多量子比特WV 糾纏態在Lipkin-Meshkov-Glick模型下的量子Fisher 信息*

李巖 任志紅

1) (太原師范學院物理系,晉中 030619)

2) (太原師范學院,計算物理與應用物理研究所,晉中 030619)

3) (山西師范大學物理與信息工程學院,太原 030031)

量子Fisher 信息在參數估計理論和量子精密測量領域扮演著非常重要的角色,不僅可以用來標定量子系統的測量精度極限,還可用于有益量子計量的糾纏態判定.本文從量子測量的角度出發,對多比特WV 態(α|WN〉+進行研究,通過計算其在局域操作下和Lipkin-Meshkov-Glick (LMG)非局域操作模型下的量子Fisher 信息,分析其在精密測量方面的表現.研究發現: 在局域操作下,隨著參數α 由0 到1 的變化,多比特WV 態的量子Fisher 信息逐漸變大,表明其量子糾纏程度在不斷增加,也體現出更強的量子測量能力.在LMG 非局域操作下,隨著相互作用強度γ 的增大,N=3 量子比特WV 態的量子Fisher 信息值趨于穩定,幾乎不受參數α 的影響,而當體系量子比特數 N ＞3 時,量子Fisher 信息值會隨參數α 的變大而變大;當參數α 固定時,多比特WV 態的量子Fisher 信息會隨著相互作用強度γ 的增強而變大,呈現出相互作用強度越大,WV 態的量子測量能力越強.

1 引言

作為數理統計中重要的信息量,Fisher 信息客觀反映了人們對待估計參數(例如相位θ)或物理量(例如重力常數g)的相關信息的掌握程度[1–5],其值越大,表明對待估計參數認識越準確,這也是精密測量所追求的目的[6–10].在經典測量理論中,Fisher 信息用來估計條件概率相乘所得最大似然函數(maximum likelihood function)的方差,明確地體現出采集數據越多,或樣本越大,待估計參數的波動或方差越小,獲取的待估參數信息量越準確[11].在量子測量領域,條件概率的獲取方式有所不同,是通過量子算符測量實現的,對測量算符的優化可以幫助我們獲得最大的Fisher 信息量,即量子Fisher 信息[12].

Fisher 信息在量子力學中的早期拓展是美國物理學家Wooters 教授[13]在1981 年研究量子態的統計距離和希爾伯特空間關系時提出的.之后,1994 年美國物理學家Braunstein 教授和Caves 教授[12]在研究統計距離和量子態的幾何量時給出了更為嚴格的不確定關系和量子Fisher信息之間的關系.2009 年意大利光學研究所Smerzi 研究員和Pezze 博士[14]首次提出了可以通過量子Fisher 信息來判定有益于量子計量的量子糾纏,并給出了相關判據.量子Fisher 信息可以看作是量子態本身特有的一種屬性,依據量子態的幾何學觀點,其反映了量子態在外界擾動下統計速度的快慢,而量子糾纏在局域操作擾動下的反應速度(或統計速度)要高于分離態,故可以用來判定量子糾纏[15].近年來,量子Fisher 信息被廣泛地應用在量子信息科學的各個方面,包括量子計量學[6,16,17]、量子相變刻畫[18–21]、量子糾纏及結構判定[14,15,22–26]、量子混沌[27–29]以及量子計算[30,31]等.借助量子Fisher信息,可以迅速地捕捉或獲取量子態的相關信息,為將來開展相關的技術應用提供理論基礎.

多量子比特WV 態,即W 態和真空態(vacuum state)的疊加態,

其中,參數α 和β 滿足關系α2+β2=1 ,|00...0〉為真空態,|WN〉是常見的多比特W態,可表示為[24]

容易發現,當α=0 時,即常見的直積分離態,而當α=1時,即N量子比特W 態.這兩種特殊情況的量子Fisher 信息都被大家所熟知,但二者的疊加態很少被研究.近期,類WV 量子態被廣泛地用來研究量子糾纏的單配性和多配性,并給出了相應的判定依據[32–35].

