中職數學教學中基本不等式的常見題型及解題技巧研究

張澤潤

【摘要】基本不等式是中職數學不等式教學的核心概念，由基本不等式衍生的數學題型十分多樣.文章立足中職數學教學實際，對中職數學基本不等式的常見題型進行歸類，并分析了不同題型的解題技巧，同時對解題教學進行深入反思，指出教師可通過優化教法、凝練內容、跟蹤評價的方式提升解題教學質量，希望為豐富中職學生解題技巧提供教學參考.

【關鍵詞】中職數學；基本不等式；常見題型；解題技巧

以基本不等式為核心考點的數學題目種類繁多，教師只有一一為學生呈現不同題型，同時組織學生探析不同題型的解題技巧，才能確保學生扎實掌握基本不等式的相關知識，提高學生靈活解題的能力.為實現這一育人目標，中職數學教師應根據中職學生的認知發展特征設計梯度性的解題教學方案，先為學生講解基本不等式的直接應用問題，之后逐級提升問題難度，促進學生解題思維的進階發展.

一、中職數學基本不等式的常見題型及解題技巧

（一）基本不等式的求值應用

用基本不等式求最值是基本不等式的常見題型之一，對于鍛煉學生的問題分析能力、靈活解題能力有著積極意義.教師可以綜合中職數學教科書、練習冊及課外教學資源挑選具有代表意義的練習題，之后組織學生解題，確保學生在習題訓練中掌握應用基本不等式求最值的方法.下面，文章呈現經典例題及其解析，分析應用基本不等式求最小值的策略.

綜合多項分析內容，確定AB兩個選項為正確選項.

應用基本不等式求代數式的最值時，需要考慮“一正二定三相等”.其中，“一正”為兩項必須都是正數.“二定”為求兩項和的最小值，它們的積應為定值；求兩項積的最大值，它們的和應為定值.“三相等”為等號成立的條件必須存在.解題時，由于題目給出了具體的限制條件，在直接應用基本不等式求解最大值、最小值時可能會遇到問題，這時，解題者需要結合原題特征采取變式手段.這類問題的解題思路主要有兩種：

（二）基本不等式的構造應用

以原始形式出現的基本不等式問題可以通過直接應用相關公式解決.然而，在中職數學解題教學中，常有題目結構、考查角度、考題形式新穎的題目出現.這類問題很難直接應用基本不等式求解.實際教學中，教師可以選擇不同的基本不等式構造應用例題進行解題教學，通過分析問題、求解問題讓學生掌握基本不等式的構造應用技巧，進一步提高學生的靈活解題能力.

以例3為例，解此類題時，解題者可以根據題目中給出的數量關系進行代換，以此達到構造不等式的目的.這類問題的解題思路如下：首先，要認真審題，明確原題中已知式與待證不等式；其次，要分析解題思路，比如是選擇直接代入的方法構造基本不等式，還是用式子乘1的方式構造基本不等式；再次，用“1”代入后要注意采取變式操作，得到可以用基本不等式進行論證的式子，最后應用基本不等式證明.

（三）基本不等式的消元應用

（四）基本不等式的換元應用

換元法又被稱為變量代換法，是一種通過引進新的變量將碎片化信息串聯起來、將隱含的條件顯露出來的一種解題方法.中職數學基本不等式的解題教學中，常出現信息碎片化、解題步驟復雜的類型題.對于此類問題，教師可以指導學生應用換元法構造元、設元，以此簡化原問題，之后快速求解問題答案.

由這一例題可以發現，某些看似無法用基本不等式求解的問題，經過換元后能夠變為基本不等式的一般形式.對于此類問題，解題者可以從換元的角度出發，將原函數式轉化，再運用基本不等式來求最值.

二、中職數學基本不等式的解題教學反思

（一）優化教法，提升解題教學效率

優化傳統解題教學方法是提高中職數學解題教學質量、提升學生解題學習效率的關鍵.傳統解題教學中，教師多使用注入式教學法，通過直接講解解題原理、直接演示解題過程讓學生機械識記不同類型問題的解題方法，并通過大量的練習確保學生掌握解題方法.然而，這樣的教學只能讓學生處于淺層學習狀態，無法讓學生理解解題原理.學生一旦遇到了形式更為新穎、內容更為復雜的問題，則無法及時確定解題思路.讓學生理解解題方法的本質是中職數學解題教學的重中之重.為此，教師應采用啟發教學法、討論教學法、任務教學法、問題教學法等多種教學方法引導學生深入問題核心，在分析、猜想、嘗試、探究的過程中解決復雜問題，并總結問題求解的方法與技巧，使其達到深度學習狀態，真正提高學生的基本不等式問題解題能力.

（二）凝練內容，減輕解題學習負擔

數學是中職教育的基礎教學科目之一，肩負著培養學生邏輯推理、抽象歸納、建模應用、數據分析等能力的育人責任.在以往的教學中，部分中職數學教師為了充分發揮中職數學的育人價值，在課程教學中布置大量的隨堂練習題及課后作業，意圖讓學生在重復練習的過程中鞏固所學內容，鍛煉專業能力.然而，超量的隨堂練習、課后作業會增加學生的學習負擔，增加其學習壓力，反而會對中職數學教學造成負面作用.為此，教師可以對基本不等式解題教學的內容進行刪減，通過刪除同質性強的、缺乏育人價值的習題精簡練習內容、精簡作業內容，達到減輕學生課業負擔的目標.比如，教師可以對基本不等式的解題教學內容進行分類，根據不同問題的特征將其分為理解應用、求值應用、構造應用、實踐應用等類型問題.之后，教師可以從中職數學教科書、數學教學網站收集、整理具有典型意義的練習題，并將其作為課上練習、課后作業的主要內容.之后，教師圍繞典型例題展開精細講解，使學生在投入較少時間、精力的基礎上獲得理想的解題學習效果.

（三）跟蹤評價，促進學生反思提升

在解題教學中適時給予學生中肯、貼切地評價有利于學生認識到自身在解題學習中存在的不足，確定改正、提升的方向，進一步提升學生的綜合水平.在解基本不等式的直接應用、構造應用等類型題時，學生往往需要從多種角度思考數學問題，并進行大量的數學計算，很容易在解題過程中出現錯誤.然而，很多學生并不能客觀認識到自身的錯誤所在，無法及時糾錯、改錯.這種情況下，教師可以對學生的思考過程、運算過程、求解過程進行跟蹤評價，指出學生在數學分析、運算求解方面存在的不足，以便于學生更加深刻地認識到自身解題學習存在的問題，從而促進學生的反思提升.

結 語

綜上所述，基本不等式的常見題型有很多，包括求值應用、構造應用、消元應用、換元應用，等等.其中，基本不等式的構造應用又包括湊配應用、代換應用.解決不同類型問題的原理相同，但方法、思路、步驟存在一定的區別.實際教學中，教師應從不同問題的特征入手，引導學生發現問題的本質，并嘗試應用所學知識解決復雜問題，從而鍛煉學生正用、逆用、構造應用、變形應用基本不等式的思維能力，提升學生的解題水平.

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