非周期二進(jìn)制/M 進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下非線性系統(tǒng)的非周期共振研究*

王重秋 楊建華

1) (中國(guó)礦業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,徐州 221116)

2) (中國(guó)礦業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,江蘇省礦山機(jī)電裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,徐州 221116)

研究單一非周期二進(jìn)制或M 進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下一類非線性系統(tǒng)的非周期共振現(xiàn)象及其度量方法,重點(diǎn)探討了系統(tǒng)參數(shù)引起的非周期共振.提出了適用于非周期共振度量的響應(yīng)幅值增益指標(biāo),并結(jié)合互相關(guān)系數(shù)和誤碼率展開研究.結(jié)果發(fā)現(xiàn),互相關(guān)系數(shù)能夠較好地描述系統(tǒng)輸出和輸入信號(hào)之間的同步性及波形相似性但無(wú)法刻畫信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后被放大的程度.響應(yīng)幅值增益能夠較好地描述信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后幅值被放大的程度,但無(wú)法反映系統(tǒng)輸出和輸入信號(hào)之間的同步性及波形相似性.非周期共振發(fā)生在互相關(guān)系數(shù)取谷值和響應(yīng)幅值增益取峰值處,且兩種指標(biāo)曲線反映的共振點(diǎn)相同.誤碼率在合適的閾值下可以描述系統(tǒng)輸出和輸入信號(hào)之間的同步性以及非周期信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后被放大的程度,誤碼率曲線可以直接給出非周期共振的共振區(qū).單一非周期二進(jìn)制或M 進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下的非線性系統(tǒng)可以發(fā)生非周期共振,其共振效果需要綜合互相關(guān)系數(shù)、響應(yīng)幅值增益、誤碼率等指標(biāo)進(jìn)行度量.

1 引言

非周期信號(hào)廣泛存在于自然界和工程領(lǐng)域.非周期二進(jìn)制信號(hào)是非周期信號(hào)的一種典型形式,在通信技術(shù)[1]、激光物理[2,3]、圖像處理[4,5]等領(lǐng)域廣泛使用.已有的研究文獻(xiàn)對(duì)周期信號(hào)激勵(lì)下非線性系統(tǒng)的響應(yīng)研究較多,如隨機(jī)共振[6–10]、振動(dòng)共振等現(xiàn)象[11–13].非周期信號(hào)激勵(lì)下,非線性系統(tǒng)響應(yīng)呈現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,典型的現(xiàn)象有非周期隨機(jī)共振[14–16]、非周期振動(dòng)共振[3,17,18]等,這些非線性現(xiàn)象及機(jī)理為非周期信號(hào)處理提供了新的途徑.

Duan 等[19]在離散的Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中研究了非周期二進(jìn)制信號(hào)的傳輸問(wèn)題,基于非周期隨機(jī)共振提高了信號(hào)傳輸效率.Kang 等[20]研究了色噪聲和非周期二進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下神經(jīng)元系統(tǒng)的信息處理過(guò)程,基于系統(tǒng)響應(yīng)的非周期隨機(jī)共振理論,發(fā)現(xiàn)了噪聲在非周期信號(hào)處理過(guò)程中的積極作用.Zhao 等[21]和Huang 等[22]基于陣列非周期隨機(jī)共振進(jìn)行了圖像降噪自適應(yīng)處理,提高了噪聲背景下圖像的處理信噪比和處理效率.非周期M進(jìn)制信號(hào)是非周期二進(jìn)制信號(hào)的拓展形式,其在工程領(lǐng)域應(yīng)用同樣廣泛.M進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下非線性系統(tǒng)的非周期共振呈現(xiàn)更復(fù)雜的共振形式.Zeng 等[23]和Liang 等[24]分別研究了不同噪聲背景下M進(jìn)制信號(hào)的隨機(jī)共振及信號(hào)檢測(cè)問(wèn)題,探索了噪聲的積極作用.McDonnell 和Gao[25]研究了M進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的超閾值隨機(jī)共振,研究結(jié)果對(duì)多傳感器的信號(hào)處理具有參考價(jià)值.Cheng 等[26]研究了信號(hào)相關(guān)噪聲激勵(lì)下多級(jí)閾值系統(tǒng)中的超閾值隨機(jī)共振,研究結(jié)果有助于理解生物感覺系統(tǒng)的編碼機(jī)制.在更廣泛的范圍內(nèi)研究非周期信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的隨機(jī)共振,有利于解決旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備故障診斷[27]、磁場(chǎng)異常檢測(cè)[28]、鋼絲繩無(wú)損探傷[29]等領(lǐng)域的工程問(wèn)題.