本文從量子測量的角度出發,對多量子比特WV態開展研究,通過計算其在局域操作和LMG 非局域操作模型下的量子Fisher 信息,探究其在精密測量方面的表現.在局域操作下,隨著參數α 從0 到1 的變化,體系的量子Fisher 信息逐漸增大,表明其量子糾纏程度逐漸變強,擁有更好的量子測量能力.在LMG 非局域操作模型下,固定相互作用強度γ,研究了不同比特WV 態的量子Fisher信息隨參數α 的變化,發現隨著相互作用強度γ的變強,N=3 量子比特WV 態的量子Fisher信息近乎不受參數α 的影響,而N＞3 比特WV 態的量子Fisher 信息會隨α 的變大逐漸變大.當固定參數α 時,多比特WV 態的量子Fisher 信息隨相互作用強度γ的變強而變大,體現了非局域操作會大大增強WV 態的量子測量能力.與此同時,也再次驗證了當相互作用強度γ較大時,N=3 量子比特WV 態的量子Fisher 信息受參數α 的影響很小,這為將來實驗上實現N=3 量子比特WV態的高精密測量提供了一種理論依據.

2 模型及相關計算

2.1 量子Fisher 信息

量子Fisher 信息是經典Fisher 信息的量子版本,即考慮量子力學基本原理后計算所得的信息量.在無偏差參數估計中,Fisher 信息扮演著非常重要的角色,可以給出系統測量精度的理論極限.一般地,針對實驗上獲取的條件概率分布p(μ|θ),其Fisher 信息F(θ) 可以表示為

依據統計學中的克拉美羅下界(Cramér-Rao lower bound)[2,3],

其中,m代表試驗樣本的次數,當m趨于無窮大時,可以得到測量精度的極限.從中容易看出,Fisher 信息值越大,誤差 Δθ越小,參數估計就越準確.

該測量極限也常作為評定待測量子態是否成為量子增強計量資源的標準之一[36].

2.2 LMG 模型下的量子Fisher 信息計算

通常情況下,我們所講的量子Fisher 信息是在局域操作下獲得的,即

在非局域操作下,或包含相互作用的環境中,操控量子體系的哈密頓量可簡單描述為[23]

這里Vij=Vji代表兩體之間均勻的相互作用強度.依據純態量子Fisher 信息計算公式,LMG 模型下量子態的量子Fisher 信息可表示為[26]

3 理論計算與數值模擬

下面分別在局域操作下和LMG 非局域操作下計算不同量子比特WV 態的量子Fisher 信息,通過對其進行分析研究,探究其在精密測量方面的表現.

3.1 多比特WV 態在局域操作下的量子Fisher 信息

對于3 量子比特WV 態來說,首先考慮局域操作下的量子Fisher 信息計算,不失一般性,令這里選 取N=3量子比特WV 態和N＞3 量子比特WV 態兩種情況進行量子Fisher 信息計算:

單獨每個量子比特的一階矩或在量子態下的平均值是相同的,即

相互作用量子比特的平均值也相同,表示為

將(15)式和(16)式代入(11)式,便得到了量子Fisher 信息的解析表達式:

當量子比特數N＞3 時,單量子比特和相互作用量子比特在WV 量子態下的平均值表示為

將二者代入(11)式,可以得到N比特WV 態在局域操作下的量子Fisher 信息為

明顯地,當α=0 時,量子Fisher 信息約化為N(1-c2),即分離態的量子Fisher 信息;當α=1,量子Fisher 信息為即為W 態的量子Fisher 信息.圖1 給出了多比特WV態在局域操作下的量子Fisher 信息(最優極大值)隨參數α 的變化,從下到上(黑色實線到淺粉色實線)分別代表3 量子比特WV 態,4 量子比特WV態,...,8 量子比特WV 態的結果.隨著參數α 的變大,體系的量子Fisher 信息值逐步增大,表明了體系量子糾纏程度不斷增加.此外,根據克拉美羅下界公式,可以得出隨著參數α 的變化,量子體系的高精度測量能力也逐步提高.

圖1 N 量子比 特WV 態在局 域操作 下的量 子Fisher 信息隨參數α 的變化.從下(黑色實線)到上(淺粉色實線)分別表示3 量子比特WV 態到8 量子比特WV 態的結果Fig.1.Quantum Fisher information of an N-qubit WV state with respect to α under local operation.From bottom(black line) to top (light pink line) it respectively denotes the result from 3-qubit WV state to 8-qubit WV state.

3.2 多比特WV 態在LMG 模型下的量子Fisher 信息

隨著量子科技的不斷發展,多體糾纏的實驗和理論研究成為了當前乃至未來量子信息技術發展研究的關鍵,然而想要獨立地對多體糾纏中的單個量子比特進行完美的局域操作很難,尤其是對相鄰的量子比特來說,它們的局域操作之間存在著串擾效應,會影響最終的計算結果.因此,這里探究非局域操作對多比特WV 態量子Fisher 信息的影響.

