含間隙非線性的工業機器人關節振動特性分析

儀凌霄，潘斯寧，2，劉志成，劉應忠

(1.賀州學院人工智能學院，廣西賀州 542899；2.桂林電子科技大學機電工程學院，廣西桂林 541004)

0 前言

隨著我國從制造大國向制造強國的戰略轉型，工業機器人的技術水平在不斷提升，但我國目前在高精度、高性能等技術領域仍舊較國外存在差距[1-2]。由于工業機器人關節長期作業使得關節出現磨損，進而導致關節出現間隙，加劇關節傳動系統的諧振，直接影響工業機器人關節運動的穩定性和末端定位精度。

楊立歡等[3]為探究減速器間隙對機械臂動力學特性的影響，提高機械臂的控制及擺位精度，建立了RV減速器中心輪與行星輪之間的齒側間隙動力學模型，通過仿真驗證表明關節齒側間隙會使加速度出現非周期波動且波動幅值隨間隙增加而增大。鄭坤明、張秋菊[4]為研究關節間隙對定位精度的影響，以Delta機器人為研究對象，通過對機器人關節間隙的運動學分析，并結合 Lankarani-Nikravesh的間隙廣義碰撞力研究，驗證了間隙模型的合理性與正確性。蘇成志等[5]為解決機器人運行中關節處的異響和振動現象，建立關節運動副間隙模型，分析了系統的固有頻率。張珩、肖歆昕[6]從伺服系統的振動角度考慮齒輪傳動中的間隙，通過閉環弱自激振動策略推導出新的間隙辨識方法。根據現有研究結果可以看出：關節間隙的存在僅會降低機器人的各階固有頻率，不會影響系統的模態振型。以上學者從振動角度分析關節間隙，但并未考慮關節傳動過程中機電耦合等因素對機械臂的影響。

杜志江等[7]為提高關節建模精度，用遲滯模型描述關節非線性間隙特性，通過對模型的仿真分析，能夠精確描述關節特性并提高了關節建模精度。史曉鳴等[8]為揭示間隙對舵機的影響，基于希爾伯特變化針對舵機間隙設計出新的參數辨識方法，結果表明該辨識方法能準確識別出舵機的真實間隙參數。薛邵文等[9]為解決含間隙機器人關節參數難以精確獲取等問題，利用改進遺傳算法對二連桿機構進行參數辨識，研究結果表明改進遺傳算法辨識精度較傳統算法高，收斂速度快。但在實際辨識中，作者將工業機器人簡化為二連桿，忽略了實際關節中存在的剛度阻尼等關鍵信息。瑞典 Chalmers 大學的 LAGERBERG[10]針對機電耦合系統中存在的非線性間隙設計了主、被動式間隙控制器，并對系統中存在的間隙提出了優化補償算法。上述學者均是在間隙值已知或假設條件下開展的工作，并未從工業機器人實際工況中獲取關節的間隙參數。

綜上所述，國內外大部分學者的研究都是基于間隙本身的機制開展分析，更加側重研究間隙環節中輸入與輸出間的非線性特征，但工業機器人實際作業時，更多表現在關節傳動中的位移關系。本文作者以錢江QJR6-1型工業機器人為研究對象，采用關節系統的理論建模、仿真分析、單關節擺臂實驗測試和參數辨識相結合的研究方法，對含間隙非線性關節展開振動特性研究。

1 關節間隙非線性動力學建模

為分析間隙非線性模型在實際應用控制領域的影響，本文作者以錢江QJR6-1型工業機器人為研究對象，如圖1所示。該實驗平臺由六自由度串聯機器人本體、示教器、控制箱以及PC工控機等組成。機器人關節是由伺服同步電機與減速器以及聯軸器組成的系統。

