數形結合求解小學數學應用題典型應用的分析

☉盧 麗

在小學數學教育中，應用題是檢驗學生數學知識、數學思維與實踐運用的一種題型，應用題的教與學能檢查知識、訓練能力，提升學生知識應用能力與數學思維。數形結合思想與應用題的結合，能夠讓學生有效提出應用題中的數學信息，在直觀中發現問題，形成解題思維，豐富學生解題方法與技巧，提升應用題教學效果。

一、數形結合思想相關內容的認識

在數學中，數、形是兩個最基本、最重要的學習和研究的對象，在一定條件下兩者可以互相轉化，可以提升學生數學認識、思維和解決問題的能力。小學數學教學中的研究對象，主要圍繞數與形兩個不同內容進行，通過數形之間相互轉換，使學習者理解其中包含的數學知識，構建完整的知識網絡。數形結合作為一種思想方法，實際應用的過程中，可以利用以下兩種不同的方式解決問題，讓學生學會解決數學問題。第一，以數解形，就是利用數量關系解決圖形問題。第二，以形助數。這一方法主要是利用畫圖形的方式分析數量關系，通過基礎知識的運用解決問題，得到問題答案。

在小學數學課堂教學活動中，數形結合思想的運用，可以幫助學生掌握數學概念與知識運用方法，在具體數學認識、實踐的過程中，發現數字與圖形之間的關系，能夠聯系生活認識解決一些數學問題，形成一定的數學學習和運用的思維方法，在具體問題的解決中獲得知識的運用，思維的提升，推動學生進行有效的數學學習，培養和提升他們的自主學習能力，獲得數學學習品質的增強。

二、小學數學應用題教學問題分析

首先，在小學數學應用題教學活動中，可以發現學生參與學習興趣并不高，很少自主參與解決問題過程。興趣是學生學習的動力，也是提升課堂教學效果、實現學生數學能力培養的重要因素。但是因為數學應用題綜合性與邏輯性的特點，致使學生對數學應用題失去興趣。在數學教學活動中，需要轉變教師的思想觀念，利用數學思想方法培養學生的學習興趣，鼓勵學生積極參與，使其在解題的過程中獲得更多成就感，進而喜歡上數學應用題學習。

其次，在數學應用題教學中，教師為了使學生掌握學習方法，夯實學生數學基礎，會采用灌輸式教學的方法，將應用題中包含的知識點、數學解題方法等基礎性內容以直觀的方式體現出來，要求學生認真學習，在教師的指導下掌握基礎知識。數學應用題是每個學生必須要掌握的學習技巧與方法，是教育工作的重點。若仍采用灌輸式教學方法進行課本知識教學，不僅無法保證學生學習效果，同時會影響課堂教學質量，使學生在潛移默化中失去獨立解決問題的能力，不利于學生綜合素質培養。在課堂教學中，教師應為學生提供自主解題的空間，引導學生利用學習的數學知識與方法解決問題，以此提升數學應用題教學效果。

最后，在應用題教學中，可以發現學生并沒有真正地掌握數學解題方法，遇到數學應用題時會出現不知所措的情況。數學解題方法是解決應用題的前提，也是提升學生數學學習效果的關鍵。在課堂教學活動中，教師比較重視基礎知識教學，將工作的重點全部放在課本內容教學中，并沒有意識到學生解決問題能力培養的重要性，進而影響學生解題方法的學習［1］。這一問題需要得到教育工作者的重視，結合學生實際學習情況，科學設計教學活動，傳授數學解題方法，為學生提供實踐學習的機會，以此提升應用題教學效果。

三、小學數學應用題中數形結合應用

（一）將抽象知識直觀化

對于小學生來講，數學應用題是學習的難點，是必須掌握的基礎知識與解決問題技巧。部分學生由于無法理解應用題中描述的內容，所以不知道運用哪些知識解決問題。數形結合思想的運用，可以將抽象的數學問題簡單化，能夠讓學生在課本知識學習的過程中掌握基礎知識，并培養靈活運用的能力，實現學生能力與素質培養的教學目標。課堂教學活動中，教師可以將數形結合思想滲透在教學活動中，引導學生將這一思想方法運用在實踐中，以此提高學生應用題解決問題能力。

