多模態聲駐波場的探究

朱彥達,吳苜饒,符維娟

(復旦大學 物理學系,上海 200433)

駐波現象廣泛存在于日常生活及實際應用中,很多形式的波在一定條件下都能形成駐波現象,例如繩上的機械波在端點反射后干涉形成可見的駐波現象[1],在演奏管樂器時通過在管中形成駐波從而發出悅耳的聲音[2],激光器的制作過程中讓電磁波在諧振腔中干涉形成駐波[3]等. 因此,研究駐波現象的形成過程、物理機制和應用具有重要意義. 大學物理教學中,駐波通常作為特別的干涉現象設置在振動和波動章節后,課堂教學中也常采用駐波演示實驗. 文獻[1]中采用圓偏振波演示實驗儀演示兩端固定的一維弦線在不同模態下的駐波形態;文獻[4-5]中的聲駐波演示儀采用一定長度的圓形駐波管,借助霧滴、聲控二極管等演示駐波場的空間分布,但是媒介的離散性以及能量的損耗的影響使得管中駐波現象的空間連續性不如弦線駐波.

本文設計并搭建多模態聲駐波演示儀,可以通過自動掃頻測量駐波管的實際模態頻率,再通過自動掃場測量各個模態下的聲駐波場分布,并實時監聽駐波場內部的聲音;還可探究邊界條件對聲駐波場的影響,并觀察聲場的非線性特征.

1 演示實驗裝置的設計

多模態聲駐波演示儀的裝置設計如圖1所示,主要包括激勵端(喇叭)、駐波管(有機玻璃管)及信號采集端(放置于移動滑臺上的麥克風),麥克風和喇叭均連接到電腦.

圖1 多模態聲駐波演示儀裝置設計圖

多模態聲駐波演示儀的實物裝置如圖2所示,音源喇叭封裝在黑色的3D打印組件中,角鋁支架上可放置不同長度和半徑的亞克力駐波管,末端裝有微型麥克風的碳纖維管用3D打印組件架在滑臺上,滑臺為LD45同步帶導軌滑臺套裝(由有效行程為500 mm的導軌滑臺、控制器、驅動器等組成),實驗裝置固定于防震的木制底板上.

圖2 多模態聲駐波演示儀實物裝置圖

1.1 激勵端

激勵端為外徑5.5 cm的紙盆喇叭,采用Audition音頻分析軟件制作了不同的音源文件,隨時間均勻升高的音調用于掃頻測量,單頻聲音用于掃場測量,音源的強度保持恒定. 需要注意的是,喇叭實際輸出的聲音與Audition設置的聲音之間存在差異. 例如,Audition設置輸出正弦波,采集到的喇叭輸出聲音波形偏離正弦波,其頻譜中可觀察到高次諧頻.

1.2 駐波管

亞克力駐波管如圖3所示,有32cm和48cm2種長度;2種管徑(外徑5.5 cm/內徑5.2 cm,外徑5.5 cm/內徑1.8 cm). 此外,還制作了3D打印的PETG材料反射界面,如圖4所示.

圖3 亞克力駐波管

圖4 反射界面

1.3 接收端

選用直徑較小的駐極體麥克風,減少麥克風端面反射對管內聲場的影響. 該麥克風具有較好的指向性,能夠減小管壁反射對聲場探測的影響. 麥克風置于碳纖維管末端,與導軌滑臺的連接部件由3D打印制作,采用類似于光具座的結構實現麥克風的高度調控.

LD45同步帶導軌滑臺套裝的導程為75 mm/r,其主要可調參量包括:電機電流、驅動電機轉1圈對應的脈沖數以及單位時間輸入的脈沖數. 其中,電機電流決定了電機的扭矩. 脈沖數決定了滑臺的移動速度,如果速度過小,則掃場測量時間太長;如果速度太大,則駐極體聲傳感器的響應不夠. 本實驗系統負載較小,電流調至最小0.50 A. 其他參量設置為:5 000 r-1,400 s-1,滑臺以6 mm/s的速度勻速自動移動.

