基于改進型雙冪次組合趨近律的永磁同步電機無模型滑模控制

王柳亙，王 煒，曾紅兵，彭天順

（湖南工業大學 電氣與信息工程學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

新能源電車電機的選擇需要考慮到可靠性、高效性和魯棒性。近些年來，永磁同步電機以其結構簡單、功率密度高、可靠性高、輸出轉矩大等優勢深受國內外電動車電機廠商青睞[1]。因此，永磁同步電機的驅動控制也成為了當下的研究熱點。

目前，在工業上大多數廠家仍然使用PI 控制作為永磁同步電機調速控制方法，因為PI 控制擁有算法簡單、易于實現等特點[2]。然而考慮到永磁同步電機是一個非線性強耦合控制對象，以及外部環境擾動、系統參數變化等的影響，傳統的PI 控制器對此并沒有較強的抗干擾性能。因此，各國優秀研究者提出如模型預測控制[3]、無模型控制[4]、神經網絡控制[5]、滑模控制[6]等控制方法解決傳統PI 控制中存在的短板問題。其中，無模型控制[7-8]擁有對系統內外存在的擾動不敏感，以及能在系統未建模動態造成影響時保證較強魯棒性的優點。而滑模控制方法在對參數變化不敏感及強魯棒性等方面同樣具有一定優勢。因此滑模控制與無模型控制的結合能夠更好地減小對電動機系統模型的依賴，降低由于系統參數變化和外部環境擾動所帶來的影響。

滑模控制與無模型控制方法的結合，雖然降低了外部環境與參數變化帶來的影響，但同樣由于滑模控制方法的引入給系統帶來了固有抖振。于是提高響應速度、減小抖振成為無模型滑模控制的研究熱點。其中由高為炳[9]提出的用以減少系統抖振的趨近律方法應用甚廣。在此基礎上，梅紅[10]、張瑤[11]等分別提出了雙冪次趨近律與多冪次趨近律，通過引入冪次項加快趨近速率和減小系統抖振。而后，為了對系統不同階段進行針對性調節，廖瑛等[12]在雙冪次趨近律基礎上提出雙冪次組合趨近律，在此趨近律下，對于系統在不同狀態下都有相對應能提高性能品質的趨近律函數。再之后，不同于趨近率方法，文獻[13]通過利用擴張狀態觀測器將未知部分擴張成系統狀態以提高未知部分估計精度，相較于傳統觀測器[14]也能有效減小抖振，但存在參數多、整定困難等問題。針對此問題，文獻[15]設計了一種擴展的滑模擾動觀測器，其能較好地彌補這些不足，并且獲得了更好的魯棒性。

針對參數攝動對PMSM（permanent magnet synchronous motor）控制系統魯棒性產生影響的問題，本文提出一種改進型雙冪次組合趨近律無模型滑模控制方法。首先，為提升滑模趨近階段的趨近速率以及減小抖振，設計了一種新的雙冪次組合趨近律。然后，基于無模型控制中轉速環超局部模型與改進型雙冪次組合趨近律設計速度環控制器，再通過ESMDO（extended sliding mode disturbance observer）觀測系統未知部分對控制器進行實時補償。因此，本方法能有效降低電機參數攝動的影響，提高趨近速率并減小抖振，達到提升系統魯棒性的效果。最后通過半實物實驗和Simulink 仿真驗證此方法的有效性。

2 PMSM 系統模型

對于現有的大多數PMSM 數學模型，通常都是假設其定子鐵芯飽和，電動機不受外界影響且不考慮電動機內部參數發生變化時得到的數學模型。若是考慮到因電動機溫度、使用時間過長等條件下發生參數變化的影響，則PMSM 其d-q坐標系的電壓方程為

式中：ud、uq為d-q軸電壓；Rso為定子相繞組電阻的標稱值；id、iq為d-q軸電流分量；Ldo、Lqo為定子繞組d-q軸電感的標稱值；ωe為轉子電角速度；ψro為轉子永磁體磁鏈的標稱值；Δud、Δuq分別為電動機參數變化時在d軸、q軸所引起的不確定量，其表達式為