非周期二進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下的非線性系統(tǒng),如果同時(shí)加入高頻激勵(lì)信號(hào),系統(tǒng)響應(yīng)會(huì)發(fā)生非周期振動(dòng)共振現(xiàn)象[17].Chizhevsky 等[3,30]在基于非周期振動(dòng)共振的激光系統(tǒng)微弱二進(jìn)制信號(hào)檢測(cè)方面做了較多的工作.Morfu 等[31,32]基于非周期振動(dòng)共振進(jìn)行圖像處理研究,通過(guò)非周期振動(dòng)共振進(jìn)一步提高了含噪圖像處理的效果.關(guān)于非周期二進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的振動(dòng)共振理論研究尚多,比如適用于快變非周期信號(hào)的變尺度方法以及二次采樣方法[17,18],非周期振動(dòng)共振的應(yīng)用研究尚處于起步階段.非周期M進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下非線性系統(tǒng)振動(dòng)共振響應(yīng)的文獻(xiàn)尚未發(fā)現(xiàn).

不管是非周期隨機(jī)共振還是非周期振動(dòng)共振的研究文獻(xiàn),側(cè)重點(diǎn)往往是激勵(lì)中的噪聲或者起輔助作用的高頻信號(hào),側(cè)重于由這兩種因素引起的非周期共振現(xiàn)象.事實(shí)上,在非周期共振的研究中,非線性系統(tǒng)一般會(huì)起到更重要的作用.對(duì)于激勵(lì)中不含有噪聲或者高頻輔助信號(hào)的情況,系統(tǒng)對(duì)單一信號(hào)的響應(yīng)是否存在較強(qiáng)的非周期共振是非常值得探討的問(wèn)題.目前對(duì)于周期信號(hào)和調(diào)頻信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)參數(shù)引起的共振已有相關(guān)研究成果[33–35].對(duì)于單一非周期二進(jìn)制信號(hào)或M進(jìn)制信號(hào)是否會(huì)引起系統(tǒng)輸出的非周期共振響應(yīng)尚無(wú)相關(guān)研究.只有弄清這一問(wèn)題,才能為非周期二進(jìn)制或M進(jìn)制信號(hào)處理時(shí)選擇非線性系統(tǒng)提供依據(jù),開拓新思路和新方法,同時(shí)也能發(fā)現(xiàn)新的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,拓展非線性動(dòng)力學(xué)的研究成果.

本文結(jié)構(gòu)安排如下: 第2 部分研究非線性系統(tǒng)對(duì)非周期二進(jìn)制信號(hào)的響應(yīng),基于三種不同的指標(biāo)探討系統(tǒng)參數(shù)引起的非周期共振現(xiàn)象,并對(duì)每個(gè)指標(biāo)的度量效果進(jìn)行對(duì)比分析;第3 部分研究非線性系統(tǒng)對(duì)非周期M進(jìn)制信號(hào)的響應(yīng),基于動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的復(fù)雜性分析該種激勵(lì)下非線性系統(tǒng)發(fā)生非周期共振的條件;第4 部分給出本文的結(jié)論.

2 非周期二進(jìn)制信號(hào)引起的非周期共振

研究非周期信號(hào)激勵(lì)下的過(guò)阻尼非線性系統(tǒng)

其中a和b為系統(tǒng)參數(shù),s(t) 是非周期激勵(lì)信號(hào),本文分別考慮s(t) 為非周期二進(jìn)制信號(hào)和非周期M進(jìn)制信號(hào)兩種情況.參數(shù)a,b取值不同,系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)具有不同的不動(dòng)點(diǎn),勢(shì)阱形狀呈現(xiàn)不同的穩(wěn)態(tài)模式[36].

2.1 非周期二進(jìn)制信號(hào)

非周期二進(jìn)制信號(hào)的表達(dá)式為

其中A是信號(hào) 的振幅,Rm=1或-1 是符合 一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律的隨機(jī)數(shù),本文采用符合高斯分布的隨機(jī)數(shù).函數(shù)Γ(t) 滿足

其中,T是脈寬,即非周期信號(hào)s(t) 隨機(jī)脈沖的最小寬度.

