低耦合度PRPaR-2CPR并聯(lián)機器人機構(gòu)設(shè)計與運動學(xué)分析

夏蓉花，劉艷梨

(1.江蘇安全技術(shù)職業(yè)學(xué)院機械工程系，江蘇徐州 221000；2.南京航空航天大學(xué)機電學(xué)院，江蘇南京 210016)

0 前言

三平移(3 Translation，3T)并聯(lián)機器人機構(gòu)具有精度高、控制容易、剛度高等優(yōu)勢[1]，在工業(yè)生產(chǎn)、制造、醫(yī)療、軍工等領(lǐng)域替代人類承擔(dān)重復(fù)性的工作[2]，因此在食品、藥品、電子等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。最早外國學(xué)者CLAVEL設(shè)計能實現(xiàn)高速精準運動的Delta并聯(lián)機器人機構(gòu)[3-4]，而后國內(nèi)外學(xué)者研發(fā)出各種支鏈對稱、結(jié)構(gòu)簡單的三平移并聯(lián)機器人機構(gòu)。

目前，少自由度三平移并聯(lián)機器人機構(gòu)的設(shè)計與研究一直是國內(nèi)外研究熱點。范圣耀等[5]根據(jù)實際存在的可操作度問題，提出工作空間整體求解方法，同時提出基于正解條件數(shù)的優(yōu)化方法改善機構(gòu)的性能。李澤輝等[6]設(shè)計一種用于蘋果加工過程中的分揀的2-CRR/UPU并聯(lián)機構(gòu)，根據(jù)螺旋理論驗證其運動性質(zhì)，探討奇異性存在的條件，計算靈巧度的分布規(guī)律，分析表明：機構(gòu)具有運動穩(wěn)定、工作空間大的特點。沈惠平等[7]設(shè)計一種低耦合度的三平移并聯(lián)機構(gòu)，根據(jù)方位特征集驗證機構(gòu)具有解析式位置正解，計算得到運動學(xué)方程位置解表達式，研究操作空間和奇異性性能指標，對比理論計算和仿真分析的運動規(guī)律，證明理論計算的準確性。李永泉等[8]設(shè)計一種以圖譜法為基礎(chǔ)的三平移并聯(lián)機構(gòu)型綜合方法，對分支機構(gòu)進行構(gòu)型創(chuàng)新，運用圖譜法中的線圖等效原則，綜合出大量解耦或半解耦新機構(gòu)，并根據(jù)螺旋理論驗證設(shè)計機構(gòu)的運動性質(zhì)，證明該方法的可靠性。朱偉等人[9]設(shè)計一種質(zhì)量輕、高加速度、大工作空間的三平移繩驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)，根據(jù)矢量法建立運動學(xué)方程，探討了中間彈性支鏈對任務(wù)工作空間和可達工作空間對機構(gòu)的影響，建立繩索的驅(qū)動力數(shù)學(xué)模型，對彈性支鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化。

以上提出的三平移并聯(lián)機構(gòu)大部分都是對稱機構(gòu)，而在非對稱并聯(lián)機構(gòu)這一大類中，仍存在一部分性能較為優(yōu)異的機構(gòu)有待研究和發(fā)現(xiàn)。本文作者根據(jù)拓撲結(jié)構(gòu)綜合理論，設(shè)計一種支鏈含平行四邊形結(jié)構(gòu)且低耦合度新型PRPaR-2CPR三平移并聯(lián)機構(gòu)，并對其進行運動學(xué)建模和分析，分析奇異存在的情形，研究得到工作空間和靈巧度性能圖譜，基于任務(wù)工作空間和靈巧度兩大指標建立目標優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，完成尺寸參數(shù)的最優(yōu)化設(shè)計。

1 并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)分析

1.1 構(gòu)型設(shè)計

圖1 PRPaR-2CPR并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Structural diagram of parallel mechanism of PRPaR-2CPR：(a)vertical view； (b)structural diagram

