例談點電荷電場強度的疊加問題
——由2023年高考全國乙卷理綜第24題引發的思考

張照康 劉興東

(1.武漢市育才高級中學;2.博樂市高級中學華中師大一附中博樂分校)

1.真題再現

【例1】(2023·全國乙卷·24)如圖1,等邊三角形△ABC位于豎直平面內,AB邊水平,頂點C在AB邊上方,3個點電荷分別固定在三角形的三個頂點上。已知AB邊中點M處的電場強度方向豎直向下,BC邊中點N處的電場強度方向豎直向上,A點處點電荷的電荷量的絕對值為q,求:

圖1

(1)B點處點電荷的電荷量的絕對值并判斷 3個點電荷的正負;

(2)C點處點電荷的電荷量。

本題主要以三個點電荷在平面內形成電場為背景,考查電場強度疊加問題的一般處理方法。

(2)求解C點處點電荷的電荷量有兩種方法:

圖3

2.平行四邊形法則的應用

2.1 一般方法

圖4

( )

【參考答案】B

圖5

2.2 按組矢量合成

【例3】(改編自2022·全國乙卷·19)如圖6,兩對等量異號點電荷+q、-q(q>0)固定于正方形的4個頂點上。L、N是該正方形兩條對角線與其內切圓的交點,O為內切圓的圓心,M為切點。試判斷L和N兩點處的電場方向是否相互垂直?試求M點的電場方向?

圖6

【參考答案】L和N兩點處的電場方向相互垂直;M點的電場方向水平向左。

本題考查電場強度疊加問題,通過題目可以發現四個點電荷位置分布十分具有特點且電荷量大小相等,矢量合成過程中可根據求解問題先兩個一組按組矢量合成,再進行矢量疊加。在判斷L和N兩點處的電場方向是否相互垂直問題時,可將兩個正電荷、兩個負電荷單獨看成一組,兩個正電荷、兩負電荷在N點產生的場強方向由N指向O,故N點的合場強方向由N指向O;兩個正電荷、兩個負電荷在L處產生的場強方向由O指向L,故L處的合場方向由O指向L;即L和N兩點處的電場方向相互垂直。在求M點的電場方向問題時,可將上邊電荷看成一組,底邊電荷看成一組,底邊的一組等量異號電荷在M點產生的場強方向向左;上邊的一組等量異號電荷在M點產生的場強方向向右;M點離上邊一組距離較遠,則M點的場方向水平向左。

2.3 坐標系輔助法

【例4】(改編自2021·河北卷·10)如圖7,四個電荷量均為q(q>0)的點電荷分別放置于菱形的四個頂點,其坐標分別為(4l,0)(-4l,0)(0,y0)和(0,-y0),其中x軸上的兩個點電荷位置固定,y軸上的兩個點電荷可沿y軸對稱移動(y0≠0),試判斷除無窮遠處之外,菱形外部電場強度是否處處不為零?

圖7

【參考答案】除無窮遠處之外,菱形外部電場強度處處不為零。

本題考查電場強度疊加問題,通過題目可以發現四個點電荷位置分布十分具有特點,在判斷菱形外部電場強度方向時可借助坐標系輔助解決。在判斷位于菱形外部坐標軸上點的電場強度是否為零時,可在該點沿水平、豎直方向建立坐標系,發現四個點電荷產生的電場強度方向均指向某一坐標軸同側,電場強度不可能為零。在判斷位于菱形外部坐標軸上某點的電場強度是否為零時,可在該點沿平行最近菱形的邊方向(x軸)和垂直該邊方向建立坐標系,發現四個點電荷產生的電場強度方向均指向x軸外側,電場強度不可能為零。綜上所述,除無窮遠處之外,菱形外部電場強度處處不為零。

2.4 立體空間中的矢量合成

【例5】(改編自2019·新課標Ⅲ卷·21)如圖8,電荷量分別為q和-q(q>0)的點電荷固定在正方體的兩個頂點上,a、b是正方體的另外兩個頂點,試判斷a點和b點的電場強度大小與方向存在什么關系?

圖8

【參考答案】a點和b點的電場強度大小相等,方向相同。

本題考查立體空間內的電場強度疊加問題,厘清幾何關系有電場疊加的一般方法即可解答。正點電荷在a點產生的電場和負點電荷在b點產生電場,方向、大小均相等;正點電荷在b點產生的電場和負點電荷在a點產生電場,方向、大小也均相等;故矢量合成后(圖9),a點和b點的電場強度大小相等,方向相同。

圖9

3.其他常見求解方法

3.1 極限法

【例6】(改編自2022·江蘇卷·9)如圖10所示,正方形ABCD四個頂點各固定一個帶正電的點電荷,電荷量相等,O是正方形的中心。現將A點的電荷沿OA的延長線向無窮遠處移動,試判斷“在移動過程中,O點電場強度變小”是否正確?

圖10

【參考答案】不正確

本題考查極限法處理電場強度疊加問題,在一般方法的基礎上引入極限思想,直接考慮開始和無窮遠就有可能較為簡單的解決問題。初始時,O是等量同種電荷連線的中點,場強為零;將A處的正點電荷沿OA方向移至無窮遠處,O點電場強度不為零,故不正確。

3.2 模型法

【例7】(改編自2021·北京卷·9)如圖11所示的平面內,有靜止的等量異號點電荷,M、N兩點關于兩電荷連線對稱,M、P兩點關于兩電荷連線的中垂線對稱。試判斷M點的場強與P點的場強大小關系?N點的場強與P點的場強關系?

圖11

【參考答案】M點的場強與P點的場強大小相等;N點的場強與P點的場強相同。

本題用一般方法也能解答,但借助等量異種電場產生的電場關系可以更快地解答此題。根據等量異種點電荷的電場線分布(圖12)特點得,M點的場強與P點的場強大小相等,N點的場強與P點的場強大小相等,方向相同。

圖12

3.3 借助合場強為零時,場強之間關系

【例8】(改編自2011·重慶卷·19)如圖13所示,電荷量為+q和-q的點電荷分別位于邊長為a正方體的頂點,其中ABDC為正方體上表面,O1為上表面ABDC中心,O為正方體體心。現將A點電荷換為+q,其他點電荷不變。試求此時上表面ABDC中心O1處和正方體體心O處電場強度?

圖13

3.4 借助等勢線與電場方向的關系

【例9】(改編自2022·河北卷·6)如圖14,真空中電荷量為2q和-q(q>0)的兩個點電荷分別位于M點與N點,形成一個以MN延長線上O點為球心,電勢為零的等勢面(取無窮處電勢為零),P為MN連線上的一點,S為等勢面與直線MN的交點,T為等勢面上的一點。試求T點電場強度方向?

圖14

【參考答案】T點電場強度方向為TO方向。

本題用一般方法很難解答,但借助等勢線與電場方向的關系(等勢線上點的電場方向總是垂直于等勢線)與電勢關系可以很快地解答此題。由于T為等勢面上的一點,故T點電場強度方向為TO方向或者OT方向;由異種電荷電場線分布可知φS>φO,而φS=φT,故φT>φO;電場方向由高電勢指向低電勢,故T點電場強度方向為TO方向。

4.結束語