,下有豪有廣,而上有豪無廣。芻,草也;甍,屋蓋也。”翻譯為:“底面有長有寬為矩形,頂部只有長沒有寬為一條棱。芻甍字面意思為茅草屋頂。”如圖3所示的五面體為一個芻甍,五個頂點分別為A,B,C,D,E,F,四邊形ABCD為正方形,AB=2,EF∥平面ABCD,,平面BCF⊥平面ABCD,O為BC的中點。

圖3

(1)求證:OE⊥平面ADE。

(2)求平面ADE與平面BCF的夾角的大小。

(3)在線段AB上是否存在點P,使得直線FP與平面EOP所成角的正弦值為? 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由。

解析：(1)取AD的中點為M,連接OF,OM,ME,由于EF∥平面ABCD,且EF?平面ABFE,平面ABCD∩平面ABFE=AB,所以EF∥AB。又OM∥AB,所以OM∥EF。因為,O為BC的中點,所以BC⊥OF。又BC⊥OM,OM∩OF=O,OM,OF?平面OMEF,所以BC⊥平面OMEF。又OE?平面OMEF,所以BC⊥OE。又BC∥AD,所以OE⊥AD。因為平面BCF⊥平面ABCD,OF?平面BCF,BC⊥OF,且平面BCF∩平面ABCD=BC,所以OF⊥平面ABCD。又OM?平面ABCD,所以OF⊥OM。在直角梯形OMEF中,OM=2,OF=1,EF=1,可得,所以OM2=OE2+ME2,則OE⊥EM。又因為AD∩ME=M,AD,ME?平面ADE,所以OE⊥平面ADE。

(2)如圖4,以OM,OB,OF所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖4所示的空間直角坐標系O-xyz,則E(1,0,1),M(2,0,0)。

圖4

所以在線段AB上存在點P,使得直線FP與平面EOP所成角的正弦值為,此時。

點評:借助中國古代建筑中的“芻甍”這一常見場景來合理構建立體幾何情境,結合空間線面位置關系的證明、空間角的求解及存在性問題的確定等設置,來創設立體幾何中的綜合應用問題。合理數學文化場景的創設,融合中國古代建筑并結合立體幾何中的相關知識加以應用。

依托立體幾何這一基本場景,通過空間幾何體的構建與應用,合理挖掘立體幾何,交匯中國古代數學文化,融入立體幾何的數學基礎知識與基本考點,將數學知識中的“四基”巧妙融合與應用,合理實現對數學文化的滲透與數學文化的傳播,有效增強同學們的理性思維與應用意識,培養同學們的愛國主義情懷。