多視角解析高考真題，提煉解題與教學技巧

彭羅

【摘要】在新高考背景下，以多面體的外接球為載體，考查空間中點、直線、平面的位置關系和數量關系的題型成為高考題中的重要題型.對于此類問題，多數學生在考試中往往找不到解題的突破口，這種現象反映出學生未能理解相關知識點和掌握相應的解題方法，無法體會知識和技能的內在本質屬性的問題.因此，數學教育工作者應從多視角分析試題，幫助學生解決問題，突破難點，掌握對應的解題策略和方法.

【關鍵詞】高考真題；解法探究；外接球

在新一輪高考改革背景下，全國高考數學卷對核心素養中邏輯推理和直觀想象、數學建模的考查，已經提升到舉足輕重的地位.2022年新高考Ⅰ卷試題在筆者的記憶深處烙下了很深的印痕，讓人久久難以忘懷.其中第8題是一道蘊含“導數、立體幾何、均值不等式”等知識的問題，并且不同于以往考查方式，不落窠臼，讓人耳目一新.這道題題目簡明清晰、綜合性強，綜合考查導數、立體幾何、最值等知識，同時對學生數學計算、推理判斷等綜合運用能力的考查也很明顯.眾所周知，在高中數學復習中，習題課的地位至關重要.而難易設置層次比較清晰的高考真題，往往是教育工作者的選題來源，針對高考真題的習題課是高三復習的重點.對于教學工作者而言，啟發發現高考真題解題方法的過程、引導學生歸納總結方法，是習題課的重點.甚至探索題目本源、揣摩命題方向、闡述題目本質也成了嘗試達成的教學目標.下面筆者從多個視角探究2022年新高考Ⅰ卷第8題的解法，同時對習題課中如何達成數學教學目標提供參考和建議.

一、試題呈現及多視角分析

解法一 基于構建函數模型視角

由題意聯想到目標函數的構建，常規思路可選擇側棱長l為自變量，建立一個體積函數以所給取值范圍為定義域、以體積為因變量，通過導數工具來求出單調區間，利用端點效應就可算出體積的最值.

解法二 基于構建不等式模型視角

由于本題背景是正四棱錐，給定了側棱長取值區間，那么底面邊長和正四棱錐的高都限制在一定范圍內，且二者必存在等量關系，所以相關問題可結合不等式的性質來解決.

如圖1所示，設點E是底面正方形ABCD的對角線AC與BD的交點，連接PE，則直線PE必過球心O，連接OA，設底面正方形ABCD的邊長為a，正四棱錐的高為h，

變式2：將“正四棱錐”改為“正四棱柱”，其他條件不變，求正四棱柱體積的取值范圍.

變式3：將“正四棱錐”改為“正四棱臺”，其他條件不變，求正四棱臺體積的取值范圍.

二、解法評注

本題以正四棱錐為載體，不僅考查了空間點、直線、平面的位置關系，而且考查了利用導數研究最值問題的方法，充分體現了在學科主干知識點交匯處命題的思想.情境設置比較新穎，利用外接球為載體考查數學建模是本題的亮點，函數模型的構建是關鍵.解法一以側棱長為自變量來構建目標函數，突破口在于建立側棱長與底面積、高之間的關系式，獲得體積函數.要求出最大值和最小值，只需利用導數獲得單調性即可.解法二以正四棱錐的高為主元，利用勾股定理發現高和底面邊長之間的等量關系，通過三元均值不等式來得到最大值.解法三以夾角為自變量，利用外接球半徑表示底面積和高，構建出體積的三角函數來求解最值.將三種解法進行對比，從中歸納：在一定的情境下，通過探索變量間的隱性關系，構建相應的模型求出最值是解決此類問題的常用方法.學生只有具備敏銳的洞察力和良好的建模素養才能順利解決問題.三種解法靈活多變，教學工作者針對不同解法的特點啟發、引導學生進行恰當選擇并綜合運用，能達到淡化解題技巧，培養發散思維能力的目標.