麥克風采集到的聲音信號輸入Audition實時顯示時域波形,經短時傅里葉變換(Shorttime Fourier transform, STFT)得到的頻譜(FFT大小為8 192,窗口為漢恩)提供了駐波管中某點聲場的頻域信息. 同時,還對駐波管內部聲場進行同步監聽并以藍牙音箱實時外放.

2 實驗方法

2.1 固定位置下的掃頻測量

利用Audition制作在200～3 200 Hz范圍內頻率均勻增加、總時長為30 s的掃頻音源,將麥克風放置于駐波管(長度為32 cm、內徑為1.8 cm)的管口,并播放掃頻音源. 管口處測得的聲音波形如圖5所示,圖中若干個峰對應了駐波管的共振響應,峰處的頻率為駐波管的模態頻率. Audition頻率分析窗口(圖6)顯示了圖5中指針(紅色豎線)處的STFT頻譜結果,圖6中可見基頻和諧頻,讀出基頻數值約為1 439 Hz,即為相應的駐波管模態頻率.

圖5 駐波管管口處掃頻測量結果圖

圖6 STFT頻率分析窗口

2.2 固定頻率下的掃場測量

將音源設定為單一頻率的正弦波,編寫程序控制滑臺自動移動,使麥克風沿著駐波管軸向進行掃場測量,結果如圖7所示,橫軸為時間,縱軸為聲強. 測量過程如下:打開音源(A)→麥克風從管外向管內移動→麥克風進入管內(B)→麥克風將要碰到喇叭時停止移動(C)→麥克風從管內快速向管外移動(D)→回到原位并停止(E).因此,BC段為靠近音源的慢速掃場結果,DE段為遠離音源的快速掃場結果.

圖7 駐波管軸向掃場測量結果圖

3 有限長圓管中的聲駐波物理模型

3.1 單模態的空間駐波圖像

平面聲波在有限長的均勻管中傳播,若末端管口處存在不均勻界面,即為聲負載,一部分聲波被負載吸收,另一部分則被負載反射,與管中原始聲場疊加[6]. 將原點取在末端負載處,入射波與反射波的形式分別為

(1)

入射波和反射波疊加得到管中的總聲壓為

p(x)=pi+pr=|pa(x)|ei(ω t+φ),

(2)

總聲壓振幅為

|pa(x)|=

其中,φ為引入的固定相位.長為L的圓管中,聲波在反射率分別為r1和r2、反射相位為σπ的前后端界面間多次反射,管內的總聲壓

(3)

由式(3)可以看出,駐波振幅由反射率與反射相位共同決定,由此反射界面的性質也是影響駐波管模態的重要因素.將駐波管的共振頻率定義為使駐波的最大振幅取極大值的頻率,此時波數滿足

(4)

(5)

式中,c0=340 m/s為管內空氣中的聲速.在某個共振頻率下平面聲波在駐波管內形成相應模態的駐波場,因此共振頻率也稱為模態頻率.

若采用p(x)=Acos (kx+φ)cos (ωt+ψ)作為駐波解[7],并結合反射條件可以得到與式(5)形式相同的共振頻率結果.

3.2 駐波圖像的精細結構

圖6顯示駐波場中某點的STFT頻譜存在諧頻,因此圓管中的聲駐波不僅包括聲源輸出基頻的駐波場,還包括高次諧頻的駐波場. 由于不同頻率的駐波場在空間的分布不同,而且高次諧頻的聲強比基頻小,所以將其稱為駐波場的精細結構.

上述討論中描述聲壓的方程為線性方程,其滿足的前提是聲波振幅不太大,空氣密度視為常量.當聲波振幅較大時,空氣密度不可看作常量,空氣質量元的運動方程為

(6)

式中,η為黏度.假設此時空氣仍滿足流體連續性方程與絕熱方程,一維行波的速度與密度波動方程應修改為

(7)

由于速度波和密度波具有固定的相位差,有

(8)

于是行波的速度波滿足

(9)

當聲源為簡諧振動時,式(9)的1個特解為

(10)

對該特解做線性展開,可以得到

(11)

由式(11)可知,諧頻與基頻的強度正相關,在聲場強度較小時,諧頻相對基頻成分為小量,諧頻強度隨傳播距離的增加而增大,從而產生了隨傳播積累的非線性效應.