圖1 QJR6-1型工業機器人Fig.1 QJR6-1 industrial robot

1.1 建立關節間隙簡化模型

為了深入研究工業機器人關節的運動規律以及間隙對關節性能的影響，需將圖1中的關節系統進行簡化[11-12]，如圖2所示，并建立含間隙非線性關節動力學模型。

圖中：Je、Jm、JL分別為關節的伺服驅動電機、減速器和關節臂的轉動慣量；C1、C2、C3、Cw1、Cw2分別為伺服電機、減速器、關節臂、聯軸器1和聯軸器2的黏滯阻尼系數；Te、Tm、Tw1、Tw2分別為伺服電機的電磁轉矩、關節臂轉矩、聯軸器1和聯軸器2的轉動扭矩；Kw1、Kw2分別為聯軸器軸1和聯軸器2的剛度系數；B為關節間隙系數。

根據旋轉系統的動力學原理推導出含間隙關節系統的動力學方程為

(1)

式中：θ1、θ2、θ3分別為關節伺服驅動電機、減速器和關節臂的旋轉角度；i為關節減速比。

1.2 關節間隙數學建模

圖3 關節間隙數學模型Fig.3 Mathematical model of joint clearance

圖3中：nx代表關節間隙矢量nij在X軸方向的數值分量，ny代表關節間隙矢量nij在Y軸方向的數值分量，其關系表達式為

(2)

其中關節間隙nij又被稱為偏心距，是表示關節軸承與聯軸器軸徑的中心距。關節間隙法向矢量大小表達式為

t=nij/nij

(3)

式中：t為關節間隙的法向矢量，將其旋轉90°得到關節間隙切向矢量m。

通過引入關節間隙的矢量范圍以及間隙大小，可推導出關節運動副間的接觸形變。其中間隙系數的大小B等于關節軸承半徑與聯軸器軸徑半徑之差，令δ為接觸形變量，其關系表達式為

δ=nij-B

(4)

通過對接觸形變量δ的分析，可以得到關節運動副之間的相對運動狀態。當接觸形變量δ≥0時，關節運動副處于相對碰撞階段，在該狀態下會產生碰撞形變；當接觸形變量δ<0時，關節的軸承與聯軸器處于相對分離的狀態，其表達式為

(5)

當工業機器人末端處于非接觸工況條件時，不受外力沖擊的關節系統屬于線性運動范疇；當觸及工況條件時系統因形變而演化為非線性運動，進而使關節運動軌跡處于混沌狀態。

2 關節間隙非線性振動分析

由于關節間隙的存在，工業機器人在啟動、制動以及變負載作業時會產生沖擊現象，降低了關節系統的可靠性，較大的間隙值會使關節系統的響應超調，進而降低工業機器人末端定位精度。為解決因非線性間隙而導致關節系統處于非平穩狀態，揭示含間隙關節振動機制，對關節非線性間隙進行振動特性分析。

2.1 建立仿真模型

QJR6-1型機器人由多個旋轉關節串聯而成，當某個關節因非線性因素使系統產生異常振動，將嚴重破壞軸系部件以及影響工業機器人設備壽命。根據含間隙關節系統的動力學方程建立其仿真模型，如圖4所示(不包括紅色雙點劃線線框部分)。關節系統的主要參數見表1。

表1 關節系統主要參數Tab.1 Main parameters of the joint system

圖4 含間隙的關節傳動模型Fig.4 Joint transmission model with clearance

圖4中：J1、J2、J3分別為關節的伺服驅動電機、減速器和關節臂的轉動慣量；λ為關節減速比。

2.2 關節間隙穩定性分析

關節間隙的存在會降低關節傳動系統的穩定性及抗干擾能力，影響工業機器人的正常運行，而關節聯軸器的剛度值不是無窮大，間隙的出現則會加劇關節系統的諧振。

由式(1)可推導出關節電機的轉速到關節電磁轉矩的傳遞函數：

(6)

由式(6)看出關節系統由慣性環節及二階振蕩環節構成，當關節系統處于低頻時，由于是單慣量則不存在扭振，而當關節系統處于中高頻時，二階振蕩環節中的柔性和間隙值則會產生扭振。

令式(6)分子和分母為0，分別得到關節系統的諧振頻率fN及抗諧振頻率fA：

(7)

(8)