其中，Rs是電動機電阻，Ld、Lq是定子電感參數攝動量，Δψr是永磁體磁鏈變化量。

電磁轉矩方程為

d-q坐標系中的機械運動方程為

式中：TL為負載轉矩；J為轉動慣量；B為轉矩阻尼系數；Bωm為阻尼轉矩。

聯立式（3）、式（5）可得PMSM 在參數攝動下的轉速狀態方程為

3 控制器設計

3.1 改進型趨近律設計

由文獻[16]可知，雙冪次趨近律的性能要優于由文獻[9]所提出的等速趨近律、指數趨近律以及冪次趨近律。且雙冪次趨近律表達式如下：

又由文獻[12]可知雙冪次組合趨近律性能要優于雙冪次趨近律以及快速冪次趨近律，因此本文基于雙冪次組合趨近律設計新型趨近律，其表達式為

式（7）（8）中：k1、k2、k3、ε1、ε2>0；0<α；λ2<1；1<β、λ1；sgn(s)為切換函數。

3.2 改進型趨近律趨近速率分析

設s初始狀態為s(0)，且s(0)>1，則系統的趨近過程可分為兩個階段。

1）s(0)→s(T1)=1，設所需時間為T1。

對原式進行整理得：

對原式進行整理得：

因此，對于新型趨近律從s(0)到s(T1)所需時間T1有

2）s(T1)→s(t)=0，設所需時間為T2。

對原式進行整理得

對原式進行整理得

因此對于新型趨近律從s(T1)到s(t)=0 所需時間T2有

綜上所述，可知新型趨近律趨近時間約為T=T1+T2≤t0+t2，雙冪次組合趨近律收斂時間約為T3=t0+t2，且由文獻[12]可知雙冪次趨近律收斂時間T4+T3，于是可得T≤T3

3.3 趨近律存在性及可達性分析

定理1當系統初始狀態s(0)不在滑模面上時，則系統狀態可在滑模趨近律（8）驅使下漸近收斂于滑模面。

證明設Lyapunov 函數為V=s2/2，根據式（8）可得到關系式：

3.4 轉速環改進型無模型滑模控制器設計

3.4.1 無模型控制

基于超局部模型理論[18]，根據PMSM 轉速環的輸入和輸出，建立轉速環超局部模型

式中：α為待設計的q軸定子電流參數；F為系統已知部分及參數不確定部分。

3.4.2 改進型無模型滑模控制器

根據超局部模型[18]式（22），可設計轉速環無模型控制器為

聯立式（22）和式（23），可得：

將其中轉速環反饋控制器設計為滑模控制器，可將無模型控制與滑模控制方法相結合。將IPMSM 轉速誤差作為狀態變量：

聯立式（24）和式（25），并且對式（25）進行求導，得

選取滑模面為

式中c為待設計參數，且c>0。

對式（27）求導并將式（26）代入，得：

為提高滑模趨近階段趨近速率并減小滑動階段的抖振，選取改進型雙冪次組合趨近律設計控制器，因此，聯立式（8）、（26）和（28）可得：

為了使所設計控制器具有穩定性，需滿足滑模可達條件：

聯立式（23）和（29），可得所設計PMSM 矢量控制系統轉速環改進無模型滑模控制律：

3.5 ESMDO 設計

由控制律式（32）可知，系統存在未知部分F，因此設計一個擴展滑模擾動觀測器對未知部分F項進行觀測并補償。PMSM 擴展超局部模型為

式中R(t)為未知量F的變化率；ζ、δ>0 為待設計參數。

對于式（33）系統設計如下擴展滑模擾動觀測器

聯立式（33）（34）可得觀測誤差為

為保證在滑模趨近階段的性能，趨近律選擇指數趨近律：

式中η1、η2>0。

則滑模觀測器控制律usmo為

則將式（38）代入式（34），得

將式（40）所得F觀測值代入式（32），可得轉速環無模型滑模控制律：

綜上，可得到PMSM 系統無模型改進滑模控制器如圖1所示，控制器中反饋控制器uc由引入了改進后的雙冪次組合趨近律的改進滑模控制器（improved sliding mode controller，ISMC）構成，擾動F則由擴展滑模擾動觀測器實時觀測。