4 實驗結果與討論

4.1 模態頻率與單模態駐波

為了獲得駐波管的模態頻率,采用2.1描述的掃頻法對駐波場中的固定點進行測量. 駐波管的外徑為55 mm、內徑為18 mm,駐波管末端為開口,分別對L=32,48 cm的駐波管端口場點進行掃頻測量,結果如圖8所示.

(a)L=32 cm的掃頻結果

圖8中可見若干個顯著波峰,對應了駐波管的模態頻率,通過Audition獲取各個峰處的頻率值,結果如表1所示.

表1 不同管長駐波管的模態頻率

表1中,長駐波管的模態頻率較短駐波管小,符合式(5)中模態頻率隨管長的變化規律,各模態頻率測量值與式(5)理論計算值存在10%～20%的偏差.

選取L=32 cm的駐波管,末端開口,采用駐波管的第2和第3個模態頻率(1 016 Hz與1 454 Hz),制作單頻正弦波掃場音源,根據2.2描述的掃場法對管內駐波場進行掃場測量,結果如圖9所示.

(a)1 016 Hz模態的駐波場

圖9為連續的駐波形態,讀取1 016 Hz和1 454 Hz的駐波波長分別為16.6 cm和11.7 cm,相應的聲波波長分別為33.5 cm與23.4 cm,在誤差范圍內滿足2倍駐波波長等于聲波波長,符合3.1節中的界面反射理論.

將音源改為同振幅的非模態頻率(1200Hz)正弦波聲音,與模態頻率(1 454 Hz)音源掃場結果的對比如圖10所示,2種音源的頻率差異較小,音源輸出的頻率響應差異可忽略.

圖10中非模態頻率音源下的管內聲場仍有駐波場特征,駐波波長為聲波波長的1/2,與模態頻率一致,但是波腹處的振幅顯著小于模態頻率. 由于實際音源產生的波并非理想平面簡諧波,從而使得駐波管的模態頻率理論計算值[式(5)]和實測值(表1)存在偏差. 根據圖10的對比結果可知,采用掃頻法測得模態頻率,并用模態頻率音源激發駐波管,才能得到最大的駐波振幅,達到駐波管的共振狀態. 因此,掃頻法是獲取駐波管模態頻率真值的有效實驗方法,也為式(5)理論計算的修正提供了依據.

圖10所示的單模態駐波場圖像中,波節的振幅并不為零,其可能原因為開口端界面反射率并不為1. 此外,圖6顯示了駐波場中存在諧頻,為了確定諧頻是由駐波管的非線性效應產生還是由音源喇叭產生,對開放環境中距離音源喇叭2 cm處的場點進行了測量,其頻譜如圖11所示.

圖11 音源喇叭實際輸出聲音的頻譜(500 Hz正弦波)

圖11中,音源設置為500 Hz的正弦波,實際輸出除了500 Hz的基頻外,還包含高次諧頻,這是喇叭自身的非線性效應所致. 因此,駐波管中基頻和各次諧頻駐波場疊加形成復雜的空間聲場,通過頻譜圖可探究駐波場的精細結構,即各頻率的駐波場.

圖12是模態頻率(1 016 Hz)下波腹和波節處的頻譜圖,波節處的聲強由基頻和諧頻共同組成,波節處的諧頻成分比波腹處更為顯著. 因此,界面反射率和諧波共同使得波節處的聲強不為零. 圖12顯示諧頻成分相對基頻較小(縱坐標單位為dB),僅做聲駐波場空間圖像演示時仍可近似認為是管中為基頻單模態空間駐波場.

(a)波腹處的頻譜圖

4.2 界面對模態頻率及反射相位的影響

為了演示邊界條件對駐波管末端反射相位的影響,在L=32 cm的駐波管末端放置剛性界面(3D打印制作的PETG塑料擋板). 對開口界面和剛性界面下的駐波管端口處分別進行掃頻測量,結果如圖13所示.

(a)開口界面的掃頻結果

用Audition讀取圖14中的駐波管模態頻率數據,如表2所示.