由上式可推導出含間隙關節系統的頻域特性中的諧振頻率及抗諧振頻率，如圖5所示。

圖5 含間隙頻率特性曲線Fig.5 Frequency characteristic curve with clearance

由圖5可以看出關節的諧振頻率為123.16 Hz，幅值大小為25.29 dB，關節的抗諧振頻率為44.63 Hz，幅值大小為-14.02 dB。而關節的抗諧振頻率點對整個系統的抑制作用較小，可以看出由于間隙的影響，關節系統易受外界相近頻率的干擾引起關節軸系的振蕩，破壞其穩定性。

2.3 含間隙關節振動特性仿真

根據建立的關節系統模型，并結合工業機器人實際關節工況所產生的間隙進行換算[18]，設置關節間隙值xbacklash=0.000 1 m和xbacklash=0.001 m，并對關節臂、關節伺服電機、聯軸器等關鍵部件進行振動特性仿真分析。

如圖6所示，由于間隙非線性的存在使得關節臂的轉速受到影響，隨著間隙值不斷增加，關節臂的轉速波動也愈加明顯，且速度波動頻率也隨間隙值的增加而變快，可以看出關節臂轉速在趨于穩定工況時，速度波動的幅度達到了±2 r/min，這也將導致工業機器人末端定位精度的穩定性變差。

如圖7所示，關節伺服電機的電磁轉矩振幅隨間隙值的增大而增大。對比圖7(a)與圖7(b)可看出：當存在較小間隙時整體電磁轉矩振幅無明顯變化，但穩定時的關節電磁轉矩出現了明顯的波動。從圖7(c)可以看出：當間隙增大之后，關節的電磁轉矩振幅波動范圍從6～10 N·m變化到1～16 N·m。

圖7 含間隙電磁轉矩時域振動信號Fig.7 Time domain vibration signals of electromagnetic torque with clearance：(a)without clearance； (b)xbacklash=0.000 1 m；(c)xbacklash=0.001 m

如圖8所示，關節的聯軸器相較于電機由于剛度的存在而出現了滯后現象。對比圖8(a)與圖8(b)可以看出：趨于穩定時的關節聯軸器振動幅值因間隙的存在出現了較大的波動，其波動范圍在-5～5 N·m。從圖8(c)可以看出增大間隙值關節聯軸器振動范圍變化到-60～60 N·m。

圖8 含間隙聯軸器時域振動信號Fig.8 Time domain vibration signals including clearance coupling：(a)without clearance；(b)xbacklash= 0.000 1 m；(c)xbacklash=0.001 m

如圖9所示，為了更加直觀地分析間隙非線性對關節聯軸器的振動影響，對圖8的時域振動信號進行頻譜分析。從圖9(a)可以看出：當間隙值為0.000 1 m時，關節聯軸器的最大振動幅值出現在頻率77 Hz處，振幅僅為2.9 dB；當間隙值為0.001 m時，關節聯軸器的最大振動幅值出現在頻率102 Hz處，但振動幅值隨間隙的增大變化至54 dB；而當關節無間隙時振動幅值卻只有0.05 dB，如圖9(b)所示。

圖9 關節聯軸器頻譜分析Fig.9 Spectrum analyses of joint coupling：(a)clearance is 0.000 1 m or 0.001 m；(b)without clearance

從以上的分析可以看出，間隙對頻率的影響不明顯但對振動幅值有較大影響，因此可以推導出間隙不僅會降低系統的動態特性，破壞關節系統的穩定性，還會加劇關節零部件的損害。

3 實驗驗證與間隙補償

3.1 間隙實驗測試

為進一步通過實驗驗證模型的準確性，根據關節簡化模型搭建單關節擺臂實驗臺，如圖10所示。該關節傳動實驗臺由伺服驅動器、伺服同步電機、減速器、編碼器、電流傳感器以及關節臂等部件組成，其設備型號如表2所示。通過改變聯軸器與關節臂的相對位置，模擬工業機器人在含間隙時的運動狀態，并采集其電流信號和振動信號。