圖1 無模型改進滑模控制器Fig.1 Modle-free improved sliding mode controller

4 仿真實驗

為了進一步驗證 IMFSMC（improved modelfree sliding mode control） 算法的可行性與有效性，通過搭建Matlab/Simulink 模型， 將IMFSMC、MFSMC 以及PI 控制算法仿真結果進行對比驗證。

圖2 為PMSM 控制框圖，表1 為系統仿真與實驗使用的電動機參數。

表1 永磁同步電機參數Table 1 Permanent magnet synchronous motor parameters

圖2 PMSM 控制結構框圖Fig.2 PMSM control structure diagram

4.1 PMSM 在參數攝動下的仿真結果分析

設置電動機初始轉矩為 5 N·m，在0.2 s 時轉矩增大至15 N·m；設置電動機轉子磁鏈初始值為0.062 Wb，在0.3 s 時轉子磁鏈減小至0.042 Wb；電動機q軸電感在0.4 s 由0.47e-3 H 減小到0.29e-3 H；電動機d軸電感在0.5 s 由0.2e-3 H 減小到0.14e-3 H；電動機電阻Rs在0.6 s 增大至0.035 Ω。

圖3～5 分別為PMSM 在參數攝動下IMFSMC 與PI 控制和MFSMC 對比的轉速、轉矩與d-q軸電流的仿真圖。其中，圖3 為轉速響應對比圖，圖4 為轉矩響應對比圖，圖5 為d-q軸電流響應對比圖。

圖3 參數攝動下的轉速對比圖Fig.3 Comparison chart of the speed under parameter perturbation

圖4 參數攝動下的轉矩對比圖Fig.4 Torque comparison chart under parameter perturbation

圖5 參數攝動下d-q 軸電流對比圖Fig.5 Comparison chart of the d-q axis current under parameter perturbation

如圖3所示電動機速度曲線，可見電動機啟動后IMFSMC 的響應速度要優于PI 控制及MFSMC 的響應速度，且不存在超調現象。其中，IMFSMC 的速度曲線僅需0.052 s 趨于穩定，PI 及MFSMC 控制的速度曲線則分別需要0.08 s 和0.06 s 趨于穩定，且PI 控制速度曲線存在0.7%的超調。在0.2 s 轉矩增大時，IMFSMC 的速度曲線轉速變化最小，僅有0.05 rad/min 的波動，且0.006 s 后重新穩定，相較于其他兩種控制方法能更快恢復到穩定值，同時能看出，在0.2 s 時刻轉矩變化時，PI 和MFSMC 控制方法分別需0.04 s 和0.012 s 才得以恢復。在0.3 s 轉子磁鏈減小時，IMFSMC 速度曲線同樣要優于PI 控制與MFSMC 速度曲線，IMFSMC 速度曲線在波動0.2 rad/min 后經過0.08 s 可趨于穩定，而MFSMC 與PI控制的速度曲線在波動0.8 rad/min 和1.8 rad/min 后分別需經過0.012 s 和0.04 s 才能趨于穩定，效果要次于IMFSMC。在0.4 s 與0.5 s 時q軸與d軸電感突然減小，IMFSMC 速度曲線轉速變化變得更小，將其與PI 和MFSMC 兩種控制方法的速度曲線波動情況相比較，IMFSMC 的速度曲線幾乎沒有波動，因此不難看出在轉速控制上IMFSMC 比PI 控制和MFSMC 控制方法更加精準穩定。