由于信號(hào)s(t) 的非周期性,導(dǎo)致信號(hào)具有一定的隨機(jī)性,圖1 給出了在幅值A(chǔ)和脈寬T取值一定時(shí)s(t) 的3 種不同波形.為方便描述,圖中的3 種波形對(duì)應(yīng)的信號(hào)自上而下依次命名為Signal 1,Signal 2,Signal 3,(1)式中Rm序列的不同導(dǎo)致信號(hào)波形的不同.

圖1 A=0.3,T=100 時(shí),非周期二進(jìn)制信號(hào)的不同時(shí)域波形.自上而 下信號(hào) 分別標(biāo)記為Signal 1,Signal 2,Signal 3Fig.1.Different waveforms of the aperiodic binary signal at A=0.3,T=100.The signals are labeled as Signal 1,Signal 2,Signal 3 from top to bottom.

2.2 非周期共振分析

在研究非周期二進(jìn)制信號(hào)引起的隨機(jī)共振和振動(dòng)共振現(xiàn)象時(shí),一般以系統(tǒng)輸出x(t) 和輸入信號(hào)s(t)之間的互相關(guān)系數(shù)作為指標(biāo).互相關(guān)系數(shù)為

其中m為時(shí)間序列的總長(zhǎng)度,sˉ和xˉ 分別為時(shí)間序列的均值.

針對(duì)圖1 中給出的3 種信號(hào),圖2 給出了互相關(guān)系數(shù)Csx和系統(tǒng)參數(shù)a之間的關(guān)系曲線.從圖2可見,信號(hào)波形的差異不會(huì)導(dǎo)致互相關(guān)系數(shù)曲線的本質(zhì)變化.也就是說(shuō),在圖1 給定的3 種信號(hào)下,圖2中Csx-a的變化規(guī)律基本一致.因此,后續(xù)分析采用一種波形信號(hào)即可.圖2 中隨著系統(tǒng)參數(shù)a的變化,相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)明顯的變化趨勢(shì).在a從負(fù)值到正值變化的過(guò)程中,相關(guān)系數(shù)減小,并在a=1.05處達(dá)到極小值.之后,隨著a值的進(jìn)一步增大,在a=1.1 處達(dá)到峰值.事實(shí)上,互相關(guān)系數(shù)只能描述兩個(gè)時(shí)間序列的同步性及波形的相似性,并不能刻畫信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)之后是否被放大.因此,還需要借助于時(shí)間序列或者其他指標(biāo)進(jìn)一步分析.

圖2 b=2,A=0.3,T=100 時(shí),不同波形的非周期二進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下,系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)Csx 與系統(tǒng)參數(shù)a 之間的關(guān)系Fig.2.Cross-correlation coefficient Csx between the system output and input signal versus the system parameter a under the excitation of aperiodic binary signal with different waveforms at b=2,A=0.3,T=100.

圖3 給出了系統(tǒng)參數(shù)a取值不同時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間序列.從時(shí)間序列上看,每一幅子圖上輸出和輸入的波形相似性較大,這是圖2 中相關(guān)系數(shù)取值較大的原因.此外,相關(guān)系數(shù)小于1 的原因是系統(tǒng)的輸出和輸入之間存在一定的相位滯后,造成在時(shí)域上輸出波形的變化和輸入波形的變化并不完全同步.在圖3(a)和圖3(b)中,即當(dāng)a=0 和a=1.05 時(shí),系統(tǒng)輸出呈現(xiàn)非周期共振狀態(tài),輸出信號(hào)相較于輸入信號(hào)被放大.圖3(b)中的共振最強(qiáng),對(duì)應(yīng)于圖2 中相關(guān)系數(shù)取極小值,即相關(guān)系數(shù)曲線取谷值的情況.在圖3(c)和圖3(d)中,雖然輸出信號(hào)和輸入信號(hào)之間的相似性仍較高,但其響應(yīng)幅值未被系統(tǒng)放大.圖3(c)的參數(shù)取值對(duì)應(yīng)于圖2 中相關(guān)系數(shù)取峰值的情況.圖中反映的結(jié)果和之前類似的研究是不同的,比如在之前隨機(jī)共振和振動(dòng)共振的研究中,最強(qiáng)的共振往往出現(xiàn)在相關(guān)系數(shù)取峰值的情況[3,14–18].