圖2 并聯(lián)機構(gòu)三維模型Fig.2 3D model of parallel mechanism

表1 參數(shù)描述Tab.1 Parametric description

1.2 拓撲特性參數(shù)計算

基于方位特征集拓撲設(shè)計理論進行自由度的計算[10]，具體公式定義為

(1)

基本運動鏈的耦合度κ為

(2)

其中：

(3)

式中：mj為第j個SOC的運動副數(shù)；Ij為第j個SOC的驅(qū)動副數(shù)。

(1)結(jié)合機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖以及各運動副之間的位置關(guān)系，根據(jù)方位特征集的“并運算”規(guī)則，分析出每條支鏈的POC集Mbj。

(4)

式中：Mbj為支鏈j的方位特征集；t為移動特征；r為轉(zhuǎn)動特征。

②支鏈2、3的單開鏈為：SOC{-Ci⊥Pi2//Ri3}(i=2，3)，支鏈2、3執(zhí)行末端產(chǎn)生的POC集為3T1R，計算出支鏈的Mbj為

(5)

(2)分析第一條獨立回路的位移方程。以第2支鏈SOC{-C2⊥P22//R23}與第3支鏈SOC{-C3⊥P23//R33-}構(gòu)成一個整體，形成獨立運動回路，根據(jù)公式(1)，則獨立回路SOC{-C2⊥P22//R23-C3⊥P23//R33-}的位移方程ξL1為

(6)

① 計算由支鏈2和3構(gòu)成的單開鏈為SOC{-C2⊥P22//R23-C3⊥P23//R33-}的子并聯(lián)機構(gòu)的POC集為

(7)

② 將參數(shù)代入式(1)，得到單開鏈為SOC{-C2⊥P22//R23-C3⊥P23//R33-}的子并聯(lián)機構(gòu)的自由度F2-3

(8)

ξL2=dim{MPa(3-2)∪Mb1}=

(9)

① 并聯(lián)機構(gòu)的POC集MPa(1-2-3)

MPa(1-2-3)=MPa(3-2)∩Mb1=

(10)

得出機構(gòu)自由度F1-2-3

(11)

(4)約束度Δj分析。根據(jù)上述步驟代入式(3)中，計算過程為

(12)

2 機構(gòu)的位置分析

2.1 位置逆解分析

取動平臺的幾何中心點P坐標(x，y，z)，逆解分析是指根據(jù)執(zhí)行末端輸出(x，y，z)得到主動副輸入(d1，l2，l3)的分析過程[11]。為了簡化計算，建立動靜平臺坐標系，分別在靜、動平臺的幾何中心O、P建立坐標系靜{O-xyz}、動坐標系{P-uvw}。其中：x軸經(jīng)過點O，并平行于T1T2；y軸經(jīng)過點O，并平行于T2T3；z軸經(jīng)過點O，垂直于平面T1T2T3T4，并指向動平臺；u軸經(jīng)過點P，并經(jīng)過PA2；v軸經(jīng)過點P，并經(jīng)過PA1；w軸經(jīng)過點O，垂直于平面A1A2A3，并指向偏離靜平臺方向。其中點Ai在動坐標系{P-uvw}下的坐標：

(13)

根據(jù)機構(gòu)的性質(zhì)，機構(gòu)具有空間三移動的特點，因此，動坐標系相對于靜坐標系僅存在移動變換，變換矩陣：

(14)

因此，點Ai在靜坐標系{O-xyz}下的坐標：

(15)

對于支鏈1而言，點B1在靜坐標系{O-xyz}下的坐標為B1(d1,-R,0)。根據(jù)桿長的不變性，建立以下約束方程：

|OAi-OBi|-L=0 (i=1)

(16)

支鏈2、支鏈3移動副的位移恒定為li，建立約束方程為

(17)

B2和B3的位置坐標符合外積原理，得到以下關(guān)系式：

(18)

通過式 (16)(17)，得到運動約束方程為

(19)

將(d1，l2，l3)分離，得到逆解表達式為

(20)

