麥克斯韋滾擺的力學(xué)過(guò)程分析

李鐵平,萬(wàn) 淼,金三梅,景銳平

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院,湖北 武漢 430074)

麥克斯韋滾擺如圖1所示,當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)滾擺的軸,使?jié)L擺上升到頂點(diǎn)時(shí),滾擺儲(chǔ)蓄一定的勢(shì)能. 當(dāng)滾擺被松開,開始旋轉(zhuǎn)下降,滾擺勢(shì)能逐漸減小,動(dòng)能(平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能)逐漸增加. 當(dāng)懸線完全松開,滾擺不再下降時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)角速度與下降平動(dòng)速度達(dá)到最大值,動(dòng)能最大. 由于滾擺仍繼續(xù)旋轉(zhuǎn),它又開始纏繞懸線使?jié)L擺上升. 在滾擺上升的過(guò)程中動(dòng)能逐漸減小,勢(shì)能逐漸增加,上升到原來(lái)高度時(shí),動(dòng)能為零,勢(shì)能最大. 如果忽略能量損耗,滾擺每次上升的高度都相同,說(shuō)明滾擺的勢(shì)能和動(dòng)能在相互轉(zhuǎn)化過(guò)程中,機(jī)械能的總量保持不變[1-3]. 玩具溜溜球[4-5]就是麥克斯韋滾擺的普及版.

圖1 麥克斯韋滾擺

1 下降過(guò)程的力學(xué)分析

重力作用下滾擺的運(yùn)動(dòng)是滾擺質(zhì)心的平動(dòng)與滾擺繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng). 如果不計(jì)空氣阻力,滾擺在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒. 在任意時(shí)刻,滾擺的總動(dòng)能E等于質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和,即

(1)

式中,J是滾擺對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

滾擺的受力情況如圖2所示,圖中r是軸的半徑,T是繩對(duì)滾擺的拉力,mg是滾擺受到的重力,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得[6-7]

圖2 麥克斯韋滾擺的受力分析

(2)

式中,ac為質(zhì)心的加速度,β為繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度.由此可解出

(3)

若滾擺從靜止開始下降,經(jīng)過(guò)時(shí)間t,其下降的高度為

(4)

質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能為

(5)

繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

(6)

顯然滿足

Ekt+Ekv=mgh.

(7)

式(7)表明,滾擺在下降過(guò)程中,減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能與繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和,即滾擺在運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能守恒.

由于轉(zhuǎn)軸的半徑r遠(yuǎn)小于擺輪的半徑R,且擺輪的質(zhì)量主要分布于擺輪的邊緣,所以有J?mr2,從而有Ekt?Ekv,即滾擺質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能很小,而滾擺質(zhì)心速度與擺輪邊緣轉(zhuǎn)動(dòng)線速度的比值為

(8)

所以視覺(jué)上的感受是轉(zhuǎn)軸平移很慢,而擺輪轉(zhuǎn)得很快.

當(dāng)滾擺下降到最低點(diǎn)時(shí),擺輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能達(dá)到最大值,由于轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性,滾擺開始反向纏繞懸線,下落過(guò)程中獲取的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能將重新轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能,輪的轉(zhuǎn)速逐漸減小,質(zhì)心位置升高,重力勢(shì)能增大.即到最低點(diǎn)后,滾擺的動(dòng)能轉(zhuǎn)換為重力勢(shì)能,直至到達(dá)最高位置.然后滾擺在重力作用下再次下降,如此反復(fù)……

2 回轉(zhuǎn)點(diǎn)的力學(xué)分析

若要優(yōu)化麥克斯韋滾擺結(jié)構(gòu),可減少平動(dòng)動(dòng)能在動(dòng)能里面的占比,讓勢(shì)能盡可能多地變成轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.

滾擺下落到最低點(diǎn)時(shí),質(zhì)心速度反向是否會(huì)損失部分能量?如圖3所示,質(zhì)心速度的反轉(zhuǎn)不是“瞬時(shí)”完成,而是經(jīng)歷向下的質(zhì)心速度,改變成水平速度,再轉(zhuǎn)化向上的速度,其中能量依然保持守恒.