圖3 b=2,A=0.3,T=100 時(shí),系統(tǒng)參數(shù)a 取值不同時(shí)輸出的不同波形 (a) a=0 ;(b) a=1.05 ;(c) a=1.1 ;(d)a=2Fig.3.Different waveforms of the output under different values of the system parameter a with b=2,A=0.3,T=100:(a) a=0 ;(b) a=1.05 ;(c) a=1.1 ;(d) a=2 .

從以上圖2 和圖3 的分析中發(fā)現(xiàn),基于相關(guān)系數(shù)很難直接反映信號(hào)被放大即系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生非周期共振的情況,時(shí)間序列也僅能從有限的算例直觀反映系統(tǒng)的輸出,不能給出通用性更強(qiáng)的結(jié)論.為了更好地刻畫非周期共振,需要新的指標(biāo).因此,此處提出響應(yīng)幅值增益指標(biāo),其計(jì)算公式為

其中符號(hào)max 和min 分別表示取最大值和最小值.結(jié)合圖2 中的時(shí)間序列容易理解(5)式的物理意義,其中可以直觀理解為響應(yīng)的幅值,很明顯β 為系統(tǒng)輸出和輸入信號(hào)之間幅值的比值.值得一提的是,在計(jì)算β 時(shí),x(t)應(yīng)該截掉初始條件x(0) 引起的瞬態(tài)響應(yīng),否則影響輸出的準(zhǔn)確性.雖然(5)式中計(jì)算響應(yīng)幅值增益指標(biāo)具有一定的近似性,但其在大部分情形下能從本質(zhì)上說(shuō)明信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后振幅被放大的倍數(shù).

根據(jù)(5)式的計(jì)算公式,圖4 給出了系統(tǒng)的響應(yīng)幅值增益β 與系統(tǒng)參數(shù)a之間的函數(shù)關(guān)系曲線,圖中很好地顯示了系統(tǒng)的共振以及信號(hào)幅值被放大的情況.圖中共振發(fā)生在a=1.05 處,此時(shí)β=2.8,說(shuō)明非周期二進(jìn)制信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后幅值被放大了2.8 倍.進(jìn)一步地,共振點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置a=1.05也對(duì)應(yīng)于圖2 中相關(guān)系數(shù)取極小值點(diǎn),即取谷值的點(diǎn).對(duì)比響應(yīng)幅值增益和相關(guān)系數(shù)曲線呈現(xiàn)的規(guī)律,相關(guān)系數(shù)主要是反映輸出和輸入之間的同步性,并從側(cè)面對(duì)共振的分析提供參考;響應(yīng)幅值增益直接反映系統(tǒng)輸出和輸入信號(hào)之間的幅值變化情況,不能直接反映系統(tǒng)輸出和輸入信號(hào)之間的波形是否同步變化,假設(shè)系統(tǒng)輸出和輸入之間存在較大的滯后甚至反相,不會(huì)影響幅值增益β 的值,但會(huì)明顯影響相關(guān)系數(shù)Csx的值.因此,互相關(guān)系數(shù)和響應(yīng)幅值增益僅各從一個(gè)角度反映系統(tǒng)輸出的情況.

圖4 b=2,A=0.3,T=100 時(shí),響應(yīng)幅值增益β 與系統(tǒng)參數(shù)a 之間的函數(shù)關(guān)系Fig.4.Response amplitude gain β versus the system parameter a with b=2,A=0.3,T=100.