（二）培養學生的數學思維

數形結合思想主要是利用數、圖形相互轉換的方式完成基礎知識教學［2］。應用題教學中，教師可以引導學生開發自己的思維，利用數、圖形轉換的方式解決問題，讓學生在實踐的過程中形成數學思維，以此提升課堂教學質量，實現學生學習能力培養的教學目標。在小學數學應用題中，教師可以根據學生學習基礎，選擇典型數學問題，傳授數形結合思想方法，鼓勵學生運用不同的方法與技巧解決問題，以此提升課堂教學質量，促使學生綜合素質發展。

四、小學數學典型應用題中數形結合思想的應用

（一）植樹問題中應用，激發學生學習興趣

在小學數學中，植樹問題是比較典型的數學應用題，數學思維與這一類型應用題的結合，可以幫助學生掌握學習方法與技巧，使學生的數學思維與邏輯推理能力得到發展。課堂教學活動中，教師可以將數形結合思想應用方法傳授給學生，引導學生利用這一方法解決問題，以此提升學生對這一類型知識點的理解，提升課本知識教學效果。植樹問題是數學廣角中的內容，對學生數學思維發展具有推動作用。以往課堂教學活動中，教師會要求學生利用課堂上學習的相關公式解決植樹問題。傳統教學方法的運用雖然可以幫助學生更好地學習數學知識，但是無法使學生感受到數學知識生成的過程，不能使學生數學思維與邏輯推理能力得到發展，不利于學生數學思維培養。為了提升學生對這一類型問題的學習興趣，提升課堂教學質量，教師可以將數形結合思想運用在實際中，豐富學生的解題經驗，使其獲得更多成就感與自信心，以此提升應用題教學效果。

例如，一條馬路一側，原有樹木97 棵，每相鄰的兩棵相距40 米。現在計劃全部移植，每相鄰兩棵相距60 米。需要留多少棵樹？這條路全長多少米?

解決這一問題時，教師可以讓學生采用畫圖的方式，將馬路一側中的97 棵樹木畫出來，并標注樹木之間的距離（40 米），然后將移植后樹木之間的距離（60 米）畫出來，利用圖形確定問題中的數量關系，得到以下結論：40×（97－1）＝3840 米，3840÷60 ＋1 ＝65 棵。課堂上，教師可以將數形結合思想方法呈現出來，讓學生在教師的引導下理解數、形之間的關系，利用所學知識解決問題，以此提升課本知識教學效果，實現學生數學能力培養的目標。

（二）雞兔同籠問題中應用，培養學生數學思維

對于小學生來講，雞兔同籠問題十分復雜，解題難度較大。部分學生面對這一問題時，會因為題干中的信息擾亂自己的解題思路，出現錯誤的解題思想。部分學生則不會利用基礎知識解決這一問題。為了提升學生雞兔同籠應用題解決能力，教師可以將數形結合思想滲透在該類型問題中，引導學生運用圖形、數量結合的方式解決問題，使學生在解題的過程中，提升數學思維與邏輯推理能力，以此保證課堂教學效果，為學生后續更好地學習數學知識做好鋪墊。

例如，小梅數她家的雞與兔，數頭有8 個，數腳有22 只。問：小梅家的雞與兔各有多少只?

在解題的過程中，采用數形結合的思想方法將雞兔的頭、腳的數量畫出來，用圓圈代表頭，用八字代表腳，如圖1 所示。然后讓學生根據題干，畫出8 個頭，并在8 個頭下畫出2 只腳，圖2。假設雞與兔的共同點就是擁有一個頭兩只腳，所以可以在畫圖中體現出來。根據畫圖信息與題干內容，可以得到8×2 ＝16（只）剩下的腳為22－16 ＝6（只）。結合這一信息，并將剩余的6 只腳畫在圖畫中，最終可以得到有三只兔、五只雞的結論。通過數形結合的方式，將復雜的問題簡單化，使學生在圖形的幫助下，可以快速發現問題的答案，無形中提升解題效率。

