“互聯網+”背景下高等數學教學改革探索

張慶月

（天津理工大學，天津 300384）

伴隨著網絡、信息技術的不斷發展，互聯網、大數據等技術已應用到高等數學教學領域[1-5]。這讓傳統的教學模式迎接機遇的同時面臨著挑戰。在人類改造自然的活動中，很多問題都可以轉化為數學模型的方式進行研究進而得以解決。高等數學在傳統教學模式的束縛下，制約教師培養學生的知識應用能力、邏輯和思維，留下教育培養的缺陷。且新冠感染疫情的特殊背景下，高等數學教學不得不轉向線上教學，在網絡平臺上拓展高等數學教學空間[6]。這要求高等數學課程需要運用現代教學技術，與線下的實體課堂教學結合起來，開展教學活動，培養學生的創造性思維和實踐運用能力。

一 高等數學教學現狀

學生基礎知識掌握不牢固，自主學習意識低迷。高中階段，數學教學大多采用題海戰術、練習出成績的應試教學模式。學生在教師的指揮下，終日埋頭題海耕耘題庫，無暇思考數學與生活的關系，思維僵硬，更沒有養成主動思考問題的習慣。這導致學生自主學習數學的意識較為單薄，主動運用數學解決生活實際問題的意識薄弱甚至缺乏。進入大學，學生依然用慣性的思維、固定的邏輯來學習高等數學，不免遠離生活實際，又耗時傷神，事倍功半。無形中，這種思維模式在煎熬學生學習高數的自信心，減損學生學習的熱情。

教師教法單一、死板、單調。互聯網迅速發展的今天，傳統的高等數學課堂仍然是“PPT+課堂+粉筆”的教學模式。高等數學的課堂，以教師講授為主，甚至講授貫穿始終。“灌輸式”“填鴨式”教學是高等數學經常采用的模式。課堂上，學生往往是緊跟老師教學步驟，忙著形成課堂筆記，被動地學習知識，無暇深入的思考與理解。在有限的課堂時間內，師生之間缺少知識點方面的交流與探討。用課件上課，雖然可以代替粉筆，減免板書，似乎存在著節省課堂時間的優勢，但也存在弊端。PPT 演示過快，學生不能迅速牢固地理解知識點，更無暇記錄筆記，只能拍照留存材料。課后，慧心善學的同學或許能拿出課件照片尋找知識點前后之間的聯系，仔細思索一番。懶惰的同學則存有僥幸心理，抱著“明日復明日”的態度得過且過，忙向其他的“當務之急”。留存的課件照片也就隨之進入了手機記憶模式，或許直到考試之前，學生“急來抱佛腳”時才能重見天日。課件演示過慢，給同學們留足了時間思考問題得出結論、形成課堂筆記，但在有限的教學時間內，影響教學效率最大化，甚至無法完成教學任務。從高等數學學科的角度衡量，這種方式不能最大效率地發揮教師針對知識點的細致系統的講解。教師也不能及時掌握學生對知識點的理解運用情況。傳統的教學則是教師板書示例、推導公式、證明習題，畢竟書寫占用較多的課堂時間，且不能長久保存，坐在教室后排的學生容易受到影響。由此可見，傳統的教學模式不利于培養學生的自主學習意識，也不利于培養學生對高等數學學習的興趣，也不能因學生的個體差異而靈活地調整教學策略。

學生結業評價方式注重成績。傳統教學對學生的評價中，比例最大的部分是測試成績。有部分學生為60 分而學習，為測試過關而學習，為獲取一紙畢業證書而學習。因此，具有這種學習動機的學生是被動地參與到教學活動中來。臨近考試，急抱“佛腳”的學生們，翻出埋入歷史的筆記或照片，或者死記硬背，或者臨陣磨槍，甚至準備小抄，企圖考場作弊，蒙混過關。這樣的學習方式不能真實地反映學生的學習能力。

二 混合式教學模式分析

在這樣的時代背景和教學現狀下，作者提出了混合式教學模式，并實踐到教學中去[7-9]。混合式教學把網絡公開課、微課等線上教學理念與課堂教學相結合，將網絡軟硬件資源化為課堂教學資源，應用于教學當中，是在信息技術應用于教學并促進教學改革背景下產生的一種整合在線學習與傳統課堂學習，是有效實現雙主體的互動教學模式。這種教學模式，靈活地運用時間和空間，既有利于學生知識點學習與掌握，又利于學生將思考與疑惑、學習的靈感記錄下來并與師生交流。同時，這種教學模式也能使教師及時了解學生知識點的掌握情況，為學生解疑答惑，及時調整教學策略和計劃，促進課堂教學效率的提升。這種教學模式調整了傳統的教學模式，同時又保留了高等數學課的特點。