觀察圖4 和圖5。可以看出，在電動機啟動過程中，基于PI 控制方法的轉矩與d-q軸電流均不能夠及時達到特定的轉矩與電流穩定值。轉矩在穩定前存在約0.6 N·m 的變化幅度，電流在穩定前則存在約1.5 A 的變化幅度。而且在轉矩與電流穩定之后，IMFSMC 的轉矩與電流波形的變化幅度要小于PI 控制和MFSMC 的轉矩與電流波形的變化幅度。IMFSMC 穩定后的轉矩與電流波形的變化幅度分別約為0.7 N·m 和1.5 A，變化幅度最小。PI 控制穩定后的轉矩與電流波形的變化幅度分別約為1.5 N·m 和4.5 A，變化幅度最大。MFSMC 穩定后的轉矩與電流波形的變化幅度分別約為1.15 N·m 和2.25 A，變化幅度次之。因此可知，無論是在電機啟動后還是在電機參數發生變化過程中，IMFSMC 的轉矩和d-q電流曲線比PI 控制與MFSMC 的轉矩和d-q電流曲線脈動更小、收斂更快并且也更加穩定。

綜上所述，在電動機參數發生攝動時，與PI 控制和MFSMC 方法相比較，IMFSMC 具有更強的魯棒性和更快的響應速度等優點。

4.2 RT-Lab 實驗結果分析

最后，利用RT-Lab 半實物仿真實驗平臺對所提方法的有效性進一步進行實驗驗證。

圖6 為RT-Lab 半實物仿真實驗平臺配置圖，圖7a、圖7b 分別為IMFSMC 與PI 控制方法在電機參數攝動下的轉速和轉矩實驗波形。圖8a、圖8b 分別為IMFSMC 與PI 控制方法在電機參數攝動下的d-q軸電流實驗波形。

圖6 RT-Lab 實驗平臺Fig.6 RT-Lab experimental platform

圖7 轉速轉矩實驗波形Fig.7 Speed and torque experimental waveforms

圖8 d-q 軸電流實驗波形Fig.8 d-q axis current experimental waveforms

將參數設計及參數攝動時間與仿真實驗參數保持一致，通過分析實驗結果，對比圖7a、圖7b 可知，在電動機啟動0.05 s之后轉速穩定在1 000 rad/min時，IMFSMC 的轉速波動僅有±0.004 rad/min，而PI 控制的轉速波動為±0.03 rad/min，因此IMFSMC 的速度曲線要比PI 控制方法的速度曲線更加平穩、抖動更小。同樣的，在轉矩穩定在15 N·m 時，IMFSMC的轉矩變化幅度為±0.5 N·m，PI 控制的轉矩變化幅度更大，為±1 N·m，所以IMFSMC 的轉矩實驗波形變化幅度要比PI 的轉矩實驗波形變化幅度更小，魯棒性更強。

對比圖8a、圖8b 的IMFSMC 與PI 控制d-q軸電流實驗波形圖，d-q軸電流在經過參數攝動并且電流達到穩定之后約0.45 s 時，IMFSMC 的電流變化幅度為±1.25 A，PI 控制的電流變化幅度為±2.5 A。所以IMFSMC 的電流實驗波形變化幅度要比PI 的電流實驗波形變化幅度更小。從圖8 中可以看出，不管在電動機平穩運行時或者是參數發生攝動的情況下，IMFSMC 控制方法在速度、轉矩以及電流實驗波形方面都要優于傳統的PI 控制方法。

5 結論

針對由于外部條件影響所導致電動機參數攝動情況，因此造成的控制系統魯棒性下降問題，提出一種IMFSMC 算法。并通過數學與實驗驗證，得出如下結論：1）基于無模型滑模控制，利用改進后的雙冪次組合滑模趨近律重新設計滑模控制器，所設計控制器能提高系統穩定性，減小使用傳統趨近律時會產生的抖振。2）將ESMDO 與改進后的無模型滑模控制器相結合，利用ESMDO 對無模型控制中的未知部分進行實時估計，能更好地提高電動機系統的響應能力，且ESMDO 對未知部分的精確觀測也能提高電動機的控制精度。