2.2 位置正解分析

已知驅(qū)動副輸入(d1,l2,l3)，計算動平臺點P(x,y,z)。根據(jù)MATLAB計算正解表達式，由于表達式過于復(fù)雜，這里省略。

2.3 速度分析

(21)

(22)

式中：Jl為逆雅克比矩陣；JX為正雅克比矩陣。

若JX非奇異，則

(23)

若Jl非奇異，則

(24)

2.4 位置分析數(shù)值驗證

根據(jù)逆解表達式，逆解算例如表2所示。正解算例如表3所示。

表2 逆解算例 單位：mTab.2 Inverse solution Unit：m

表3 正解算例 單位：mTab.3 Positive solution Unit：m

通過正逆解算例對比，可以發(fā)現(xiàn)一組逆解存在8個解，而正解可以有4組和2組(本來有8組解，存在4個或者6個為復(fù)數(shù)解)，且正逆解相互印證。

3 奇異分析

3.1 逆解奇異性分析

機構(gòu)逆解奇異發(fā)生的條件為det(Jl)=0且要求det(JX)≠0。計算得到det(Jl)表達式為

det(Jl)=-8(d1-x)l2l3

(25)

滿足det(Jl)=0存在3種情況，但是支鏈2、3驅(qū)動副位移為0的情況受驅(qū)動范圍的限制不存在，逆解奇異條件只有一種當(dāng)x=d1，此時，平面A1B1A3B3垂直于靜平臺時會出現(xiàn)卡滯情況。圖3所示為逆解奇異情形。

（3）臨沂城區(qū)道路灰塵中 Pb、Cd、Cu、Zn、Cr、Ni 6種重金屬有著不同的人為來源。其中，汽車輪胎磨損與燃油泄漏等交通活動是Cd、Cu、Zn 3種重金屬的主要人為來源，而人為 Pb、Cr、Ni污染主要來自居民生活燃煤排放。

圖3 逆解奇異情形Fig.3 Singular case of inverse solution

3.2 正解奇異性分析

機構(gòu)正解奇異發(fā)生的條件為det(JX)=0且要求det(Jl)≠0。經(jīng)推導(dǎo)計算得到det(JX)的表達式為

det(JX)=y(x-d1)+(2y+d1+x)(R-r)

(26)

正解奇異出現(xiàn)條件為det(JX)=0，即存在條件是：情況一y=0，R=r；情況二x=d1，R=r。

正解奇異存在2種情況：情況一，y=0，R=r，支鏈2和z軸共面。此時，機構(gòu)穩(wěn)定性差，不容易控制。情況二，支鏈1、支鏈3所構(gòu)成的平面垂直于靜平臺。平面A1B1A3B3垂直于靜平臺。2種情況的奇異情形如圖4所示。

圖4 正解奇異情形Fig.4 Singular case of positive solution：(a)case 1；(b)case 2

4 性能指標分析

4.1 工作空間分析

工作空間是機器人執(zhí)行末端滿足運動約束條件的工作區(qū)域[12]。為了仿真分析機構(gòu)的操作空間的三維曲面圖，選擇邊界數(shù)值搜索法搜索工作空間的邊界區(qū)域，得到機器人機構(gòu)的可達工作空間圖形。以表4中數(shù)值為例，計算得到工作空間曲面，如圖5所示。

圖5 工作空間三維圖Fig.5 3D diagrams of mechanism workspace：(a)3D diagram of the workspace；(b)projection on the yOz plane ；(c)projection on the xOy plane；(d)projection on the xOz plane

表4 求解工作空間算例數(shù)值Tab.4 A set of parameter values of mechanism

由圖5可知：操作空間形狀類似于半圓柱，對稱分布且臨界面光滑、無空洞情況。沿著xOy平面投影為矩形，隨著z值的增加，沿著xOy平面界面逐漸縮小，沿著yOz平面投影為半橢圓形狀，并關(guān)于x=-0.1 m對稱分布。沿著xOz平面的投影為半橢圓形狀，并關(guān)于x=-0.1 m對稱分布。