(a) (b) (c) (d) (e)

分析質(zhì)心速度的改變過(guò)程,必然需要考慮質(zhì)心速度水平方向改變的動(dòng)力來(lái)源.

圖3中的(a)～(e)為滾擺在最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程. 在該過(guò)程中,系統(tǒng)的質(zhì)心位置下降,重力勢(shì)能減小,動(dòng)能增加. 其中,圖3(a)是滾擺質(zhì)心達(dá)到懸線末端時(shí)的狀態(tài)圖,滾擺在下落接近最低點(diǎn)時(shí),滾輪懸掛點(diǎn)A離開鉛直位置,懸線略為傾斜,由于擺繩在內(nèi)輪的切線方向,故切點(diǎn)A的速度可表示為vA=vc-ωr.剛開始點(diǎn)A在OO′連線右下方,OO′是頂端懸掛點(diǎn)O′與滾擺中心O的連線,如圖3(b)所示,此時(shí)拉力矩方向與滾輪角加速度β方向相同,轉(zhuǎn)動(dòng)加速.由于滾輪受到的合力導(dǎo)致滾輪做回復(fù)到鉛直位置的運(yùn)動(dòng),因此質(zhì)心水平方向的速度增加,豎直方向速度減小,即vc方向偏離鉛直位置. 隨著滾輪的轉(zhuǎn)動(dòng),某一時(shí)刻點(diǎn)A會(huì)落在OO′的連線上,如圖3(c)所示,此時(shí)系統(tǒng)所受的拉力矩減小到0,轉(zhuǎn)速達(dá)到最大. 滾輪繼續(xù)運(yùn)動(dòng),某一時(shí)刻點(diǎn)A會(huì)落在OO′的連線左上方,如圖3(d)所示,此時(shí)拉力矩方向與滾輪角加速度β方向相反,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能減小,平動(dòng)動(dòng)能增加,即轉(zhuǎn)動(dòng)減速,平動(dòng)加速. 由于點(diǎn)A受到向右的分力作用,直到點(diǎn)A回復(fù)到鉛直位置,如圖3(e)所示,此時(shí)小球中心O到達(dá)最低點(diǎn),滾輪回復(fù)到鉛直位置,質(zhì)心速度變?yōu)樗剿俣?

懸線拉力將原先質(zhì)心向下的速度改變方向,直到最低點(diǎn)速度為水平方向,其平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能到達(dá)最大值,理論上沒(méi)有發(fā)生能量的損耗;如果忽略懸線的微小偏移,無(wú)法理解質(zhì)心平移速度的反轉(zhuǎn).

其后發(fā)生的上升過(guò)程與降落過(guò)程正好相反,就不再討論了.

通過(guò)力學(xué)模擬與簡(jiǎn)化分析,可以得到懸繩最大拉力

(9)

代入實(shí)際麥克斯韋滾擺的參考值,J=20mr2,h=1 m,r=0.5 cm,得到Tmax≈20mg.最大拉力確實(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于滾擺的重力mg,所以很多研究者略去力學(xué)過(guò)程的分析,只是簡(jiǎn)單的把最低點(diǎn)的回轉(zhuǎn)過(guò)程理解為沖擊模式.

在滾擺整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,滾擺在理論上是能回復(fù)到釋放點(diǎn)的.但本文的模型是基于忽略空氣阻力、輕質(zhì)彈性細(xì)線,也沒(méi)有考慮轉(zhuǎn)軸系繩點(diǎn)在技術(shù)上會(huì)發(fā)生移動(dòng)摩擦.通過(guò)適當(dāng)處理,系繩點(diǎn)的移動(dòng)可能減少到極值;但空氣阻力無(wú)法克服,會(huì)導(dǎo)致部分能量損耗,還有非絕對(duì)剛性的細(xì)繩也會(huì)導(dǎo)致部分能量損耗;另外細(xì)繩質(zhì)量也會(huì)導(dǎo)致一定的能量消耗.

3 結(jié)束語(yǔ)

滾擺物理裝置具備極高的保守能量轉(zhuǎn)化率,對(duì)其運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)向的分析大多采用“沖擊”模式,夸大了繩索非彈性形變帶來(lái)的能量損失.實(shí)際生活中,通過(guò)對(duì)滾擺適當(dāng)改進(jìn)就可讓其32次的上下往返.