高考數學試題中的線性規劃問題
——以2023年高考數學全國甲、乙卷有關試題為例

■江西省南昌市新建區第二中學 金 矗

線性規劃是基于運籌學背景下的一個實際應用,基本原理是利用線性約束條件求線性目標函數的最值。高中數學關于線性規劃的知識出現在不等式章節中,并且每年高考試題中均有對此部分內容的考查。本文以2023年高考數學全國甲、乙卷中線性規劃試題為載體,簡要分析試題的命制特點及解題思路,以便有效促進和提高同學們對該部分內容的復習效率。

一、線性規劃在求最值問題中的應用

例1(2023年全國乙卷理14,文15)若x,y滿足約束條件則z=2x-y的最大值為____。

解析：依題意作出可行域,如圖1中的陰影部分。由目標函數z=2x-y得y=2xz,其中z取最大值時,其幾何意義表示直線系y=2x-z在y軸上截距取最小值。平移直線y=2x,結合目標函數的幾何意義可知,當直線過點A時,z取最大值。聯立解得即A(5,2),代入目標函數得zmax=2×5-2=8。

圖1

故答案為8。

例2(2023年全國乙卷文11)已知實數x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則xy的最大值是( )。

解法1：令x-y=k,則x=k+y,代入原式化簡得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0。因為直線x-y=k與圓有公共點,所以Δ≥0,即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0,化簡得k2-2k-17≤0,解得,故x-y的最大值是。

解法3：由x2+y2-4x-2y-4=0,可得(x-2)2+(y-1)2=9。設x-y=k,則圓心(2,1)到直線x-y=k的距離d=,解得,所以x-y的最大值為。

故選C。

點評:線性規劃不僅僅是一類題型,更是一種數學思想方法的應用。抓住“可行域及目標函數”不放松,從不同角度思考目標函數所具有的幾何意義,可以靈活處理相關的一類問題。

二、線性規劃在含參問題中的應用

例3(2023 年全國甲卷文/理23 節選)已知f(x)=2|x-a|-a,a＞0。若曲線y=f(x)與x軸所圍成的圖形的面積為2,求a的值。

解析：依題意可得f(x)=畫出f(x)的圖像,如圖2所示,則f(x)與坐標軸圍成△OAD和△ABC,其中,O(0,0),D(0,a),C(a,-a),所以|AB|=a。

點評:此類問題要進行針對性的分析,解題的核心思想是明晰參數所代表的圖形表示的幾何意義,進而使用線性規劃的方法進行求解。這類問題有一定的難度,因為參數不僅可以出現在目標函數中,還可以在約束條件內,故需具體問題具體分析。

三、線性規劃在求面積問題中的應用

例4(2023 年全國乙卷文/理23 節選)已知f(x)=2|x|+|x-2|,在直角坐標系xOy中,求不等式組所確定的平面區域的面積。

解析：作出不等式組

表示的平面區域,如圖3中的陰影△ABC。

圖3

聯立解得A(-2,8);

易知B(0,2),D(0,6)。

點評:線性規劃在求面積問題中的應用是有通法可循的。繪制可行域、確定平面圖形,根據題意進行適當拆分計算出圖形面積,進而求出相關量。

線性規劃問題在社會發展、生產生活等方面有著重要應用。作為不等式的應用,線性規劃問題背后蘊含了數形結合、函數與方程、轉化與化歸等思想,解決問題的過程中數學抽象、數學建模、數學運算等核心素養有效落實。由于線性規劃與函數、不等式等知識有著密切聯系,題目綜合性強,且在概率、數列等知識模塊中有著廣泛應用,所以同學們在學習該部分知識時存在一定的困難。因此,同學們在學習線性規劃問題時,一定要注重知識的聯系與拓展。通過對上述典型例題的分析,引導同學們從多角度、多層次、多維度分析解題思路,從而提升解題技巧。