為了更好地揭示系統(tǒng)輸出x(t) 隨系統(tǒng)參數(shù)a的變化情況,此處引入另一個(gè)指標(biāo),即誤碼率(bit error rate,BER),誤碼率也可以用于描述系統(tǒng)的共振行為[37].對(duì)于誤碼率的計(jì)算,如何定義輸出被正確接收和錯(cuò)誤接收的碼元將直接影響誤碼率的值.眾所周知,系統(tǒng)輸出幅值一般不等于輸入信號(hào)的幅值.如果輸出的幅值絕對(duì)值大于給定的閾值A(chǔ)th就認(rèn)為碼元接收正確,反之則錯(cuò)誤.因此,閾值A(chǔ)th的選擇也至關(guān)重要.不同的閾值對(duì)應(yīng)不同的物理意義,此處分別選擇兩種典型的閾值,即Ath=0和Ath=A.顯然,Ath=0 意味著輸出和輸入之間的正負(fù)一致,這確保了輸出和輸入信號(hào)之間的同步性.在此基礎(chǔ)上,如果再滿足Ath=A,就能夠保證系統(tǒng)輸出和輸入在同步的基礎(chǔ)上幅值被放大.基于這種計(jì)算思想,圖5 給出了在兩種不同閾值A(chǔ)th情況下,誤碼率BER 與系統(tǒng)參數(shù)a之間的函數(shù)關(guān)系曲線.圖5 中關(guān)于參數(shù)a的數(shù)值計(jì)算步長(zhǎng)為 0.05 .對(duì)應(yīng)于Ath=A,當(dāng)a≤-0.85時(shí)BER=1,這說(shuō)明信號(hào)完全沒有被放大;而對(duì)應(yīng)于Ath=0 ,BER=0,說(shuō)明輸出波形和輸入波形完全同步.在a∈[-0.8,1.05] 區(qū)間上,對(duì)應(yīng)于Ath=A和Ath=0 的兩條曲線值接近,且都接近于0,這說(shuō)明在這段區(qū)間上系統(tǒng)能夠發(fā)生較強(qiáng)的非周期共振現(xiàn)象,即輸出能夠保持和輸入信號(hào)波形的相似性又能夠被放大.對(duì)于a＞1.1 的情況,兩條曲線重合且誤碼率保持為0.45,這說(shuō)明一部分信號(hào)被放大而另一部分信號(hào)被錯(cuò)誤接收,如圖3(c)和圖3(d)的輸出情形.在誤碼率曲線上,a∈[-0.8,1.05] 被認(rèn)為是比較強(qiáng)烈的非周期共振區(qū)間.對(duì)于a≥1.1 的情況,兩條誤碼率曲線幾乎完全重合,這主要是由于輸出向一個(gè)勢(shì)阱內(nèi)漂移并在一個(gè)勢(shì)阱內(nèi)振蕩,使輸出和輸入之間的正負(fù)不再完全同步,導(dǎo)致BER 取相對(duì)較大的值.

圖5 b=2,A=0.3,T=100 時(shí),誤碼率BER 與系統(tǒng)參數(shù)a 之間的函數(shù)關(guān)系Fig.5.Bit error rate (BER) versus the system parameter a with b=2,A=0.3,T=100.

互相關(guān)系數(shù)、響應(yīng)幅值增益、誤碼率在反映非周期共振方面都有一定的適用范圍和相應(yīng)的優(yōu)勢(shì),這3 種指標(biāo)也能反映一定的共性規(guī)律,比如3 種函數(shù)指標(biāo)曲線都顯示當(dāng)a=1.05 時(shí)系統(tǒng)輸出會(huì)呈現(xiàn)較強(qiáng)烈的非周期共振現(xiàn)象.

3 非周期M 進(jìn)制信號(hào)引起的非周期共振

3.1 非周期M 進(jìn)制信號(hào)

非周期M進(jìn)制信號(hào)為s(t)=Am,m=1,2,···,s(t) 在每個(gè) 碼元的 振幅為Am=(2m-1-M)A,且服從給定的概率分布,此處令Rm滿足均勻分布.當(dāng)(2)式中的隨機(jī)數(shù)Rm的選擇范圍從 -1和1 擴(kuò)大到 2m-1-M中的任意數(shù)時(shí),非周期二進(jìn)制信號(hào)擴(kuò)展為非周期M進(jìn)制信號(hào).在信號(hào)參數(shù)取值一定時(shí),圖6 中給出了M進(jìn)制信號(hào)3 種不同的波形.在本部分,圖中的3 種波形對(duì)應(yīng)的信號(hào)自上而下命名為Signal 4,Signal 5,Signal 6.

圖6 M=4,b=2,A=0.3,T=100 時(shí),非周期M 進(jìn)制信號(hào)的不同時(shí)域波形.自上而下信號(hào)分別標(biāo)記為Signal 4,Signal 5,Signal 6Fig.6.Different waveforms of the aperiodic M-ary signal with M=4,b=2,A=0.3,T=100.The signals are labeled as Signal 4,Signal 5,Signal 6 from top to bottom.

