新四維耗散非線性系統動力學行為分析及電路設計

瞿民凱，湯 瓊，趙思遠，黃驛婷，羅芳文

（湖南工業大學 理學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

混沌是一種貌似無規則的運動，指在確定性非線性系統中，不需要附加任何隨機因素亦可出現類似隨機的行為。它體現了確定性與不確定性、有序性與無序性、規則性與無規則性的有機統一[1-2]。

20世紀初期，法國科學家龐加萊在研究著名的“三體問題”時發現[3]，對于參數固定的三階常微分方程組，即使初始條件存在很小的差別，最終所呈現的解的形態可能完全不同，學者們把這一現象稱為“蝴蝶效應”，這是混沌研究的原形。后來的幾十年中，對混沌學者們展開了更深入的研究。

真正拉開混沌方面研究序幕的是混沌之父E.N.Lorenz。非線性系統理論是數學和物理學的一個重要分支，自洛倫茲發現了混沌現象以來[4]，它在很多領域都有著廣泛的應用[5]。許多非線性系統同步和控制方法的提出[6-11]，加快了混沌學的發展，并使其逐漸趨于成熟[12]。

20世紀八九十年代，混沌與其它學科相互促進發展，特別是在密碼學、神經網絡、經濟學等領域有了較大的進展[13-14]。這些研究加快了混沌理論在工程實際中應用的腳步，推動了混沌應用的發展。在工程領域中，隨著某個參數的變化，非線性系統若能在更寬的范圍內一直維持混沌狀態，其在保密通信[15]、密碼學、混沌控制等領域中，會更有優勢。

在混沌理論建立的過程中，Q.Rossler 于1979年突破了高維系統中存在超混沌的研究，在僅有一個非線性項的四維系統中發現了超混沌吸引子，即超混沌Rossler 系統。此后，學者們通過一系列的方法構建并研究超混沌系統，D.Cafagna 等[16]采用耦合三維Chua 電路得到高維超混沌Chua 電路。Chua電路屬于經典的混沌系統，對它的研究具有非常重要的價值。2009年Yang Q.G.等[17]在三維Yang 系統中應用反饋控制器，得到具有唯一平衡點的四維超混沌系統。2012年Sun K.等[18]在Lorenz 型系統的基礎上，得到了一個三維非自治的超混沌系統。2015年Chen Y.M.等[19]發現平衡點曲線與超混沌吸引子共存的四維超混沌系統。2017年Li X.Y.等[20]發現了具有無窮多奇異退化異宿環的四翼超混沌系統。2018年Chen Y.M.[21]發現具有4 種不同類型吸引子共存的四維Lorenz-like 多重穩定性的超混沌系統。

目前，破譯者們已將較為經典的超混沌系統，研究的相當透徹，這使其在保密通信和混沌信息加密中的安全性大大降低，故新的超混沌系統的設計、實現是當今國內外研究的熱點。

和混沌系統相比，超混沌系統具有更加豐富的動力學特性，從而使其在密碼學和信息安全等領域有著獨特的優越性。通過設計新型的超混沌系統，深入了解其原理，并在理論上研究其應用，才能在未來利用超混沌和抑制超混沌。隨著混沌理論的不斷發展，人們對于混沌和超混沌的研究不再僅僅局限于理論分析和數值仿真，還可以通過電路來實現混沌系統，并產生相應的混沌信號，因而其信號處理領域具有廣闊的應用前景。

本文通過非線性反饋控制，構造了一個新的四維超混沌系統。對該系統平衡點類別及穩定性進行了分析，運用相圖、分岔圖、Lyapunov 指數譜、龐加萊截面圖等方法研究了系統的動力學行為，系統隨新引入的參數變化表現出非常豐富的動力學行為，呈現出超混沌、混沌、周期狀態。另將有限元方法和Runge-Kutta 方法所求得的，該系統的數值解進行了對比。并設計了該系統的模擬電路，驗證了該系統的可實現性，為非線性系統分析提供好的思路。

