透析平面運動剛體動能的計算

劉延彬

（安徽理工大學 力學與光電物理學院，安徽 淮南 232001）

概念是課程的基礎，科學問題的分析及解決思想是課程的核心，為了提高平面運動剛體動能計算的教學效果，加深學生對平面運動剛體動能的理解，本文采用矢量分析的方法，給出剛體平面運動的動能計算公式.

1 平面運動剛體動能的統一形式

如圖1 所示，做平面運動的剛體的質心為C，瞬時角速度為ω，取任意一點D為基點，其速度為.

圖1 剛體上任意點P 的速度

由于質點系的動能T為：

將(2) 式帶入(1) 式可得：

將(4) 式帶入(3) 式，可得：

由于C點是質心，在(5) 式中，，且，所以，

（6）式即為以任意點D為基點的剛體平面運動的動能計算公式. 設D點的速度方向與質心速度方向的夾角為，將（7）式寫為標量形式為：

從(7) 式可以看出，以任意點D為基點的剛體平動動能計算公式與柯尼希公式不同，不但包含隨基點的平動動能及圍繞基點的轉動動能，還包含了D點速度、質心速度及兩種速度夾角余弦的乘積項，應用很不方便. 但是從(7) 式可以導出平面運動剛體各種形式的動能公式：

（2）當D點為速度瞬心時，將帶入(7) 式，得到速度瞬心形式的動能公式：

（3）當D點為質心時，即D點與質心C點重合時，，得到柯尼希公式：

2 平面運動剛體動能計算教學

在運動學中[1-2]，速度是一次函數，故可以簡單的合成和分解，而動能是速度的二次函數，對于任意點為基點計算動能，不可以簡單的疊加，只有質心具有特殊性.剛體平面運動可以分解為隨基點的平動及圍繞基點的轉動，故其動能亦可以分解為兩種動能，即隨基點平動動能與圍繞基點轉動動能之和，這種理解是錯誤的.

對于剛體平面運動，以速度瞬心和質心以外的點為基點計算動能時，必須計算質心的速度.知道了質心的速度，完全可以采用柯尼希定理計算動能，且柯尼希定理相對簡潔.對于平面運動剛體的動能，相對質心的轉動慣量為確定值，只與剛體的幾何形狀及質量分布有關，而與時間無關；速度瞬心的時變性導致相對速度瞬心的轉動慣量亦是時變的.在運動剛體上的不同瞬時瞬心點的軌跡稱為瞬心動軌跡.[3]相對速度瞬心的轉動慣量不是指某一個相對具體時刻的速度瞬心的轉動慣量，而是指對瞬心動軌跡上所有速度瞬心點的轉動慣量的集合，即相對速度瞬心的轉動慣量是與瞬心動軌跡有關的函數，是時間的函數.由于瞬心動軌跡是關于時間連續的，所以相對于速度瞬心的轉動慣量亦是時間的連續函數.

綜上所述，學習過程中要注意幾個問題：一是需要清楚質心及速度瞬心在動力學問題中的特殊性；二是剛體平面運動動能采用柯尼希公式計算；三是采用速度瞬心形式動能公式時，要知道相對速度瞬心轉動慣量的時變性.

3 結論

分析了剛體平面運動的動能計算，給出與目前的理論力學教學體系兼容的推導過程，目的是提高平面運動剛體動能計算的教學效果，加深學生對平面運動剛體動能的理解.