3.2 非周期共振分析

針對(duì)圖6 中給出的3 種信號(hào),圖7 給出了互相關(guān)系數(shù)Csx和系統(tǒng)參數(shù)a之間的關(guān)系曲線.由于輸入信號(hào)波形的差異,導(dǎo)致相關(guān)系數(shù)最小值的具體取值存在一定差異,這和信號(hào)長(zhǎng)度選取有關(guān),當(dāng)信號(hào)選取足夠長(zhǎng)時(shí)這種差異可以消失.相關(guān)系數(shù)最小值的微小差異不影響其對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)a取值,不影響系統(tǒng)參數(shù)引起的非周期共振基本規(guī)律.圖7 說(shuō)明非周期M進(jìn)制信號(hào)波形的不同不會(huì)導(dǎo)致Csx與a之間關(guān)系曲線的本質(zhì)變化,因此本部分對(duì)M進(jìn)制信號(hào)的共振分析以一種信號(hào)波形為例即可.以Signal 4 為例,分析相關(guān)系數(shù)隨著a的變化趨勢(shì),在a=2.2 處相關(guān)系數(shù)達(dá)到極小值,即谷值,在a=3處相關(guān)系數(shù)達(dá)到峰值.

圖7 M=4,b=2,A=0.3,T=100 時(shí),不同波形的非周期M 進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下,系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù) Csx 與系統(tǒng)參數(shù)a 之間的關(guān)系Fig.7.Cross-correlation coefficient Csx between the system output and input signal versus the system parameter a under the excitation of aperiodic M-ary signal with different waveforms at M=4,b=2,A=0.3,T=100.

為了進(jìn)一步探究系統(tǒng)輸出的共振情況,圖8 給出了系統(tǒng)參數(shù)a取值不同的情況下系統(tǒng)輸出的波形.參數(shù)a的取值主要參考了圖7 中對(duì)應(yīng)相關(guān)系數(shù)的取值情況.圖8(a)對(duì)應(yīng)于圖7 中相關(guān)系數(shù)曲線到達(dá)極小值之前的情形,時(shí)間序列反映了輸出和輸入之間存在一定的同步性,但部分信號(hào)幅值不僅沒有被放大,反而比之前的幅值小.圖8(b)對(duì)應(yīng)于圖7 中的曲線極小值,對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列是圖8 的4 幅子圖中非周期共振效果最強(qiáng)的.圖8(c)對(duì)應(yīng)于圖7 中的曲線峰值,此時(shí)雖然輸出和輸入信號(hào)的波形相似性較好,但輸出被限制在一個(gè)勢(shì)阱之內(nèi),輸出的幅值較小.在圖8(d)中,輸出仍然被限制在一個(gè)勢(shì)阱之內(nèi),信號(hào)幅值進(jìn)一步縮小.相較于非周期二進(jìn)制信號(hào)的情形,非周期M進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下非線性系統(tǒng)的輸出呈現(xiàn)更加復(fù)雜的特性,輸出難以達(dá)到既和輸入信號(hào)波形相似又被放大的效果.

圖8 b=2,A=0.3,T=100 時(shí),系統(tǒng)參數(shù)a 取值 不同時(shí)輸出的不同波形 (a) a=0 ;(b) a=2.2 ;(c) a=3 ;(d)a=5Fig.8.Different waveforms of the output under different values of the system parameter a with b=2,A=0.3,T=100: (a) a=0 ;(b) a=2.2 ;(c) a=3 ;(d) a=5 .

參照(5)式計(jì)算響應(yīng)幅值增益的方法,將(5)式改造為可以計(jì)算M進(jìn)制信號(hào)引起的響應(yīng)幅值增益的公式

從系統(tǒng)的輸出時(shí)間序列(如圖8 中的時(shí)間序列)可以發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)的輸出不再是M個(gè)碼元,而是會(huì)進(jìn)一步增加碼元的個(gè)數(shù),因此響應(yīng)幅值增益改進(jìn)為(6)式的形式.顯然,由于輸出中碼元的增多以及各碼元的相對(duì)位置變化較大,(6)式是一種均值意義上的估計(jì),能夠大致反映M進(jìn)制信號(hào)輸入系統(tǒng)后對(duì)應(yīng)的輸出被放大的程度.

圖9 給出了響應(yīng)幅值增益與系統(tǒng)參數(shù)a之間的函數(shù)關(guān)系,β-a曲線呈現(xiàn)明顯的共振現(xiàn)象.共振發(fā)生在a=2.2 處,對(duì)應(yīng)于圖7 中相關(guān)系數(shù)曲線的極小值即波谷位置,這說(shuō)明通過(guò)互相關(guān)系數(shù)和響應(yīng)幅值增益反映的共振點(diǎn)是一致的.圖9 的響應(yīng)幅值增益曲線能夠更好地反映信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后被放大的情況,圖中的峰值處β=1.35,這說(shuō)明信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后發(fā)生非周期共振后信號(hào)在一定程度上被放大,但信號(hào)幅值并不會(huì)在很大程度上被放大.