2 新型超混沌系統

文獻[22]中三維混沌系統的數學模型為

式中參數a、b、c均大于0。

當參數a=8、b=2.5、c=1時，系統會處于混沌狀態。基于上述系統（1），本文通過增加非線性反饋控制器構造了一個新的四維超混沌系統，如式（2）所示：

式（2）中：w為新引入的狀態變量；d和e均為引入的系統參數。

通過大量的數值實驗發現，當a=10、b=4、c=5、d=4、e=1，4 個系統變量初值為[1,1,1,1]時，系統會呈現出超混沌狀態，產生超混沌吸引子。下面針對本文所提出的新四維超混沌系統進行動力學行為分析。

3 系統的動力學行為分析

3.1 耗散性與吸引子存在性

3.2 平衡點穩定性分析

將a=10、b=4、c=5、d=4、e=1，代入方程組（3），通過計算可求得該系統唯一的平衡點為P(0,0,5,0)，在平衡點P處的Jacobian 矩陣為

當a=10、b=4、c=5、d=4、e=1 時， 令λE-J的行列式為0，求得矩陣J的特征值分別為λ1=-16.031 4，λ2=12.285 3，λ3=-0.253 9，λ4=-1.000 0，即λ1、λ3、λ4的實部<0，λ2的實部>0，根據Routh-Hurwitz 判據可知，P是不穩定的平衡點。

3.3 參數變化對系統運動狀態的影響

混沌系統中參數對系統運動狀態的影響，可通過該參數變化下系統的Lyapunov 指數譜和分岔圖產生的變化規律來進行刻畫。觀察系統（2）隨各參數變化的Lyapunov 指數譜，發現系統（2）在參數e取不同值時，會呈現周期、混沌及超混沌等豐富的動力學行為。圖1 是本文提出的新型超混沌系統隨參數e變化的Lyapunov 指數譜和分岔圖，參數e的取值范圍為[0,40]。

圖1 新型超混沌系統Lyapunov 指數譜和分岔圖Fig.1 Lyapunov exponential spectrum and bifurcation diagram of a novel hyperchaotic system

由圖1，當a=10、b=4、c=5、d=4，系統變量初值為[1,1，1,1]時，系統（2）隨參數e變化的Lyapunov 指數譜和分岔圖可知，新型超混沌系統在參數的變化下所呈現的運動狀態如下。

1） 當00、LE2>0、LE3=0、LE4<0，系統（2）處于超混沌狀態，取e=1，此時系統（2）軌線在三維空間中的相圖如圖2所示。

圖2 e=1 時系統在三維空間中的相圖Fig.2 Phase diagram of the system in three-dimensional space with e=1

此時系統（2）的龐加萊截面圖如圖3所示。

圖3 e=1 時系統的龐加萊截面圖Fig.3 Cross-section of the system Poincaré with e=1

2） 當4.20、LE2=0、LE3<0、LE4<0，系統（2）處于混沌狀態，取e=10，此時系統（2）軌線在三維空間中的相圖如圖4所示。

圖4 e=10 時系統在三維空間中的相圖Fig.4 Phase diagram of the system in three-dimensional space with e=10

此時系統（2）的龐加萊截面圖如圖5所示。

圖5 e=10 時系統的龐加萊截面圖Fig.5 Cross-section of the system Poincaré with e=10

3） 當17.9

圖6 e=19.5 時系統在三維空間中的相圖Fig.6 Phase diagram of the system in three-dimensional space with e=19.5

此時系統（2）的龐加萊截面圖如圖7所示。

圖7 e=19.5 時系統的龐加萊截面圖Fig.7 Cross-section of the system Poincaré with e=19.5

4） 當20.10、LE2=0、LE3<0、LE4<0， 系統（2） 處于混沌狀態， 取e=20.8，此時系統（2）軌線在三維空間中的相圖如圖8所示。

圖8 e=20.8 時系統在三維空間中的相圖Fig.8 Phase diagram of the system in three-dimensional space with e=20.8

此時系統（2）的龐加萊截面圖如圖9所示。

圖9 e=20.8 時系統的龐加萊截面圖Fig.9 Cross-section of the system Poincaré with e=20.8

5）當20.9

圖10 e=23 時系統在三維空間中的相圖Fig.10 Phase diagram of the system in three-dimensional space with e=23