表2 開口/剛性界面下的模態頻率比較(L=32 cm)

(a)開口界面的駐波圖像

根據表2中的數據,用1 454 Hz模態頻率音源激發末端為開口界面的駐波管,用1 712 Hz模態頻率音源激發末端為剛性界面的駐波管,掃場測量結果如圖14所示.

再用非模態頻率(1 200 Hz)音源對開口界面管與剛性界面管進行掃場測量,結果如圖15所示.

(a)開口界面的駐波圖像

由圖14和圖15可知,模態頻率和非模態頻率音源激勵下,剛性界面均靠近駐波場波腹位置,開口界面均靠近駐波場的波節位置. 駐波管末端為波腹還是波節由反射相位決定,反射相位又由反射界面決定,因此通過駐波圖像可以推斷反射界面的聲學特性.

開口界面處靠近波節位置,存在半波損失,反射相位為π,因此開口界面的反射為波疏(管內空氣)到波密(開放環境空氣)介質反射. 剛性界面處靠近波腹位置,反射相位為0,因此剛性界面的反射為波密(管內空氣)到波疏(剛性界面)介質反射. 不同于光(電磁波)在空氣-有機玻璃或塑料界面反射時認為空氣是波疏介質、有機玻璃或塑料為波密介質,機械波在空氣中的波速比在有機玻璃或塑料中快[4]. 文獻[8]中也指出剛性界面與開口界面的反射率均可看作為1,反射相位分別近似為0(剛性)和π(開口).

4.3 實驗裝置結構參量對演示效果的影響

為了考察麥克風端面的反射對管中駐波場的影響程度,分別用直徑為8 mm和4 mm的麥克風對長度為32 cm、內徑為18 mm和51 mm的駐波管,在1 000 Hz頻率音源激勵下進行掃場測量,結果如圖16所示.

(a)φ4 mm麥克風的駐波場

圖16顯示φ8 mm的麥克風掃場得到的駐波場圖像波腹兩側明顯不對稱,而φ4 mm的麥克風的駐波場圖像基本對稱,由此需要選用直徑較小的麥克風.

麥克風移動過快也會引起波形的畸變,圖17為麥克風移動速度相差5倍時的掃場結果對比,掃場過快時噪聲增加、波形不光滑,減慢速度可以得到光滑的波形. 但是麥克風移動過慢又會使得外放同步監聽的聲強變化過于緩慢,影響人耳對聲音周期性強弱變化的分辨,因此演示實驗時需要在波形與聲音之間權衡取得最佳的綜合演示效果.

(a)移動速度為v/5的駐波圖像

為考察駐波管內徑對于演示效果的影響,對長度均為32 cm,外徑均為55 mm,但內徑分別為18 mm與51 mm的2種駐波管,在1 000 Hz頻率音源激勵下進行掃場測量,結果如圖18所示.

(a)18 mm內徑的駐波圖像

圖18中可見,小內徑的管中駐波場更為理想,這是由于小內徑管內截取了喇叭原始聲場中的近軸部分,是更理想的平面聲場. 小內徑管中聲場能量更集中,聲強強度更大,麥克風采集到的聲壓振幅也更大. 此外,小內徑管的末端開口界面處突變程度較大,反射率更接近1,波腹、波節強度差異更明顯.

5 結 論

本文設計并制作了具有自動掃頻、自動掃場、可變界面以及實時外放監聽功能的視聽一體的聲駐波演示儀,并通過一系列實驗確定了具有良好演示效果的結構參量和條件參量. 該演示儀可以通過自動掃頻測得聲駐波管的實際模態頻率,通過自動掃場獲取各個模態頻率下的聲駐波場圖像,駐波特性顯著、具有良好的空間連續性. 通過駐波管末端呈現波腹或波節來推斷反射界面的聲學特性,通過頻譜圖揭示管中聲場具有基頻和各次諧頻駐波場的精細結構. 該演示儀可用于大學物理課堂教學,演示駐波、半波損失、邊界條件、諧波、非線性效應等物理概念,也可用于復雜聲駐波場的研究.