4.2 靈巧度分布分析

為了直觀表達機構(gòu)運動的傳遞性能，常用靈巧度指標評價機構(gòu)運動性能優(yōu)劣，一般取條件數(shù)的倒數(shù)作為靈巧度的計算公式[13]。計算表達式如下：

(27)

圖6所示為機構(gòu)的靈巧度分布規(guī)律，不同高度下LCI的最大值都不同，當(dāng)z=0.3 m時靈巧度最大，LCI連續(xù)分布，不存在跳躍突變的情況，靈巧度最大區(qū)域不是在中間區(qū)域，并且靈巧度分布曲面不是很光滑，因此需要進一步提高傳遞性能。可對其參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計來改善運動性能。

5 參數(shù)對運動靈巧度和工作空間的影響規(guī)律

不同參數(shù)下機構(gòu)的運動性能存在差異，定量分析參數(shù)對機構(gòu)的工作空間和靈巧度的影響規(guī)律，為機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計提供參考。給定如下的參數(shù)的范圍具體如下：

(28)

根據(jù)遍歷的點，通過線性回歸，得到全局靈巧度和體積的量綱一線性回歸式如下：

LCI=0.207 7-0.382 4R+0.407r+0.055L

(29)

相關(guān)系數(shù)R2=0.866 2；F=3.37×105(2.60)；p=8.37×10-4。

V=0.239 8-0.584 9R+0.574 3r+0.166 9L

(30)

相關(guān)系數(shù)R2=0.732 4；F=1.42×105(2.60)；p=0.004 3。

通過遍歷的方法得到了全局靈巧度和體積在參數(shù)空間的分布，如圖7所示，可以發(fā)現(xiàn)靈巧度和體積較大的區(qū)域都集中在r較大的范圍內(nèi)。并且全局靈巧度和工作空間體積在參數(shù)空間的4維分布和線性回歸表明：靈巧度和工作空間體積性能指標與R負相關(guān)，與r、L正相關(guān)，r對這兩個指標的影響顯著，其線性系數(shù)較大，并且計算出的R2都大于0.7，F(xiàn)都遠大于括號內(nèi)的查表值2.6，F(xiàn)檢驗通過；α=0.05>p表明其線性關(guān)系是顯著的。因此可以用式(29)(30)進行全局靈巧度和體積的粗略估算。

圖7 全局靈巧度和工作空間在參數(shù)空間的4維分布圖Fig.7 4D distribution of global dexterity and workspace in parameter space：(a)influence of parameters on workspace；(b)influence of parameters on kinematic dexterity

6 給定任務(wù)工作空間內(nèi)靈巧度優(yōu)化

6.1 優(yōu)化模型建立

針對實際工程需求，期望在有限的操作空間內(nèi)獲得更好的運動靈活性性能。即在任務(wù)工作空間內(nèi)要求全局靈巧度較好，可通過優(yōu)化PRPaR-2CPR并聯(lián)機構(gòu)的幾何設(shè)計變量來解決在任務(wù)工作空間內(nèi)要求全局靈巧度較好的尺寸綜合問題。考慮到最大靈巧度附近的區(qū)域都是連續(xù)分布的，為了得到任務(wù)工作空間內(nèi)運動性能較好，首先找到這個機構(gòu)中靈巧度最大的區(qū)域或點的坐標的區(qū)域，以這個點為一個長方體(任務(wù)工作空間)的中心或者底部中心點，長方體的長寬高可以給定，尋找一組參數(shù)使得這個給定長寬高空間的平均靈巧度最大或較優(yōu)。目標函數(shù)模型如下：

(31)

(32)

具體的目標優(yōu)化步驟如下：

(1)精確計算一組參數(shù)的機構(gòu)可達空間的邊界范圍，采用蒙特卡羅法進行計算，若參數(shù)沒有可達空間則目標函數(shù)值懲罰為一個較小的負數(shù)，并轉(zhuǎn)入下一組參數(shù)；

