靜電場中的圖像問題

馬仕彪

(安徽省濉溪中學)

圖像具有形象、直觀的特點,是描述物理問題的一種重要方式,而靜電場相對較抽象,描述起來具有一定的難度,因此可以借助于各類圖像進行研究,這樣就能化抽象為具體,更好地服務于物理教學和學習。

一、電勢φ-x圖像(場強方向沿x軸)

1.圖像的意義

由電勢差與場強之間的關系U=Ex,即φ0-φ=Ex,移項得φ=-Ex+φ0。由此可見,φ-x圖像的斜率為-E。如圖1所示的φ-x圖像中,在0～x1區間內,圖像的斜率為常量,即電場為沿x軸的勻強電場;在x1～x2區間內,圖像切線的斜率逐漸減小,即電場為沿x軸的非勻強電場。

圖1

如圖2所示的φ-x圖像中,除可以直接判斷出各點電勢φ的高低,并可根據電勢大小關系確定電場強度的方向,在xx1區間內,斜率為負,場強方向為正,即場強沿x軸正方向,進而可以判斷電荷在電場中的受力方向。

圖2

2.常見的φ-x圖像(取無限遠處電勢為零)

正點電荷

(2)兩個等量異種點電荷連線上的φ-x圖像,如圖4所示。其中垂線上的電勢始終為零,為等勢線;

圖4

(3)兩個等量正點電荷的連線和連線的中垂線上的φ-x圖像,如圖5所示。

兩正點電荷連線上

【例1】q1、q2為固定在x軸上的兩個點電荷,x軸上部分區域的電勢φ分布如圖6所示,則

圖6

( )

A.q1帶負電,q2帶正電

B.q1電荷量小于q2電荷量

C.a點電場強度小于c點電場強度

D.若將電子從a點沿x軸移到c點,其電勢能先減小后增大

【答案】D

【例2】靜電場方向平行于x軸,其電勢φ隨x的分布可簡化為如圖7所示的折線,圖中φ0和d為已知量。一個帶負電的粒子在電場中以x=0為中心,沿x軸方向做周期性運動。已知該粒子質量為m、電荷量為-q,忽略其重力。

圖7

(1)求粒子所受電場力的大小;

(2)若將粒子由x=d處靜止釋放,求粒子的運動周期;

(3)若粒子在x=0處獲得一定動能,且動能與電勢能之和為-A(0

二、場強E-x圖像(場強方向沿x軸)

1.圖像的意義

(1)E-x圖像為靜電場在x軸上的電場強度E隨x的變化關系,若規定x軸正方向為電場強度E的正方向,則E>0,電場強度E沿x軸正方向;E<0,電場強度E沿x軸負方向;

(2)由U=Ex可知E-x圖線與x軸所圍圖形“面積”表示電勢差,如圖8所示,在x軸上方表示電勢差為正,在x軸下方表示電勢差為負。

2.電場中常見的E-x圖像

(1)點電荷的E-x圖像

正點電荷及負點電荷的電場強度E隨坐標x變化關系的圖像大致如圖9所示。

正點電荷

(2)兩個等量異種點電荷的連線上和中垂線上的E-x圖像分別如圖10甲乙所示。

甲

(3)兩個等量正點電荷的連線上和中垂線上的E-x圖像,如圖11所示。

兩正點電荷連線上

【例3】(多選)空間內有一沿x軸分布的電場,其電場強度E隨x變化的圖像如圖12所示。-x1、x1、x2、x3是x軸上的四個點,圖像關于坐標原點O中心對稱,下列說法中正確的是

圖12

( )