表2 實驗設備型號Tab.2 Models of experimental equipments

圖10 關節傳動模擬實驗臺Fig.10 Joint drive simulation test bench

此次單關節擺臂測試對象為伺服同步電機的電流信號，為更加準確地模擬實際工況狀態，測試時將設置減速器及聯軸器間隙值，并在關節臂上添加15 A負載電流。設置伺服同步電機的測試轉速為1 000 r/min，其中擺臂臺減速器的減速比為1∶10。使用電流互感器實時采集伺服同步電機的三相電流信號，設置擺臂試驗臺信號采集頻率為25 600 Hz，并連接數據采集卡對其電流信號進行高分辨率測量，最后將信號傳遞至工控機，對實驗數據進行存儲、處理、分析等。

圖11所示為含間隙單關節擺臂實驗電流信號的時域波形圖，可以看出信號發生周期性波動。引起該電流信號變化的原因是關節的擺臂運動，而周期性則說明了該關節模擬實際工況中的往復運動。

圖12所示為實驗數據和仿真辨識數據所產生的頻響振幅譜，可看出：只考慮共振頻率與抗共振頻率的位置時，辨識共振頻率與實驗共振頻率吻合度較好，但由于擬合時忽略了阻尼效應以及實驗中的噪聲干擾，導致實驗與仿真振幅之間存在一定的差異。

圖12 擺臂實驗臺頻率響應Fig.12 Frequency response of swing arm test bench

3.2 關節非線性間隙補償

為解決由關節間隙而產生的諧振問題，主要從兩個方面入手[19-20]：一種是通過緊固傳動構件降低系統的彈性，此方法操作復雜且無法徹底消除彈性因素；另一種是對給定速度值的調節，降低速度或其變化率從而避免與關節頻率重疊，但會影響關節動態性能。本文作者從力矩補償的角度，對關節非線性間隙進行補償。

在圖4所示的關節間隙模型中，如果關節臂轉矩TL=0且無間隙，則補償電磁轉矩Te值可由公式(9)—(12)推導：

(9)

(10)

(11)

Tw=Jm/(Je+Jm)Te=KbTe

(12)

當電磁轉矩有一個力矩觀測估計，且含間隙關節系統以等式(12)的方式設置其轉矩值，能夠消除關節臂的擾動從而達到間隙補償的效果。如圖4所示，將力矩觀測補償策略(雙點劃線框中所示)應用在含間隙的關節系統中。在該轉矩觀測補償策略中，觀測器中Kpf、Kb的值分別為軸矩傳遞系數以及力矩傳遞系數，而Jn為關節驅動伺服電機慣量的估計值。

為驗證力矩補償策略的有效性，以單關節擺臂實驗臺為測試對象，使用工控機中的軟件進行程序設置，將PWM參數指令通過串口發送至伺服驅動器并驅動電機運行，最終采集實驗所需的電流信號如圖13所示。由實驗結果對比可知：關節非線性間隙補償對電流一些波峰處有不同程度的減小，但數據采集時受工況環境的干擾，整體電流波動情況呈現小幅度局部改善。

圖13 補償前后的電流時域信號Fig.13 Current time domain signals before and after compensation

4 結論

本文作者以錢江QJR6-1型工業機器人為研究對象，針對關節存在的間隙非線性進行振動特性分析。

(1)將含關節系統簡化為“伺服同步電機+減速器+聯軸器+關節臂”的機電耦合傳動系統，并建立含間隙非線性關節動力學模型。

(2)分析含間隙關節系統諧振頻率，并對關節系統中重要零部件在不同間隙值時的扭轉振動特性進行了仿真分析。隨著間隙值的增大，將減弱關節系統的穩定性。

(3)為驗證振動特性研究的準確性，搭建了單關節擺臂測試臺，對關節電流信號進行采集并對振動信號頻域響應進行對比，實驗和仿真結果表明了該振動分析方法的有效性。

(4)對關節的間隙非線性進行了力矩補償，補償后電流信號在一些波峰處有不同程度的減小。