過定點直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的最值問題

常君

在人教版高中教材數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊中，我們對直線的方程進行了系統(tǒng)教學(xué)，其中對截距式的考察有一道經(jīng)典題：求過點[P（2，3）]，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程。高考題源于教材而高于教材，經(jīng)常以教材題為原型進行綜合改編命題，本文即基于該題的情境進行發(fā)散，探究了一類過定點直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的最值問題的一般解法與結(jié)論。

問題：直線[l]經(jīng)過第一象限內(nèi)的定點[P（m，n）]，與[x，y]軸正半軸交于[A，B]兩點。求下列各小問中的最值，并求取到最值時對應(yīng)的[l]的斜率[k]的取值。

（1）[ΔAOB]面積的最小值；

（2）[OA+OB]的最小值；

（3）[ΔAOB]周長的最小值；

（4）[AB]的最小值。

[B（0，b）][P（m，n）][A（A，0）][l][y][O] [θ]

［解析］（1）設(shè)[l：xa+yb=1]，則[ma+nb=][1≥2mnab]

[?ab≥4mn]，當(dāng)且僅當(dāng)[ma=nb]時取等，[∴][ ΔAOB]面積的最小值為[2mn]，對應(yīng)斜率[k=-ba=-nm].

（2）由（1）得[ma+nb=1]，[∵（a+b）（ma+nb）=m+n+bma+anb≥m+n+2mn]，

當(dāng)且僅當(dāng)[bma=anb]時取等，

[∴][ OA+OB]的最小值為[m+n+2mn]，對應(yīng)斜率[k=-ba=-nm].

（3）設(shè)[∠BAO=θ]，則周長[c=m（1+tanθ+1cosθ）+n（1+1tanθ+1sinθ）]

[=m+n+msinθ+1cosθ+ncosθ+1sinθ][=m+n+m（sinθ2+cosθ2）2cos2θ2-sin2θ2+n2cos2θ22sinθ2cosθ2]

[=m+n+m1+t1-t+nt=n+2m1-t+nt，t=tanθ2∈（0，1）.]

[∵（2m1-t+nt）[（1-t）+t]=2m+n+2mt1-t+n（1-t）t≥2m+n+22mn]，當(dāng)且僅當(dāng)[2mt1-t=n（1-t）t]時取等，[∴][ΔAOB]周長的最小值為[2m+2n+22mn]，

此時[t=nn+2m]，對應(yīng)的斜率[k=-tanθ=-2t1-t2=-n+2mnm+2mn]。

（4）［解法一］由（1）得[ma+nb=1]，

則[AB2=a2+b2=（a2+b2）（ma+nb）2=m2+n2+a2n2b2+b2m2a2+2mnab+2mnba]

[=m2+n2+（a2n2b2+mnba+mnba）+（b2m2a2+mnab+mnab）][≥m2+n2+3a2n2b2?mnba?mnba3+3b2m2a2?mnab?mnab3]

[=m2+n2+3m23n43+3m43n23=（m23+n23）3]

當(dāng)且僅當(dāng)[a2n2b2=mnba，b2m2a2=mnab?][ba=（nm）13]時取等。

[∴AB]的最小值為[（m23+n23）32]，對應(yīng)的斜率[k=-（nm）13].

［解法二］由（3）得[AB=mcosθ+nsinθ]

[=m（sin2θ2+cos2θ2）cos2θ2-sin2θ2+n（sin2θ2+cos2θ2）2sinθ2cosθ2]

[=m（t2+1）1-t2+n（t2+1）2t]，[t=tanθ2∈（0，1）].

[∴AB=-m+m（11+t+11-t+λt2+λ2t）]，其中[λ=nm]。

[∵11+t+11-t+λt2+λ2t=11+t+i（1+t）+11-t+j（1-t）+（λ-2i+2j）t2+λ2t]

[≥2i+2j+（λ-2i+2j）λ]，

取等條件為[i（1+t）2=1j（1-t）2=1（λ-2i+2j）t2=λ]

[?t2+2λ-13t-1=0]，解得[t0=-λ-13+λ-23+1]，

[∴ABmin =- m + m? [? 21-t02? + λ（t02+1）2t0? ]][ =-m+m[1λ-13t0+λ（1-λ-13t0）t0]]

[=- m + m? [? 1+λ23λ-13t0 -? λ23? ]? ]

[=-m+m[（1+λ23）（λ-13+λ-23+1）λ-13-λ23]]

[=m（1+λ23）1+λ23=（m23+n23）32]，此時斜率[k=-2t01-t02=-λ13=-（nm）13].

［解法三］ 由（3）得[AB=f（θ）=mcosθ+nsinθ]，

[f（θ）=msinθcos2θ-ncosθsin2θ=mtan3θ-nsinθtanθ]，

令[f（θ）=0?tanθ0=（nm）13]，當(dāng)[θ<θ0]時，[f（θ）<0]；當(dāng)[θ>θ0]時，[f（θ）>0]。

[∴f（θ）]在[（0，θ0），（θ0，π2）]，

[∴f（θ）min=f（θ0）=sin2θ0+cos2θ0cosθ0（m+ncosθ0sinθ0）]

[=tan2θ0+1（m+ntanθ0）]

[=（m23+n23）32]，對應(yīng)斜率[k=-tanθ0=-（nm）13].

［解法四］由（1）得[ma+nb=1][?b=ana-m?AB2=f（a）=a2+a2n2（a-m）2]，[a>m].

[f（a）=2a+2an2（a-m）-2a2n2（a-m）3=2a[（a-m）3-mn2]（a-m）3]，

令[f（a）=0]，解得[a0=m+m13n23].

易知[f（a）]在[（m，a0），（a0，+∞）]，[∴f（a）min=f（a0）=（m23+n23）32]，

對應(yīng)斜率[k=-ba=-na0-m=-（nm）13].

結(jié)語：此題基于直線過定點求斜率的情境，結(jié)合圖形運動變化與最值探究，綜合考查了直線截距式的運用、均值不等式運用、三角換元方法和導(dǎo)數(shù)運用等。第（1）（2）問為常見練習(xí)和考題，一般教輔均有提及，教師多會補充于常規(guī)教學(xué)過程中。第（3）問需引入三角換元后結(jié)合均值不等式求解，具有較高的靈活性和綜合性，且不適合運用截距式求解，有一定難度。第（4）問的解法一需要拓展三項均值不等式的知識；解法二在三角換元后構(gòu)造三對均值不等式且同時取等的技巧過于巧妙，不具有一般性；解法三和解法四需要用到導(dǎo)數(shù)的知識，屬于選擇性必修第二冊的內(nèi)容。故第（4）問不適合在同步教學(xué)中提及，但可用于高年級學(xué)生的綜合復(fù)習(xí)，或作為數(shù)學(xué)競賽生的練習(xí)題。