2023年高考全國乙卷理綜第25題(3)的改編和拓展

劉 鑫

(瑞金第一中學)

一、原題呈現與改編

(1)原題呈現

圖1

(1)第一次碰撞后瞬間小球和圓盤的速度大小;

(2)在第一次碰撞到第二次碰撞之間,小球和圓盤間的最遠距離;

(3)圓盤在管內運動過程中,小球與圓盤碰撞的次數。

(2)試題改編

第(3)問因涉及連續碰撞而難度陡增。這顯然是為了確保頂尖名校選才所必需的區分度和服務科學選才量身打造的,對特尖生而言,它的重要性不言而喻。截至目前,關于原題解法的討論已經很多了。前人之述備矣!為了得到更多、更詳盡的信息,本文接下來僅針對第(3)問對原題進行改編。

情景、碰撞類型、質量關系和設問等均不變,只改一個條件——“圓盤滑動摩擦力與其所受重力大小相等(即Ff=Mg=3mg)”,更改為“Ff=kMg=3kmg”,即用一個無量綱的系數k對圓盤滑動摩擦力的大小做一般化的處理,再來求解第(3)問。

二、改編試題分析、解答和拓展

(1)改編試題分析

k取不同的值,薄圓盤的受力、運動情況將發生改變?？梢圆扇∠纫缀箅y、逐個擊破的策略,把k分區間,然后逐一去討論、研究。同時,轉換參考系可以迅速地得出一些重要結論;研究系統質心運動可以避開逐次處理各次碰撞的煩瑣運算。這些都將在很大程度上簡化解答,便于得出碰撞次數n與k的關系。

(2)改編試題解答

管內不發生碰撞,因此碰撞次數n=0。證明較易,從略。

選擇豎直向下為正方向(此后不再贅述)。對薄圓盤,由牛頓第二定律有

a=(1-k)g

(1)

第一次碰撞時

發生第一次碰撞前瞬間,小球和薄圓盤的速度分別為

以薄圓盤為參考系,因它除碰撞瞬間外均向下做勻加速直線運動,所以是非慣性參考系,牛頓運動定律經修正后方可使用。相對薄圓盤,除碰撞瞬間外,小球均做加速度為(g-a)的勻變速直線運動。同時,碰撞均為彈性碰撞(即恢復系數為“1”,兩者碰前瞬間的接近速度等于碰后瞬間的分離速度),結合豎直上拋運動的對稱性,從第一次開始推算,發現每次碰撞前小球總是以v0撞下來,碰撞后它又以v0反彈上去。因此,任意相鄰兩次碰撞的時間間隔恒為

以小球釋放瞬間作為計時起點,以圓管的上端口作為坐標原點,由質心的定義,系統質心初始位置

因合外力恒定,系統質心向下做初速度為零、加速度為ac的勻加速直線運動

4mg-3kmg=4mac

值得指出的是,ac并不受碰撞內力的影響。在M沖出圓管前,發生第n次碰撞時(薄圓盤、小球以及系統質心三者重合),運動時間和質心位移分別為

臨界條件滿足如下關系

(11)

參照②的分析,任意相鄰兩次碰撞的時間間隔恒為

考慮到薄圓盤摩擦力的突變,為方便計算,把薄圓盤的初始位置作為坐標原點,把小球與薄圓盤首次碰撞的瞬間作為計時起點。接下來具體的做法同②。這里直接給出結果。

(16)

經過分子有理化

4.89

由前面的討論可知,薄圓盤不會自發地下滑,而且在第二次碰撞之前已停下可被小球撞擊。從第一次碰后開始到第二次碰撞前,薄圓盤向下運動的時間和位移分別為

設小球第二次與薄圓盤前碰的速度為vt則有

由相遇條件(位移相等)

整理上式可得

整理得

同理,小球再次碰撞薄圓盤時,薄圓盤第二段位移

因此,兩段位移之比

而a=(1-k)g,代入(26)式得

值得一提的是:如果第二次碰前薄圓盤已停下。那么,此后每次均是如此。這個結論可以用歸納法來證明。即證明:假設第k次碰后分開,第k+1次碰前薄圓盤已停下。那么,第k+1次碰后分開,第k+2次碰前薄圓盤已停下。設第k+1次碰前(按假設薄圓盤已停下),小球向下的速度為vk;第k+2次碰前小球向下(對地)的速度為vk+1。第k+1次碰后薄圓盤向下運動的時間(按假設,第k+1次碰撞屬“一動碰一靜”模型,借鑒原題第一問,計算較簡單,此處略)

對小球

薄圓盤相鄰兩次的位移之比q為與具體的速度無關的定值,所以薄圓盤每次向下滑行距離yi是等比數列,求和

(32)

(3)改編試題拓展

三、軟件系統仿真

為了檢驗理論分析的正確性,筆者還借助matlab軟件,畫出了碰撞次數n與k的分段函數圖像,如圖2。圖像顯示的規律與本文的理論研究吻合得相當之好,證明本文的理論分析完全正確。

圖2

四、總結和展望