圖2

（三）平均數問題中應用，提升學生解題效果

數形結合思想與平均數類型應用題的結合，不僅可以夯實學生學習基礎，同時可以使學生掌握多種不同的解題方法，無形中提升課堂教學質量，促使學生數學運算能力發展。課堂教學活動中，教師可以為學生設計平均數問題，引導學生利用數形結合思想解決問題，鼓勵學生自主探究學習，讓學生在探索學習中形成正確的解題思路與習慣，為學生更好地學習數學知識打下堅實基礎［3］。

例如，一輛小汽車以每小時100 千米的速度從甲地開往乙地，又以每小時60 千米速度從乙地返回甲地，問這輛車的平均速度是多少？

在學生解題的過程中，教師可以讓學生畫出甲地與乙地的路程圖線，讓學生結合以往學習內容思考，如何確定在同一路線中小汽車的行駛平均速度，讓學生在實踐的過程中掌握基礎知識。通過學生的畫圖與討論分析，得到：設甲乙兩地之間的距離為單位“1”，從甲地到乙地用的時間是1÷100，從乙地到甲地用的時間是1÷60，往返的平均速度是1×2÷（1÷100 ＋1÷60）＝75（千米/小時）。

（四）路程速度應用題中應用，提升學生學習效果

在小學數學應用題教學中，教師可以利用路程問題滲透數形結合思想，讓學生在解題的過程中理解數形結合思想，利用實踐提升自身解決問題能力，以此提升應用題教學效果。路程速度應用題主要是對學生運算能力與解決問題能力的考查，要求學生能夠運用數學基礎知識，確定數量關系，通過正確的運算方式得到問題的答案。數形結合思想方法的運用，可以幫助學生更好地理解數學問題，同時能夠強化基礎知識學習效果，有利于學生數學應用能力培養。

例如，從甲地到乙地936 千米，大車行3 小時走216 千米；從甲地到乙地1066 千米，小車行4 小時走312 千米，問哪車先到達？

這一問題中包含兩個數量關系，學生在解題過程中，會因為無法理清學習思路而出現錯誤結果。解決這一問題時，教師可以引導學生根據問題描述內容，畫出兩個不同的圖形，如圖3、圖4。然后根據題干，確定大車與小車平均行駛速度，即216÷3＝72（千米），312÷4 ＝78（千米），然后利用已知的甲乙兩地之間的距離，確定數量關系：936÷72 ≈13.4（小時）1066÷78 ≈13.7（小時），13.4 ＜13.7。最終得到大車先到的結論。

圖3 1066 千米

圖4 936 千米

（五）幾何問題中應用，培養學生空間思維

在小學數學空間幾何問題中，數形結合思想的運用，不僅可以將復雜的問題簡單化，同時可以培養學生空間思維，使學生學會如何利用圖形解決空間問題，提高教學質量。利用數形結合思想解決空間幾何問題時，要為學生提供足夠的自主學習空間，鼓勵學生獨立思考解決問題，以此提升課堂教學有效性［4］。

例如，80 根方木堆成一個長2米，寬2 米，高1.5 米的長方體。平均每根方木的體積是多少立方米？

在解題的過程，學生畫出一個長方體，并標注出長寬高相關數據。當學生繪畫結束后，則根據課本中學習的長方體體積公式，根據圖畫內容，計算出長方體的體積，如下2×2×1.5＝6（立方米），得到長方體的體積后，根據題干信息，計算方木的體積：6÷80 ＝0.075 立方米。通過畫圖的方式可以理清學生的解題思路，使學生明確解題的重點、問題中的數量關系，并在基礎知識運用的過程中解決問題，得到正確的答案。

綜上所述，在小學數學應用題中，數形結合思想的運用，可提升學生解題效率，使學生掌握不同的解題方法與技巧，提升應用題教學質量。實際教學活動中，可以將這一思想方法運用在幾何問題、雞兔同籠、路程與速度等典型應用題中，通過這一思想方法的運用，提升學生解決問題能力，強化課本知識教學，為學生全面發展打下堅實的基礎。