“非對稱韋達定理”結構化簡的妙用

■江蘇省無錫市第六高級中學 陳 敏

■江蘇省無錫市青山高級中學 張啟兆

例題 已知橢圓C0)的左、右頂點分別為A1、A2,右焦點為F,橢圓C的離心率為,且橢圓C上的點B到F的距離的最大值和最小值的積為1。過點F的直線l1(l1與x軸不重合)交橢圓C于P,Q兩點,直線A1P,A2Q分別與過點F且垂直x軸的直線l2交于M,N兩點。

(1) 求橢圓C的方程。

(2) 記△A1FN,△A2FM的面積分別為S1,S2,試探究是否為定值? 若是,求出定值;若不是,請說明理由。

(2)如圖1,依題意得直線l2的方程為x=1。設直線l1的方程為x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2)。

圖1

所以y1+y2=2my1y2。

(*)式分子出現y1y2,y2,分母出現y1y2,y1,這樣分子、分母不對稱,兩根系數和用不上,如何解決呢?

方法1:和積轉換法(利用y1y2與y1+y2的關系,整體替換,化簡整理)

評注:利用韋達定理,寫出兩根之和與兩根之積,并將它們相除,得到y1+y2=λy1y2,利用y1y2與y1+y2的關系,整體替換,積化和,巧妙轉化非對稱結構,其本質是降次。

方法2:配湊半代換法

局部替換y1y2,并利用y1+y2減少變元(消去y2或y1)。

把方法1中①和②代入上式得:

以上兩種方法歸根結底就是分子和分母的代數式向同一個形式轉化,方法中蘊含了化歸與轉化的數學思想。

小結:圓錐曲線中非對稱結構問題的兩種常用的處理技巧:

將直線與曲線聯立得到Ax2+Bx+C=0,

第一種:和積轉換法。尋找x1+x2,x1x2的關系,有時候可以直接看出(如兩式相除),若無法直接看出,則用待定系數法,設x1x2=m(x1+x2)+n,化簡后對比系數得出m,n,然后將式子中的x1x2化成有關x1+x2的式子。