一題多解，從多個方向剖析高考真題，可以最大限度地發揮學生的內驅力，拓寬學生的思路，促進思維的發散，還可以更有效地輔助教學，探索問題的本質.在高三復習中，教師要始終貫徹“鞏固基礎為本，提高能力為要”的指導思想，通過對例題的多維度剖析，再進行跟蹤訓練，使學生的數學建模素養在無形中得到提升.

三、教學啟示

（一）關注知識的生成，領會數學本質

知識網絡結構的重建與梳理及能力提升是高三復習的核心目標.在現階段高三復習中，存在“機械刷題”的現象，這與《中國高考評價體系》中高考的育人目標、考查要求相抵觸.在高三復習中，有的教師認為基礎知識在高一、高二新授課中重點講解和探究了，因此在一輪復習中主要通過解題訓練，以練代講來強化學生對知識點的掌握.但是，在現實教學中，由于對知識點的理解不到位，學生錯誤答題的案例屢見不鮮.這充分說明，在知識的重構階段不能走過場和流于形式，教師應再次帶領學生回顧知識點的生成和其蘊含的思想方法.比如這道題的解法三就是源于課本例題應用題.知識網絡重構對學生數學核心素養的養成與發展起著關鍵性的作用，僅通過機械式刷題，學生在以前沒有理解的知識到復習階段仍然還是一知半解.依靠刷題來提分的時代已經一去不復返了，高考試題越來越“活”，越來越沒有“套路”可言，學習來不得半點虛假，只有踏踏實實抓好基礎知識，學好基本技能、基本方法，學生才會不斷提高能力、發展素養.

（二）少一點“套路”，多一點思維品質的培養

在傳統教學中，大多教師會讓學生反復練習常見的考試題型，慢慢形成解題的“套路”，以熟練來取勝，甚至引導學生總結答題模板.現在的高考模式正在打破這些“套路”，國家需要培養創新型人才，高考的選拔功能就體現在為國家選拔創新型人才上，創新從哪里開始，就要從高考選拔開始.比如在復習立體幾何知識的時候，對于求點到平面距離的問題，大多數教師往往強調向量法，構建空間直角坐標系，把點面距離轉化為平面的斜線在平面法向量上的投影，形成解題“套路”，讓學生養成慣性思維，從而忽視學生的思維發散.對于該部分的復習，教師可以幫助學生構建空間直角坐標系，還可以引導學生思考：“這種問題設問的方法有哪些？涉及哪些知識點？構建坐標系的途徑有哪些？處理問題的途徑有哪些？還有沒有其他方法？”逐步啟發學生自主學習，積極探索，避免生搬硬套解題模板，讓學生思維活躍，其解題能力自然就提高了.

（三）鞏固教學效果，回歸課本

數學復習效果需要鞏固，每年考試結束總會聽到學生抱怨“做了那么多考題，卻感覺解題能力沒有提高”“數學學習時間花那么多，分數沒怎么提高”“老師上課講的我都會，臨考我還是不會”等等.針對新高考的命題宗旨———“堅持素養導向、能力為重”，教師的教學重點應該放在如何提高學生的解題能力上.數學問題每年推陳出新，就像一個萬花筒，千變萬化，但是萬變不離其宗.考題永遠都是圍繞著課本知識進行考查的，不可能游離于課本之外.課本就是學習數學知識的源泉，學生必須回歸課本尋找本源，復習效果的鞏固與是否回歸教材有最直接的聯系.比如視角一和視角三就是通過挖掘教材中應用題得到的思路和方法，這些方法并非無中生有，而是源于課本，教師要讓學生切實了解高考題中所用的解題思路方法原來就在教材之中.

結 語

以培養學生數學核心素養為目標的新一輪課程改革要求：通過高中數學課程的學習，學生能獲得發展所需的“四基”，進而提高“四能”，把握數學本質，發展數學建模等六大核心素養.高考命題的方向逐漸從“知識立意，能力立意”轉變到“素養導向，能力為重”，教育工作者要提高學生的關鍵能力，而關鍵能力源于課本中的基本知識與方法.重溫課本，重構知識網絡是必經之路.高考真題是最好的教學素材，因而在平時關于高考真題的習題課上，教師要針對學情精心選擇好的素材，有的放矢地優化復習教學，并注重對學生解題思路和過程的拓展，從而起到事半功倍的效果，達成核心素養的培養目標.

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