A.-x1處的電勢比x1的電勢高

B.將正電荷由-x1移到x2,電勢能先增大后減小

C.將一負電荷由-x1處靜止釋放,若只受電場力作用,它將在-x1和x1之間往復運動

D.負電荷在4個點中位于x2處電勢能最大

【答案】BC

【解析】順著電場線電勢降低,因此O點電勢最高,從圖線看出,電場強度關于原點O對稱,則x軸上關于O點對稱位置的電勢相等,則-x1處的電勢與x1處的電勢相等,A錯誤;將正電荷由-x1移到x2,電勢先升高再降低,電勢能先增大后減小,B正確;-x1和x1之間的電場是對稱的,將一負電荷由-x1處由靜止釋放,負電荷先向右做加速運動,經過O點之后做減速運動,到x1處速度減為零,則它將在-x1和x1之間往復運動,C正確;4個點中,x3點的電勢最低,則負電荷在4個點中位于x3處電勢能最大,D錯誤。

甲

(1)離子剛進入第四象限時的速度大小及第二象限勻強電場的電場強度大小E2;

(3)當t=nT(n=1,2,3…)時,離子的坐標。

(3)離子在第四象限中運動時,沿y軸負方向做勻速直線運動,沿x軸正方向離子在前半個周期做勻加速運動,后半個周期做勻減速運動,直到速度減為0,軌跡如圖14所示。

t=nT時,離子到y軸的距離Lx=x0+2nd=(n+1)x0(n=1,2,3,…)

t=nT時,離子到x軸的距離Ly=2ns=2nx0(n=1,2,3,…)

故當t=nT時離子的坐標為[(n+1)x0,-2nx0](n=1,2,3,…)

三、電勢能Ep-x圖像

電勢能Ep-x圖像如圖15所示,由靜電力做功與電勢能變化關系F電x=Ep0-Ep,得Ep=-F電x+Ep0知Ep-x圖像的切線斜率k絕對值為靜電力的大小,斜率正負代表靜電力的方向。

圖15

【例5】(多選)一帶負電的粒子只在電場力作用下沿x軸正方向運動,其電勢能Ep隨位移x變化的關系如圖16所示,其中0～x2段是對稱的曲線,x2～x3段是直線,則下列說法正確的是

圖16

( )

A.x1處電場強度為零

B.x1、x2、x3處電勢φ1、φ2、φ3的關系為φ1>φ2>φ3

C.粒子在x2～x3段速度v隨x均勻減小

D.x2～x3段是勻強電場

【答案】ABD

【解析】Ep-x圖像切線的斜率是表示電場力,在x1處切線斜率為零,則粒子在x1處所受電場力為零,x1處電場強度為零,故A正確;根據電勢能與電勢的關系Ep=qφ,粒子帶負電,知電勢能越大電勢越低,所以有φ1>φ2>φ3,故B正確;由圖16可知x2～x3段斜率不變,則電場力不變,電場強度不變,是勻強電場,粒子所受的電場力不變,做勻變速直線運動,速度隨時間均勻變化,不會隨x均勻減小的,故C錯誤,D正確。

四、圖像之間的轉化

利用靜電場的規律,可以將電勢φ、場強E、電勢能Ep、速度v等之間相互轉換。

【例6】(多選)如圖17所示,有一均勻對稱帶負電花環和一質量為m的帶正電小球,小球由靜止從花環正上方某一高處的A點落下,穿過花環中心又下落到與A對稱的A′點。在這個過程中,若取花環中心為坐標原點且重力勢能為零,無限遠處電勢為零,豎直向下為x軸正方向,則關于小球的加速度a、重力勢能Ep、電勢能εp、機械能E,這四個物理量與小球的位置坐標x的關系圖像可能正確的是

圖17

( )

A

B

C

D

【答案】AD

【例7】如圖18甲所示,兩平行正對的金屬板A、B間加有如圖乙所示的交變電壓,一重力可忽略不計的帶正電粒子被固定在兩板的正中間P處。若在t0時刻釋放該粒子,粒子會時而向A板運動,時而向B板運動,并最終打在A板上。則t0可能屬于的時間段是

甲

( )

【答案】B

圖19