“雙減”背景下初中數學課堂診斷與改進
——以“垂徑定理”教學為例

甘代祥, 呂瑜佩

(1.長興縣和平中學,浙江 長興 313001;2.湖州師范學院 理學院,浙江 湖州 313000)

0 引 言

雙減《意見》明確:“全面壓減作業總量和時長,減輕學生過重的作業負擔.”為此,在數學教學中,教師要更好地關注課堂教學環節,在教學理念、教學方法等方面進行創新和優化,為初中數學高效課堂提供良好的保障.

課堂診斷是實現教學理念和教學方法創新與優化的重要推手.2022年10月18日,長興縣和平中學邀請數學特級教師針對和平中學一位老師的“垂徑定理”一課進行課堂診斷.整個診斷研討過程拒絕空、虛、套,通過診斷找到課堂存在的問題,并進行歸納總結,嘗試通過優化、調整問題的提問順序和提問方式,增設問題的鋪墊,加大課堂呈現的廣度和深度,從而實現高效數學課堂,落實“雙減”目標.

1 診斷研討找問題

通過對“垂徑定理”一課進行診斷和剖析,發現該課堂主要存在操作探究表面化、問題指向不明確、問題鏈設置不合理、問題設置鋪墊少、缺少有效的課堂反饋等問題.

1.1 操作探究表面化

圖1 題圖

問題1圓是軸對稱圖形,它的對稱軸是什么? 軸對稱圖形的性質是什么?(展示ppt)如圖1所示,AB是⊙O的一條弦,作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為E.沿著直徑所在的直線將圓對折,你會發現哪些點、線段、圓弧互相重合?(直接給出垂徑定理,而對具體的證明過程,讓學生課后去看書)

在課堂引入環節,教師試圖用操作探究的方式來得出垂徑定理.而實際卻沒有可操作的實物紙片圓,學生無法通過直觀的觀察得出結論,教師也沒有對結論進行論證.

1.2 問題指向不明確

問題2圖2是否具備垂徑定理的條件?如果不具備,請說明理由.

圖2 題圖

“下列圖形是否具備垂徑定理的條件?”這個問題指向不明確,是具備垂徑定理的一個條件還是全部條件?由于教師把問題設計得比較廣、沒有邊際,所以學生無法領會老師的意圖,導致無從下手或回答得不著邊際[1],從而造成課堂冷場.此外,該問題設計沒有涉及垂徑定理的結論,割裂了問題的條件與結論的關聯,因此無法起到鞏固垂徑定理和啟發學生數學思維的作用.

1.3 問題鏈設置不合理

問題4如圖3所示,已知排水管的半徑OB=10,水面寬AB=16.求截面圓心O到水面的距離.

圖3 題圖

圖4 題圖

問題5由問題4的條件(已知半徑、弦長)和問題(求弦心距),你能提出新的問題嗎?

問題3到問題6之間的銜接不自然.問題3和問題6注重推理,而問題4和問題5側重計算和應用.從推理到計算又到推理,這樣的問題設計既不順暢,又不合理.問題鏈的設計應該有層次地由淺入深、由易到難,通過問題的遞進引導學生在逐層深入中獲得知識、掌握知識,使他們思維的廣闊性和深刻性同步得到提升[2].

1.4 問題設計鋪墊少

教師直接拋出問題7:點A在⊙O內,過點A作一條弦BC,使弦BC是所有過點A的弦中最短的弦.雖然部分學生能在圓內嘗試過點A畫弦BC,但對什么情況下弦BC最短,大部分學生很難發現正確的結論.少數學生雖然能猜測到垂直于過A點的直徑的弦BC是所有過點A的弦中最短的弦,但是無法說明理由.其原因是教師沒有根據學生的認知水平對問題進行預設,對難度較大的問題缺少中間過渡步驟的鋪墊,坡度太大,導致學生找不到探究問題的路徑,從而錯失問題設計的有效性.

1.5 缺少有效的課堂反饋

行為主義心理學認為:學習就是行動的反饋.因此,全面、及時、準確的信息反饋是提高學習效率的重要因素.筆者發現,本堂課在反饋上還存在以下問題:①不全面.教師以課堂上與個別學生點對點的交流回答,替代全班學生的學習信息反饋;②不多元.教師反饋的形式只有教師問、學生答這種形式,顯得太單調;③不深入.教師重視反饋學生解題的結果,而忽視反饋解題過程中呈現的問題.

2 合力改進求高效

針對以上問題,教研組成員通力合作、認真思考、積極交流,對問題進行整合改進和再設計,從而讓課堂更高效、更有深度.

2.1 提升操作探究的有效性

《數學課程標準》指出:“動手實踐、自主探索、合作交流是學生數學學習的重要方式”.對“垂徑定理”教學,如果教師通過操作活動讓學生探究新知,不僅可以調動學生的求知欲,還可以使學生實現從感性實踐到理性認識,變未知為已知.例如,本課例中的問題1可以做以下改進:

(1) 圓是一個特殊的圖形,它特殊在哪里?你能畫出它的對稱軸嗎?