這種混合式教學模式下，課堂中師生的重心產生了變化。傳統的高等數學課堂中，教師是課堂的主導者和占有者，全程定義課堂的程序和內容，決定課堂內容的復制刪除和進退變化。學生是知識的被動接受者，被動地跟著教師的步驟和思路，全盤接受教師講授的公式推導、定理證明和練習題。混合式教學模式中，學生成為了課堂的中心實踐者，主動地學習本次課的知識點，積極探索重點，深入研究難點，自覺地產生疑惑，從而形成創新思維。教師則從課堂的主導者和知識的傳授者轉變為引導者和合作者，指導學生學習模塊的先后順序、程序設置，引導學生層層深入地掌握知識體系，啟發學生形成思維，帶領學生將高等數學融入生活、聯系工程，探討并解決生活中的實際問題[7]。課堂則從“一言堂”轉變成了師生時空交流、探討問題的場所，成為學生形成思維、發現問題、創新解答的陣地。

這種混合式教學模式下，課堂學習的程序也有所變化。傳統的教學課堂，是在教師的引導下，學生按部就班地學習知識點。隨著教師教學內容的深入，學生收獲的內容也從點到線，再逐漸積累成面。面面結合，最后形成知識體系。混合式教學模式下，教師先將有關的教學視頻、PPT 等材料發送給學生。學生可在課前完成本次課的預習，不僅預知將要講授的內容，還可以知曉自己存在的困惑。這就為課堂中學生探討、研究準備了必要條件。課堂主要是學生談收獲、談疑惑、生生交流。在師生交流中，學生自然而然地探索高等數學聯系生活的奧秘，解決生活中的實際問題。由此可見，傳統教學模式是師教生學，生惑師解，而混合式教學模式則是生學生思，生惑同解。

這種混合式教學模式以網絡、電腦和手機等設備為依托，充分發揮了線上教學的靈活性、時空性，又能增加學習高等數學的趣味性，調動學生學習的自主性、積極性和熱情。在課前充分準備的基礎上，線下交流的實體課堂中，學生能夠集中精力，探討研究，豁然開朗的同時，生發創造性思維。線上教學與線下教學共同開展，相互補充，相輔相成。經過一年的教學實踐，這種教學模式顯現出了良好的教學效果。

三 混合式教學模式的具體操作流程

教學內容應選取簡單或者難度適中的知識點。這樣，以學生的知識積累為出發點，明確教學目標，標識重點難點，才能充分體現學生學習的自主性和積極性。

（一）課前——線上自主教學

課前教學材料準備：PPT、微視頻和文字材料。

PPT 要求：①由生活中的實際問題導入，這能激發學生的共鳴，引導學生迅速地進入情境。②知識點學習步驟設置由淺入深，由易到難，層層深入又環環相扣。③適當設置動畫，增加課堂生動、鮮明的同時，留給學生思考的空間。④給學生設計課堂探討的問題，不宜過難。

微視頻要求：①時長在20 分鐘左右，可一次性錄制，也可多段錄制。②畫面、文字和符號清晰。③選用比較小的視頻格式。

文字材料要求：①列出所需要的書籍、練習冊等資料名稱。②列出所要學習的知識點。③展示出學習目標、重點和難點。④寫明學習步驟。

自學內容都是較為基礎或難度適宜的知識點，學生自主學習能夠獨立完成。知識點的選擇忌多、忌難，以保護學生學習的積極性。教師將這些材料推送給學生之后，隨時了解學生自學的情況，預設課堂交流探討的問題，思考并準備課堂教學需要的材料。

（二）課堂——集中探討，針對性講解

學生通過課前自學，對課堂即將講授的內容已有一定的認知與理解，也能夠確定自己學習的收獲與疑惑。課堂中，學生就可以有選擇的學習，準備材料參與探討內容，各抒己見。在了解學生自學情況的基礎上，教師有針對性地引導學生探究知識點，適當地調整詳簡難易的程度與步驟。教師可適時拋出探討的問題，也可引導學生提出研究的問題。在師生交流、生生溝通中，教師營造探究氛圍，引導學生提出解決具體問題的方案，聯系實際，聯系生活。到此，教師可依據學生探究的情況設置課后練習題，以鞏固當堂知識點的理解與運用。

（三）課后——檢測答疑

為有效加強學生對知識點的理解，課后的鞏固與答疑是十分必要的。有針對性地答疑，不僅可以幫助學生解決當前困惑的問題、補齊短板，還可以啟迪學生的思維，堅定學生善學善思的意志，提升學生學習高數的信心。教師可設定固定的時間在固定的場所，為學生答疑解惑。如此，學生可將積累的疑惑與教師面對面地交流探討。同時，教師還可以借助多種互聯網平臺，例如騰訊、微信、雨課堂等平臺跨越時空和地域，與學生時時處處共同學習探究。