圖9 M=4,b=2,A=0.3,T=100 時(shí),響應(yīng)幅值增益β 與系統(tǒng)參數(shù)a 之間的函數(shù)關(guān)系Fig.9.Response amplitude gain β versus the system parameter a with M=4,b=2,A=0.3,T=100.

以誤碼率為計(jì)算指標(biāo),圖10 為誤碼率BER與系統(tǒng)參數(shù)a之間的關(guān)系曲線.對(duì)應(yīng)于Ath=0 的誤碼率曲線刻畫了輸出和輸入之間同步變化的情況,對(duì)應(yīng)于Ath=A的誤碼率曲線既刻畫了輸出和輸入之間同步變化又刻畫了信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后被放大的情況.曲線Ath=A取小值的區(qū)間是非周期共振較強(qiáng)烈的區(qū)間,比如圖7中a∈[0.65,1.05] 的區(qū) 間.當(dāng)a≥0.65 時(shí),對(duì)應(yīng)于Ath=A和Ath=0 的曲線基本重合.a取值在0 和1 之間,誤碼率曲線呈現(xiàn)階梯狀水平線,這既說(shuō)明系統(tǒng)輸出和輸入信號(hào)之間的波形存在一定的相似性,又說(shuō)明系統(tǒng)輸出中僅部分信號(hào)相較于輸入信號(hào)的幅值被放大.

圖10 M=4,b=2,A=0.3,T=100 時(shí),誤碼率BER 與系統(tǒng)參數(shù)a 之間的函數(shù)關(guān)系Fig.10.Bit error rate BER versus the system parameter a with M=4,b=2,A=0.3,T=100.

為了進(jìn)一步明確顯示系統(tǒng)發(fā)生非周期共振時(shí)的系統(tǒng)輸出情況,對(duì)應(yīng)于圖10 中的共振區(qū)選擇不同的a值,圖11 給出了對(duì)應(yīng)的響應(yīng)時(shí)間序列.圖11的時(shí)間序列,相較于圖8(b)—(d),輸出呈現(xiàn)出更明顯的同步性,輸出能夠在兩個(gè)勢(shì)阱之間隨著輸入同步翻轉(zhuǎn).圖8(b)中有一小部分輸出不能實(shí)現(xiàn)和輸入信號(hào)在兩個(gè)勢(shì)阱間同步穿越,導(dǎo)致共振效果欠佳.圖8(c)中的輸出幾乎都被限制在一個(gè)勢(shì)阱內(nèi),共振效應(yīng)進(jìn)一步下降.對(duì)應(yīng)于圖10 中的共振區(qū)中的參數(shù)取值,圖11 中的時(shí)間序列不存在上述問(wèn)題,輸出和輸入之間的同步性較好,信號(hào)在一定程度上被放大.從圖11 的時(shí)間序列進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),M進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的非周期共振更側(cè)重于對(duì)輸入和輸出之間同步性及碼元接收正確性的一種描述,不再側(cè)重于信號(hào)的放大效應(yīng).

圖11 M=4,b=2,A=0.3,T=100 時(shí),系統(tǒng)參 數(shù)a 處于共 振區(qū)時(shí) 輸出的波形 (a) a=0.65 ;(b) a=0.75 ;(c) a=0.85 ;(d)a=0.95Fig.11.Different waveforms of the output when the system parameter a lies in the resonance region with M=4,b=2,A=0.3,T=100: (a) a=0.65 ;(b) a=0.75 ;(c) a=0.85 ;(d) a=0.95 .

對(duì)比非周期二進(jìn)制信號(hào)引起的共振和非周期M進(jìn)制信號(hào)引起的共振,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)的變化均能引起非周期共振現(xiàn)象,且兩種信號(hào)引起的非周期共振程度可以用相同的指標(biāo)進(jìn)行描述,反映共振規(guī)律的曲線具有相似的特點(diǎn).然而,非周期二進(jìn)制信號(hào)引起的共振能夠達(dá)到更強(qiáng)的共振程度,而非周期M進(jìn)制信號(hào)引起的共振程度相對(duì)較弱.這是因?yàn)榉侵芷诙M(jìn)制信號(hào)波形相對(duì)簡(jiǎn)單,經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后雖然輸出信號(hào)幅值發(fā)生了變化,但一般情況下仍保持為非周期二值信號(hào),而非周期M進(jìn)制信號(hào)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后一般會(huì)增大M的值,即輸出信號(hào)取值多于M個(gè)值,這就造成了輸出信號(hào)波形難于和輸入的M進(jìn)制信號(hào)匹配,因而從度量指標(biāo)和輸出波形上反映的共振程度較弱.