(2) 請學生到黑板上畫出對稱軸.當學生畫出垂直符號時,教師可追問:為什么要垂直?反之,則追問:這條直徑有什么特別之處?

(3) 你能說說為什么沿著這條直線對折,圖形的兩邊會重合?請大家將手上的圖形按剛才的對稱軸對折,并說明為什么垂直就會平分?我們之前在哪里學過類似的性質?

這個過程真正讓學生動手操作,通過折疊讓學生切身感受圖形的重合.突出學生的主體地位,不僅有利于學生的主動學習和深度學習,還有利于學生思維的主動性和深刻性[3]．而通過追問則可以讓學生回憶等腰三角形三線合一的性質,并由此想到連接兩半徑,從而利用重合證明垂徑定理.將教學的落腳點放在追尋數學的本質上,不僅能讓學生感受數學知識的關聯性,還能幫助學生積累數學活動經驗.

2.2 明確問題設置的指向性

問題設置的主要目的是引導學生的思考方向,提升他們解決問題的積極性,落實學生的主體地位.指向不明確的問題設置會讓學生無法對提出的問題進行思考和作答.例如,本課例中的問題2可以做以下改進:

由下列各圖形(圖5),能否得到線段CE=DE?為什么?并追問:還能得到相等的弧嗎?

圖5 題圖

修改后,明確問題條件是圓中不同條件下的兩條相交線段,結論是線段CE=DE是否相等.追問“為什么”“還能得到相等的弧嗎?”能讓學生自然地想到用垂徑定理的條件,同時強調垂徑定理的結論:垂直于弦的直徑不僅平分弦,還平分弦所對的弧.這樣的問題設計不僅有助于學生理清問題的條件和結論,還能有效鞏固已學知識.

2.3 提升問題鏈的合理有效性

將問題以問題鏈的形式進行設計,不僅能夠活躍學生的思維,還能夠提升學生分析問題和解決問題的能力.例如,本課例中可以將問題4與問題6對調,并將問題6做以下改進:

在已知半徑、弦長的情況下,能求弦心距和弓高,那你能完成以下題目嗎?

(1) 如圖6所示,OE=3,CD=8,試求⊙O的半徑和弓高.

(2) 如圖7所示,弓高EF=4,弦CD=16,試求圓O的半徑和弦CD的弦心距.

(3) 如圖8所示,⊙O的半徑為13,弓高EF=8,試求弦CD的長和弦CD的弦心距.

圖6 題圖

圖7 題圖

圖8 題圖

從問題3、問題4的垂徑定理的理論應用到問題5、問題6的實際計算和應用,整個問題鏈銜接順暢合理.同時,將問題6的提問具體化,能夠讓學生在解題過程中切實感受到“知二推二”,并可為難點問題7 的突破提供鋪墊.

2.4 合理安排問題的梯度

對有一定難度的問題,問題設計不能突兀.因此,教師在問題設計時要注重層層遞進,由易到難,環環相扣,從而發揮對學生的引導作用[4].例如,本課例中的問題7可以做以下改進:

圖9 題圖

(1) 點A在⊙O內,過點A作一條弦BC,過圓心作弦BC的弦心距OA1,你能將弦長BC用半徑和弦心距表示嗎?

(2) 根據基本圖形中的勾股定理,在半徑不變的情況下,過定點的半弦長的長短與弦心距的長短有什么關系?(學生回答后,拉動圖9的幾何畫板進行直觀驗證)

(3) 要使弦最短,弦心距要滿足什么條件?

(4) 現在你能不能過點A作一條弦BC,使弦BC是所有過點A的弦中最短的弦?

教師可通過設計一串有層次、有梯度的問題鏈來降低問題的難度,用合理的銜接和過度引導學生進行深入思考,并鼓勵他們充分表達自己的想法.

2.5 落實課堂展示,關注目標達成

一節課的教學目標是否達成,在很大程度上取決于課堂展示的落實.教師應在課堂上讓學生不斷參與,通過操作探究讓學生直觀感受知識.例如,在本課例的操作環節,教師可以讓學生上講臺展示折疊過程,在黑板演繹推理過程;利用投影展示學生解題中呈現的問題,鼓勵學生分析問題產生的原因;通過分組分配進行任務展示,例如,在本課例的問題6中,教師可以以分組的形式讓學生完成3個小題,并讓小組推薦組員對知識進行歸納總結,力求讓學生得出“知二推二”的結論.

3 診后反思促評價

教學診斷能更好地促進課堂教學的高效,但要真正實現數學課堂高效且有深度,還需注意以下幾點.