圖11 e=35 時系統在三維空間中的相圖Fig.11 Phase diagram of the system in three-dimensional space with e=35

由圖2～11 可以看出，隨著參數e取值的變化，系統分別呈現出超混沌狀態、混沌狀態、周期狀態，混沌狀態、周期狀態，最后由雙周期狀態逐漸演變為單周期狀態，系統相圖、龐加萊截面圖和圖1 中系統的分岔圖相對應，隨著參數e取值的進一步增大，系統將穩定在單周期狀態。參數e對系統（2）運動狀態的影響具體表現如表1所示。

其中，當20.9

4 二次有限元方法與Runge-Kutta 方法求得的數值解對比

針對新系統（2），選定步長后，分別用有4 階精度的二次有限元方法和4 階經典Runge-Kutta 方法求得該系統的數值解；將步長縮減為原來的一半后，再分別用有限元方法和Runge-Kutta 方法求得該系統的數值解，最后分別將兩種方法在相同節點處數值解的差值進行對比，其結果如圖12～13所示。

圖12 Runge-Kutta 方法所求得各狀態變量在相同時間節點處數值解差值變化圖Fig.12 Variationchart of numerical solutions for each state variable obtained by the Runge Kutta method at the same time node

圖13 二次有限元方法求得各狀態變量在相同時間節點處數值解差值變化圖Fig.13 Variation chart of numerical solutions for each state variable obtained by the quadratic finite element method at the same time node

通過圖12 和圖13 可看出，Runge-Kutta 方法所求得的數值解，誤差基本維持在10-3，而由二次有限元方法所求得的數值解，誤差達到10-4，可見二次元所求的數值解更為穩定和精確。

另從圖12 和圖13 可以看出，各個狀態變量數值解差值圖隨著時間的推移，相同時間節點處的數值解差值，局部會突然增大，這是由于系統（2）此時處于超混沌狀態，與經過很短的時間系統的數值解曲線就會有明顯變化的混沌運動特征相吻合。

5 新系統的電路設計

根據文獻[23]提出的，基于無量綱狀態方程的模塊化設計方法進行混沌電路設計，采用不同阻值的線性電阻、線性電容、乘法器和運算放大器實現。將系統參數代入式（2）得：

根據式（4），做模塊化電路設計，如圖14所示。

圖14 模塊化電路設計圖Fig.14 Modular circuit design diagram

對應的電路狀態方程為

接下來使用仿真軟件進行電路模擬，設置電容C1=C2=C3=C4=0.1 μF，電阻R3=R8=R13=R18=50 kΩ，R2=R7=R12=R17=100 kΩ。因狀態變量在正常變化范圍內，故對變量不需進行比例壓縮變換。時間尺度變換因子為100，模擬乘法器輸出比例選擇100 mV/V。通過式（4）和（5）的系數對比，可以得到R1=2 kΩ，R4=5 kΩ，R5=5 kΩ，R6=20 kΩ，R14=5 kΩ，R15=5 kΩ，R16=20 kΩ，并令VCC=5 V，R9=4 kΩ，得R10=20 kΩ，R11=20 kΩ。設置4 個電容的初始值均為1 V，與超混沌系統的初值[1,1,1,1]對應。供電電壓選擇15 V，使用Multisim 軟件進行電路模擬，仿真結果與圖2 一致，從而驗證了該系統的可實現性。

6 結語

本文在三維混沌系統的基礎上，通過非線性反饋控制，構造了一個新的四維超混沌系統。分析了該系統平衡點的穩定性，并對系統的動力學行為進行了分析，發現系統隨新引入的參數變化表現出非常豐富的動力學行為，隨著參數取值的變化，會分別呈現出周期、混沌、超混沌狀態。減半步長后，分別用二次有限元方法和4 階Runge-Kutta 方法求得該系統的數值解，對兩種方法在相同時間節點處數值解的差值進行了對比，結果表明二次有限元方法所求得的數值解精度更好。最后設計了該系統的模擬電路，驗證了該系統的可實現性，為非線性系統分析提供了好的思路。