模型思想在小學中高段數學教學中的滲透路徑

■山東省濟南市章丘區相公莊學區學校 宋兆財

隨著新課改的深入推進，在加強學生核心素養培育的背景下，數學模型思想得到更多關注。作為數學三大基本思想之一，模型思想在數學學習中發揮著重要作用，學生可以在“模型意識”與“模型觀念”的引導下提高發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，促進其數學思維和核心素養的提升。本文以模型思想在小學中高段數學教學中的滲透為關注點，結合人教版小學數學教材提出培養學生模型意識的策略。

一、模型思想應用于小學中高段數學教學中的必要性

（一）基于課程標準

問題解決是新課標中小學數學教學的整體目標。學生在學習數學的過程中提出問題，利用掌握的數學知識提出解決方法，并在交流思考中判斷問題解決的合理性。同時，新課標對模型思想的應用也提出要求，應做到在教學內容設計中突出顯模型思想，強調模型建立及求解過程。由此可見，模型思想的滲透并不是與教材內容的簡單融合，而是應根據教學內容及學生特點確定合理的滲透方式與滲透程度。在教學實踐中，可以通過模型思想解決運算律、加和減等數與代數問題，以及平面圖形周長和面積、立體圖形體積和表面積等幾何問題，學生通過構建數學模型探尋解決問題的思路與方法，進而實現模型思想在小學中高段數學教學中的滲透。

（二）基于教材內容

教科書編排以課程標準為基礎，基于教材編排的模型思想滲透主要體現在數學模型內容及安排形式兩個方面。

首先，數學教材中數學模型思想主要應用于“問題解決”的過程中，結合教材編寫內容來看，數學模型可以分為數與代數模型、圖形與幾何模型以及統計與概率模型。通過數學模型，學生可以對相關數學知識進行分析與整合，從而提高問題解決效率。

其次，對人教版小學數學教材來說，在內容安排上并沒有設置專門的“問題解決”模塊，而是通過課后練習、“做一做”等培養學生知識運用及問題解決能力。例如，人教版小學數學教材五年級下冊第三單元《長方體 正方體》中設置有磚墻體積和包裝盒體積計算，同時還引入了生活中的蓄水池等案例，通過基本的長、寬、高計算來實現數學模型的運用。在此過程中，學生不僅要加深對模型的印象，還應理解模型猜想、建立、驗證的全過程。

（三）基于學生學情

小學高年級數學學習逐漸向形式運算階段發展，學生思維開始從形象向抽象轉變，進而通過歸納與分析了解事物之間的關系。根據課程標準以及教材內容可以發現，數學問題解決能力的培養主要集中在小學中高段（四、五、六年級），隨著知識的不斷積累，學生解決問題的難度逐漸提升。而且，模型思想培養與中高段學生的認知水平相適應，因此將模型思想滲透于小學數學教學中十分必要。

二、小學中高段數學滲透模型思想教學流程

（一）創設問題情境

問題情境創設是運用模型思想的第一步，即通過情境將數學問題表現出來，實現數學與生活的連通。創設問題情境應符合三個條件，一是選取現實生活中可能存在的合理素材，避免與生活實際脫節，進而將數學模型從日常生活中抽象出來；二是與學生生活密切相關，學生可以通過已經掌握的數學知識了解和體會情境；三是問題情境的設置應做到充分、準確、結構良好，可以幫助學生解決數學問題。

（二）提出數學假設

完成情境創設后，可以根據其中的數學信息發現數學問題、提出數學假設，幫助學生加深對相關數學問題的了解。在這一環節，學生應對情境中涉及的數學信息進行關聯性判斷，識別有關數學要素，明確要素之間的數學關系，進而正確敘述數學問題。其中，對學生的閱讀理解能力與信息獲取能力提出更高要求。通常情況下，可以根據問題情境中的具體條件推測數學問題，如當給出物品數量及單價條件后，可以推斷問題為“一共要花多少錢”；給出雞、兔的頭和腳的數量后，推斷問題為“雞、兔分別有多少只”等。