3.1 教學設計要合情合理

(1) 教學設計要符合學情.教師要認真把握任教班級學生的學情,掌握學生的認知水平和學習興趣;根據學生實際的認知水平,考慮不同學生認知結構的差異,把握好教學的重點和難點;以學生的“最近發展區”為基礎,引導學生將當前問題與已有認知進行類比、聯系,使他們在認知沖突中不斷深入學習情境,進而思考和解決問題.

(2) 教學設計要活用教材.葉圣陶先生說:“教材只能作為教課的依據,要教得好,使學生受益,還得靠教師的善于運用”.新課程標準要求教師“用教材教”,而不是“教教材”.“用教材教”要求以課標對教學知識的要求為基礎,把知識教學伴隨在培養學生數學能力、情感態度和價值觀的過程中;在教學實踐的過程中,從學生的實際和自己對教材知識結構的認識出發,合理地調整教材、取舍教材,把教材用活,真正做到教材為我所用,而不是被教材牽著走.

(3) 教學設計要突重破難.提高數學課堂教學效果的關鍵,是教師如何在有限的時間里實現突出教學重點、突破難點.要做到這一點,首先,要深鉆教材,從知識結構上抓住重點和難點;其次,課前要精心準備、準確定位、合理引導,充分調動學生的學習積極性,為教學時突出重點和突破難點提供有利條件;再次,找準知識的生長點.數學是系統性很強的學科,數學教學要利用數學的嚴謹邏輯結構,引導學生實現由舊知到新知的遷移,促成從已知到未知的推理,不斷完善認知結構.聯系舊知找準新知的生長點,才能突出重點、突破難點.

3.2 問題設計要多維考量

(1) 問題設計要心中有生.教師如何設計問題才能讓學生動起來,其中包括程度較差的學生.有效的問題設計,是把教師想說的話通過問題設計轉化為學生的表達.教師不用太多的提示,只需拋出問題,靜待花開,傾聽學生的表達.

(2) 問題設計要分層遞進.教師在問題設計時要按照學生的認知水平和教材的知識結構,將一些有難度的問題分解成若干緊密聯系的小問題,引導學生由易到難,步步深入,讓學生嘗試主動思考和解決問題,直至獲得成功的喜悅[5].

(3) 問題設計要形象直觀.教師可利用幾何畫板等信息技術工具,在問題探究中多一點直觀、形象的展示,少一些復雜的思維問題,使學生能逐步解決跳一跳就夠得著的問題,從而養成積極思考的習慣,樹立努力學習的信心.

(4) 問題設計要蘊含感悟.數學思維從何而來?從數學問題中來.如何用數學的語言表達現實世界?從數學問題的感悟中來.要使數學問題蘊含感悟,要讓學生感悟數學知識的豐富內涵,如垂徑定理不僅平分弦,還平分弦所對應的優弧和劣弧;要讓學生感悟數學知識之間的密切關聯,如垂徑定理的計算要把條件匯聚到半弦長、半徑和弦心距的直角三角形中,進而用勾股定理來計算;要讓學生自己感悟探究的魅力.教師應時不時有意地讓學生完成一些小探究,并及時寫下探究感悟,使學生愿意去探究數學問題,并在此過程中感悟數學的真正魅力.

3.3 以學生為中心,優化評價體系

評價不僅要關注學生數學學習的結果,還要關注數學學習的過程,激勵學生學習,改進教師教學[6].良好的數學教學評價體系不僅可以優化數學教學效果,還可以有效激發學生的數學學習熱情.優化以學生為中心的評價體系,既能使學生的綜合能力得到有效發展,又能提升學生數學學習的自信心.

(1) 利用多元化評價內容,實現學生數學學習興趣的激發.多元化評價內容的構建,既可以真實地反映學生的學習情況,又可以提高學生對自我的認知.

(2) 結合多視角評價方法,實現學生數學學習能力的提升.在初中數學有效評價體系中,多視角的評價不僅能提升學生在數學學習中的數學情感、數學價值觀和數學態度,使學生在數學學習過程中的成長發展有跡可循,還能讓評價方式更有創新、更科學有效.

(3) 融合多渠道評價主體,實現初中數學教學效率的強化.在傳統的數學教學評價體系建設中,不論是模式還是主體都是單項式的,不僅無法滿足學生的發展需求,還不利于初中數學教學效率的提升[7].因此,教師可以確立多渠道的評價主體,讓評價得到實質性的發展.例如,由學生、家長、教師、專家等共同參與的評價制度,不僅能提升教學效率,還能讓學生在評價中清楚地認識自己的數學學習情況.

4 結 語

課堂診斷對高效課堂具有重要的促進作用,它可將教師的教和學生的學充分暴露.對課堂呈現的問題,教研組可以形成合力進行修改,對問題進行再設計和整合,同時反思如何優化數學教學的各個環節,使每個成員在診斷研討中提升自己的教學研討能力,從而使每一節數學課堂更加高效、更有深度.