選擇全域兩體相互作用的非局域操作,即LMG 模型,開展相關研究,計算在此模型下多比特WV 態的量子Fisher 信息,進而探究其在精密測量方面的表現.類似地,對每個量子比特有μi=1,Vij=γ且通過(10)式,可以解析得到N比特WV 態的量子Fisher信息.下面分 別針對N=3比特、N＞3比特WV 態進行量子Fisher 信息的計算研究.

對于3 量子比特WV 態來說,單個量子比特的平均值和相互作用量子比特的平均值分別為(15)式和(16)式.3 量子比特相互作用的平均值表示為

對于N＞3 量子比特WV 態來說,單比特和雙量子比特相互作用的平均值可以由(18)式和(19)式給出.3 量子比特相互作用的平均值可以由通式表示為

圖2 和圖3 分別對固定參數γ和固定參數α 情況下,不同量子比特數WV 態的量子Fisher信息進行了分析研究,即對(21)式和(25)式進行參數(α 或γ)固定下的數值最大化分析.從圖2(a)可以看出,隨著參數γ的增大,N=3 比特WV 態的量子Fisher 信息值趨于穩定,近乎不受參數α的影響,這在精密測量中非常重要,3 比特WV 態可以在任意比例的疊加下實現恒定測量精度的量子計量.圖2(b)—(d)分別給出了4,5,6 量子比特WV 態的量子Fisher 信息隨參數α 變化的結果,容易看出,在相互作用強度γ(固定值)不同的情況下,體系的量子Fisher 信息總是隨著參數α的變大而變大.圖3(a)—(d)分別給出了3,4,5,6量子比特WV 態的量子Fisher 信息在固定參數α下隨相互作用強度γ的變化情況,可以得出,隨著相互作用強度的變強,WV 態的量子Fisher 信息變得越來越大,表明可控的非局域操作有助于高精密的量子測量.此外,從圖3(a)也容易看出,隨著相互作用強度γ的增強,參數α 對3 比特WV 態的量子Fisher 值影響越來越小,再次驗證了圖2(a)得出的結論.

圖2 量子比特WV 態在LMG 模型下的量子Fisher 信息隨參數α 的變化 (a) 3 比特;(b) 4 比特;(c) 5 比特;(d) 6 比特Fig.2.Quantum Fisher information of qubit WV state with respect to α in the LMG model: (a) 3-qubit;(b) 4-qubit;(c) 5-qubit;(d) 6-qubit.

圖3 量子比特WV 態在LMG 模型下的量子Fisher 信息隨相互作用強度γ 的變化 (a) 3 比特;(b) 4 比特;(c) 5 比特;(d) 6 比特Fig.3.Quantum Fisher information of qubit WV state with respect to interactional strength γ in the LMG model: (a) 3-qubit;(b) 4-qubit;(c) 5-qubit;(d) 6-qubit.

4 結論

綜上所述,本文從量子測量的角度出發,探究了多量子比特WV 態在高精密測量方面的表現.通過計算不同比特數WV 態在局域操作和LMG模型下的量子Fisher 信息,發現在局域操作下,體系的量子Fisher 信息會隨著參數α 的變大而變大,顯示出增強的量子測量能力.在LMG 非局域操作模型下,分兩種情況進行了研究.在固定相互作用強度γ的情況下,探究體系量子Fisher 信息隨參數α 的變化,發現隨著γ的增加,N=3 量子比特WV 態的量子Fisher 信息近乎不受參數α 的影響,這一點在精密測量領域很重要,它降低了對初態制備的要求.但其他多比特WV 態的量子Fisher 信息會隨參數α 的變大而增大.在固定參數α 下,也探究了WV 態的量子Fisher 信息隨相互作用強度γ的變化,發現隨著相互作用強度γ的增強,體系的量子Fisher 信息逐步變大,表明了非局域操作有助于實現多比特WV 態的高精密測量.另外,發現N=3 量子比特的量子Fisher 信息在相互作用強度γ較大的情況下,幾乎不受參數α 變化的影響,再次驗證了前面的結論.本文的研究結果有助于加深人們對多量子比特WV態的認識,尤其是N=3量子比特WV 態在LMG模型下具有相對穩定的量子Fisher 信息,另外,對未來實現非局域操作下的高精密量子測量也有一定的啟發和參考意義.