一例三法解決圓錐曲線中的定點定值問題

■江蘇省鹽城市時楊中學 徐粉芹

解析幾何中定點與定值問題是高考的一個熱點,也是一個難點,這兩類問題對同學們的邏輯思維和計算能力要求較高。本文將介紹一例三法解決圓錐曲線中的定點定值問題,以期對大家的學習有所幫助。

圖1

(1)求橢圓C的方程。

(2)不過點A的動直線l與橢圓C相交于P,Q兩點,且AP⊥AQ,證明動直線l過定點,并且求出該定點的坐標。

解析:(方法1,韋達定理法)

(1)由題意可知,A(0,1),F(c,0),則直線AF的方程為,即x+cy-c=0。

故直線l恒過定點

傳統方法即韋達定理法,在地位上不可忽視,它是所有圓錐曲線計算的核心,但隨著題目難度逐年遞增,這種傳統方法的弊端也一步步顯現:(1)計算量過大,得分點穩定且不易提分;(2)化簡部分技巧性較強,不利于同學們深度思考;(3)無法體現數學的對稱美。

(方法2,齊次化構造法)

(1)由題意可知,A(0,1),F(c,0),則直線AF的方程為,即x+cy-c=0。

新方法采用齊次化構造形式,巧妙構造齊次化方程,間接聯立橢圓與直線方程,從而達到簡化運算過程的目的,且具有較強的公式性,方便同學們掌握與記憶。直線方程的假設,mx+n(y-1)=1,一是聯立后便于齊次化,二是根據AP、AQ的斜率形式。

(方法3,對稱化構造法)

新方法采用對稱化構造形式,巧妙構造兩組對稱的式子,間接聯立橢圓與直線方程,從而達到簡化運算過程的目的,且具有較強的公式性,方便同學們掌握與記憶。

解題啟示:在運算量較大的問題中,我們可以采用以下方法簡化運算:(1)對稱化構造,體現數學之美;(2)間接計算(間接聯立);(3)聯立齊次項,不聯立非齊次項。

(1)求橢圓C的方程。

(2)如圖2,設A(-4,0),過點R(3,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P,Q兩點,連接AP,AQ分別交直線于M,N兩點,若直線MR、NR的斜率分別為k1、k2,試問:k1k2是否為定值? 若是,求出該定值;若不是,請說明理由。

解析:(方法1,韋達定理法)

(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2)。

直線PQ的方程為x=my+3,代入橢圓方程3x2+4y2=48,得(4+3m2)y2+18my-21=0,則

(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2)。

直線PQ的方程為x=my+3,代入橢圓方程3x2+4y2=48,得(4+3m2)y2+

(方法3,對稱化構造法)

(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2)。