（三）構建數學模型

構建數學模型是運用模型思想的關鍵步驟，根據得到的數學問題，通過數字和符號建立數學模型，并調動與該問題相關的數學知識。這一環節對學生的問題表達能力和信息推理能力都提出了較高要求，而結合整體小學數學教學來看，數學模型發揮著承上啟下的系統性作用。新數學模型是舊數學模型的拓展與延伸，二者在本質上具有一定的共通性，因此在教學實踐中教師應重點掌握新舊數學模型之間的聯系，引導學生以舊數學模型為基礎，完成新數學模型的建構。

（四）數學模型求解

數學模型求解就是在完成數學模型建立后，運用正確方法得出結果，主要鍛煉的是學生的運算能力。如果對方法型、結構型數學模型求解，學生需要運用相關的運算定理與法則得出數量關系式，再進行運算；如果對概念型數學模型求解，學生則需要在各種教學活動中理解數學模型，并實現情境問題的初步解決。

（五）數學模型驗證

數學模型驗證包括模型檢驗及問題解答兩個環節。模型檢驗指的是將模型求解結果代入實際問題中進行對比，確定各個條件的合理性，判斷數學模型運用的正確性與適用性。在此過程中，應理清各數學要素之間的關系，若存在問題則需要重新建模。問題解答則是對數學模型意義的延伸，這也體現出模型思想的運用就是通過數學認識、思考和表達體現數學意義。因此在這一步驟中，教師應引導學生通過問題解答應用數學，充分發揮出數學模型的作用與價值。

（六）數學模型應用

數學模型應用就是將數學模型運用到具體情境中，根據具體的運用情況對學生數學模型掌握水平進行檢驗。隨著模型思想的應用，學生對數學模型的來源、建立與使用已經產生初步認識，為模型的遷移與拓展打下基礎。學生在數學模型提取與應用中主要通過一系列鞏固練習理解情境設置、推斷數學問題、梳理數學信息，并將其以數學模型的形式呈現出來，幫助學生真正意義上掌握數學模型的意義與用法。

三、數學模型在小學數學教學中的滲透——以《百分數》為例

（一）教學內容選取

結合對人教版小學數學教材的分析，選擇六年級教材中“百分數”相關知識作為研究內容，同時結合分數乘法、分數除法等知識實現對百分數章節中方程內容的深入學習。教學實踐中，教師應帶領學生完成數學模型的構建與應用，讓學生可以通過模型思想解決數學問題。

（二）教學實踐過程

1.創設問題情境。

教師可以通過圖片、視頻等方式進行課程導入，向學生展示情境圖片，提出問題：“大家在生活中觀察過這樣的情景嗎？圖上展現了怎樣的數學問題？”學生認真觀察圖片并進行解讀，通過簡練的語言將數學問題表述出來：“通過貨車運輸蘋果，已經運輸完成40%，還剩下54噸，一共有多少噸蘋果？”

運輸蘋果的數學情境與學生的現實生活聯系緊密，學生可以通過觀察圖片信息理解情境設置、發現其中蘊涵的數學問題，進而激發學生學習數學和解決問題的積極性。完成問題情境的展示后，教師可以引導學生思考解題思路，幫助學生形成良好的解題習慣，提高學生題意表述能力。創設問題情境是運用模型思想的基礎，學生在教師的啟發下明確數學問題，尋找相關數學信息。值得注意的是，創設情境應與小學生的認知水平相適應，因此教師要加強對學生生活環境與實際情況的了解。

2.提出數學假設。

教師對學生的思路進行引導，轉換題目表述方式，明確題目中條件的數量關系。在這一環節中，教師引導學生對數學情境進行解讀，提出假設形成相應的數學問題。考慮到小學生的認識水平與接受能力尚在發展中，教師應細化模型分析過程，逐步帶領學生理解數學模型。通過互動交流，學生可以觀察、比較、分析，進行信息整理。模型分析期間，教師運用啟發性語言引導學生通過繪制線段圖的方法表達數量關系，既可以降低學生理解題意的難度，又可以拓展學生思路，為問題解決打下基礎。學生通過畫圖還可以進一步加深對“百分數”含義的理解，掌握“百分數”知識的本質。