4 結(jié)論

分別以非周期二進(jìn)制信號(hào)和非周期M進(jìn)制信號(hào)作為輸入信號(hào),研究單一非周期信號(hào)激勵(lì)下非線性系統(tǒng)的響應(yīng)行為,重點(diǎn)討論非周期共振現(xiàn)象及其度量方法.研究主要得到了以下結(jié)論:

1)在單一的非周期二進(jìn)制信號(hào)或者非周期M進(jìn)制信號(hào)激勵(lì)下,通過(guò)調(diào)整系統(tǒng)參數(shù),非線性系統(tǒng)的輸出能發(fā)生非周期共振.當(dāng)非周期共振發(fā)生時(shí),系統(tǒng)輸出和輸入信號(hào)之間保持較好的同步性,即系統(tǒng)輸出在勢(shì)阱內(nèi)的穿越和輸入信號(hào)的正負(fù)變化也同步,且系統(tǒng)輸出的幅值比輸入信號(hào)幅值增大.

2)為了更好地度量非周期共振效果,分別采用了互相關(guān)系數(shù)、誤碼率作為指標(biāo),并提出了響應(yīng)幅值增益指標(biāo).互相關(guān)系數(shù)指標(biāo)能夠較好地刻畫輸出和輸入之間同步性與波形相似性,無(wú)法直接判斷輸出是否發(fā)生了非周期共振,但可以輔助判斷非周期共振的發(fā)生.針對(duì)采用的兩種形式的非周期信號(hào),非周期共振點(diǎn)均在互相關(guān)系數(shù)取極小值即波谷的位置.響應(yīng)幅值增益指標(biāo)可以直接刻畫系統(tǒng)輸出的幅值相較于輸入信號(hào)幅值被放大的情況,但無(wú)法描述系統(tǒng)輸出和輸入信號(hào)之間的同步性或波形相似性.以誤碼率作為非周期共振的度量指標(biāo),選擇合適的閾值,誤碼率曲線既能反映系統(tǒng)輸出和輸入信號(hào)的同步性和波形相似性,也能描述信號(hào)的放大性,并在曲線上呈現(xiàn)明顯的共振區(qū).

3)從共振效果上看,非周期二進(jìn)制信號(hào)引發(fā)的非周期共振比非周期M進(jìn)制信號(hào)引發(fā)的共振更強(qiáng)烈,這是由非周期M進(jìn)制信號(hào)本身的復(fù)雜性以及通過(guò)系統(tǒng)后輸出的復(fù)雜性導(dǎo)致的.

不論是比較簡(jiǎn)單的非周期二進(jìn)制信號(hào)還是更復(fù)雜的非周期M進(jìn)制信號(hào)引起的非線性系統(tǒng)響應(yīng),如果要明確地描述系統(tǒng)的非周期共振現(xiàn)象,應(yīng)該選擇多個(gè)指標(biāo)從多個(gè)角度進(jìn)行描述,同時(shí)考慮不同指標(biāo)對(duì)非周期共振效果的影響.通過(guò)選擇不同的非線性系統(tǒng)、采用優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)適應(yīng)度函數(shù)最優(yōu)化、綜合考慮非周期隨機(jī)共振、振動(dòng)共振、系統(tǒng)共振等多種共振模式,有望進(jìn)一步提高系統(tǒng)的共振效果.本文雖然只考慮了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)非周期共振的影響,但發(fā)現(xiàn)了單一非周期信號(hào)激勵(lì)下非線性系統(tǒng)的非周期共振這種之前未被明確提出的新現(xiàn)象,并對(duì)非周期共振效果的度量給出了多個(gè)指標(biāo)和多種方法.以本文的研究為基礎(chǔ)并通過(guò)進(jìn)一步拓展,還可以深入探討不同非線性系統(tǒng)以及更多形式的非周期信號(hào)引起的非周期共振新現(xiàn)象、提高共振效果的新方法、以及在不同物理背景下的新應(yīng)用.