(2)若有可達工作空間，根據(jù)步驟(1)的邊界范圍采用網(wǎng)格搜索法，獲得最大靈巧度值LCIMAX和該最大靈巧度值點坐標(x0，y0，z0)，若LCIMAX<0.9，則目標函數(shù)值懲罰為一個較小的負數(shù)，并轉(zhuǎn)入下一組參數(shù)；

(3)若LCIMAX≥0.9，給定搜索點數(shù)目為n，采用蒙特卡羅法計算給定工作空間(長方體)的全局靈巧度值GCI和符合機構(gòu)約束的點的數(shù)目p，若p

圖8 算法搜索流程Fig.8 Algorithm search flowchart

6.2 算法選擇和算例分析

根據(jù)上面建立的在任務(wù)工作空間內(nèi)的全局靈巧度目標函數(shù)，選擇具有全局優(yōu)化能力的遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)實現(xiàn)多約束變量的單目標尋優(yōu)[14-15]。遺傳優(yōu)化算法初始參數(shù)如表5所示。

表5 遺傳算法初始參數(shù)選擇Tab.5 Initial parameter selection of genetic algorithm

同時為了計算簡便，選擇任務(wù)工作空間的形狀長方體，長方體體積為0.4×0.4×0.2 m3，底面中心點為靈巧度最大值對應(yīng)的空間坐標。根據(jù)MATLAB軟件編程得到優(yōu)化目標隨迭代次數(shù)的變化如圖9所示。目標函數(shù)在迭代次數(shù)為50左右時趨于穩(wěn)定，并穩(wěn)定在0.373 3左右；得到優(yōu)化后的尺寸參數(shù)的最優(yōu)值如表6所示。

圖9 優(yōu)化目標隨迭代次數(shù)變化Fig.9 Variation of optimization objectives with iteration times

表6 PRPaR-2CPR并聯(lián)機構(gòu)參數(shù)值對比Tab.6 Comparison of parameter values of PRPaR-2CPR parallel mechanism

6.3 優(yōu)化算例分析

利用優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)得到給定工作空間和可達工作空間的界面以及靈巧度的分布，如圖10—11所示。如表6所示，在此參數(shù)下全局靈巧度為0.180 9，給定任務(wù)工作空間為0.373 3，整體靈巧度提升了1倍，極大地改善了任務(wù)工作空間內(nèi)的運動性能。并且從圖11(c)看出，最大靈巧度接近1，并且都集中在中間部分，因此在得到的給定任務(wù)工作空間內(nèi)具有較光滑的機構(gòu)運動性能。

圖10 PRPaR-2CPR并聯(lián)機構(gòu)優(yōu)化后的空間界面位置Fig.10 Spatial interface location of PRPaR-2CPR parallel mechanism after optimization

7 結(jié)論

(1)提出一種低耦合PRPaR-2CPR并聯(lián)機器人機構(gòu)。驗證機構(gòu)的運動性質(zhì)，分析結(jié)果表明：機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、工作空間大、控制容易、運動傳遞性能好等優(yōu)點。

(2)根據(jù)桿長條件建立運動方程，并計算得到逆解表達式，通過數(shù)值解驗證正逆解有效性。分析奇異性存在條件，計算得到工作空間形狀、靈巧度空間分布規(guī)律等。結(jié)果表明：機構(gòu)具有較大的操作工作空間且靈巧度連續(xù)分布、運動傳遞性能好。

(3)期望在任務(wù)工作空間內(nèi)具有較好的運動性能，以任務(wù)工作空間內(nèi)全局靈巧度最大為優(yōu)化目標，優(yōu)化得到任務(wù)工作空間內(nèi)要求全局靈巧度最優(yōu)的PRPaR-2CPR并聯(lián)機構(gòu)的幾何設(shè)計變量為：R=0.982 m，r=0.8 m，l=0.9 m，極大地改善了機構(gòu)的運動性能。