（四）階段型——知識點系統化

在前三個階段的程序完美執行后，學生對每個知識點的理解已經較為深刻。高數課堂是知識、理論聯系生活的中轉站。但有時單一的知識點未必能解決與之相關的生活實際問題，而是需要幾個前后相應的知識點有機聯系起來，融會貫通，系統地形成一個模塊，這樣才能正確地應用到生活中的問題。如此，學生就需要一個時間，將一個模塊內的知識點系統化，需要老師引導學生尋找各小知識點間的聯系、前后鋪墊關系，需要教師指導學生認識知識點中部分與整體的鑲嵌與交織，理解整個模塊的應用范圍與功能，從而實踐到生活中。

四 混合式教學模式教學實踐

（一）以曲率的講解為例

課前教學材料準備：PPT、砂輪打磨動畫視頻和文字材料。

文字材料：由曲率的定義、弧微分公式、曲率的計算公式和曲率半徑的計算公式興趣導入，引出教學目標為在實際工程設計問題中，常用砂輪將某一平面物體邊界打磨成符合要求的曲線，如圖1 所示。給定曲線后，應該選擇直徑多大的砂輪？

圖1 砂輪直徑的選擇

這和曲線的彎曲程度有關。顯然，對于圖中曲線，A砂輪是不合適的，應該選擇B 砂輪。那么就需要解決以下兩個問題：

1）應該怎么刻畫曲線的彎曲程度？

2）應該怎么根據曲線的彎曲程度選擇合適的砂輪？

課堂集中探討：學生在回顧曲率的定義、弧微分公式、曲率的計算公式和曲率半徑的計算公式的基礎上，通過動畫演示——怎樣將平面物體的邊界打磨成給定的曲線。進入課堂集中探討的問題：怎樣將一空間物體的邊界打磨成給定的曲面。教師適時點撥，學生總結：解決方法是將給定曲面分解成若干條曲線，然后把各條曲線打磨出來。教師從旁指導，引領學生由淺入深，由易到難，層層深入。

課堂檢測練習題：

反饋答疑：

如圖2 所示，受力分析F=Q-P，視飛行員在點O 作勻速圓周運動，所以F=（N），其中ρ 為O 點處拋物線軌道的曲率半徑。因此

圖2 飛機飛行路線

Q≈700 N+5 714 N=6 414 N。

答：飛行員對座椅的壓力為6 414 N。

（二）以無窮級數收斂性講解為例

課前教學材料準備：PPT、Koch 雪花生成過程圖片和文字材料。

文字材料：由部分和序列的概念引出教學目標為無窮級數的收斂性，最后通過Koch 雪花生成過程圖片給出無窮級數收斂性的例子。如圖3 所示。

圖3 Koch 雪花的生成過程

Koch 雪花的生成方法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對稱地產生邊長為原邊長1/3 的小正三角形。如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形——“Koch 雪花”。

結論：雪花的周長是無界的，而面積有界。

五 混合式教學模式反思

將互聯網技術融合到課堂教學，采用混合式教學模式，將新元素、新感官融入課堂，不僅能夠進一步提高課堂教學質量，而且實現了翻轉課堂，還能增加課堂的新鮮感，很大程度上提高學生對高等數學學習的主動性，有助于打造精彩高等數學課堂目標的實現。這種教學模式也并非完美，需要一分為二地認識它的利與弊。運用這種教學模式時需要應注意以下問題。

（一）不是所有高等數學的教學內容都適用混合式教學模式

教學內容中較為簡單，易于同學們自學的教學內容是這種教學模式的首選。對于這些內容，學生們具有自學的基礎，經過思考能夠展開計算，得出結論。教師備課時要思考知識點的獨立性、難易程度、前后聯系等，以便選擇的知識點能有助于教學效率的最大化。較難和全新的知識點適合于線下師生面面講授。

（二）交流的課堂，是學生發揮主動性、探索新知的陣地

混合式教學模式中，教師的作用在于啟發學生思考的方向，指導學生步步認知、環環思考，細致演算，引導學生得出正確的結論。課堂，教師應耐心地聽取學生們的交流探討，琢磨學生思考的出發點和邏輯，在關鍵點適時點撥。課堂不再是教師的“領地”，而是學生訓練思維、培養創新意識的場所，是學生自覺探索、形成結論的陣地。

（三）這種教學模式不能保證調動所有學生學習高等數學的積極性

部分學生讀大學是為通過一紙證書獲取理想的工作，所以讀書的初衷不在學習，又談何學習高等數學的興趣。再者，還有學生為了獲取平時成績而學習。所以，在學業評價體系中，教師應適時設置簡單的測驗，以成績督促學生更好地投入到高等數學的學習中去。

六 結束語

緊跟時代發展的步伐，依據高等數學教學現狀，本文提出線上線下相結合的混合式教學模式，具體闡述了這種教學模式的操作方法，并附以具體事例說明，以及操作中需要注意的事項。理論指導實踐，因師、因生、因時制宜。這種教學模式同樣需要在教學實踐進程中多次檢驗并逐步完善，以期達成激發學生學習高等數學興趣、提高課堂效率的目標。