3.構建數學模型。

教師組織學生進行小組討論，提出通過方程進行求解。畫線段圖的方法為數學關系模型建構打好基礎，教師讓學生以小組為單位進行討論，學生可以在溝通交流中表達自身觀點，提高參與數學模型建構的積極性與主動性。不同的學生提出了不同的思路，但模型構建的本質是一致的，都是表現出蘋果總數、運走部分與剩下部分的關系。在此過程中也可以進一步看出學生是數學模型構建的主體，教師則作為組織者與引導者，將主動權交給學生，對學生的解題思路表示肯定。通過這樣的形式，可以有效鍛煉學生解決問題的能力，充分發揮學生的主觀能動性，通過簡單、便捷的方法表現等量關系。

4.數學模型求解。

學生提出具體的解題思路后，按照具體方法實施，得出計算結果，可以在黑板上寫出具體的解題過程。教師引導學生將實際問題轉化為數學問題，并對問題進行求解。學生經過討論得到不同的解題方法，進而在解決問題的過程中有效鞏固已有知識，同時加深對新知識的掌握。在對數學模型求解的過程中，一方面，教師應指導學生明確方程求解原理，加深對方程的理解；另一方面，應要求學生根據具體的數學情境使用數學符號，將二者聯系起來，更好地得出數學問題的答案。

5.數學模型驗證。

為了判斷計算的準確性，教師還要帶領學生進行數學模型驗證。數學模型驗證環節表明，得到計算結果并不是解決數學問題的全過程，學生應樹立科學嚴謹的數學精神，對相關結論進行驗證。在此過程中，教師應對學生的驗證方法進行引導，幫助學生在短時間內驗證結論，同時明確模型驗證在解決實際問題中的重要性，充分發揮數學模型的作用。

6.數學模型應用。

根據上述解題過程，教師還可以向學生提出類似的問題，讓學生展開實踐探究。學生按照明確數學問題、分析數學信息、建立數學模型的方法得到等量關系，并對得出的結論進行檢驗，判斷模型是否正確。通過數學模型的應用實踐，可以看出學生已經對百分數方程的建模過程有了一定的認識，掌握了模型建構的一般方法，為相關數學知識的運用打下基礎。教師根據教學內容設計一系列的鞏固練習，可以幫助學生掌握不同情境下數學模型應用要點，同時幫助學生對課堂知識進行回顧、整理和總結，逐步引導學生對百分數問題形成清晰認知，并通過列方程的方法解決類似問題，促進了學生數學學習成效的提升。

（三）教學實踐要點

1.注重模型思想應用的生活性。

在教學實踐中，教師應充分認識到數學模型與現實生活的聯系，因此為了加強學生對模型思想的理解與應用，教師應從真實的生活情境出發，為學生數學模型的應用提供條件，同時引導學生用數學語言闡述生活現象和解決實際問題。對于“百分數”相關內容的教學來說，教師同樣需要在把握教學內容本質的基礎上充分挖掘與數學模型相關的生活素材，引入“超市折扣”“貨物運輸”等實例完成教學任務設計，使學生可以在生活情境中應用數學模型。具體來看，模型思想應用的生活性主要體現在兩個方面：一是模型內容的生活性，數學模型應通過生活性元素構成，便于學生理解與應用；二是模型講解的生活性，學生在完成相關任務的過程中，教師應進行針對性講解，同時注意聯系生活實際，為學生補充一定的生活常識。值得注意的是，為了進一步體現模型應用的生活性，教師還應設計更具開放性的任務，為學生提供足夠的思考空間，加深對相關知識的理解。

2.實現知識資源的整合與發展。

模型思想也是在數學教學中整合碎片化知識的一種有效手段，為避免碎片化認識對教學流程的順利推進產生影響，教師還應注重開展系統化教學，加強對教學資源的整合，促進自身模型思想教學素養的提升。通常情況下，教師模型思想素養發展主要依靠師范教育、個人學習以及專業培訓，因此在教學實踐過程中，應通過上述途徑發揮相應的提升作用。

四、結語

綜上所述，作為課程標準中的核心概念，模型思想可以引導學生通過數學眼光觀察世界，將數學知識應用于現實問題的解決中。將模型思想滲透于小學數學教學中有利于培養小學生解決問題的能力，促進其數學核心素養的提升。在教學實踐中，教師應加強對模型思想運用的重視，逐步引導學生完成模型構建、模型求解、模型應用的過程，幫助學生實現對模型實現的深化，為提高其數學學習質量提供保障。