抓綱務(wù)本 知能并重
——均勻帶電半球殼的場強、電勢問題分析

楊天寶

(揚州大學(xué)附屬中學(xué))

人教版教材必修第三冊第14頁中提到“可以證明一個半徑為R的均勻帶電球體(或球殼)在球的外部產(chǎn)生的電場,與一個位于球心、電荷量相等的點電荷在同一點產(chǎn)生的電場相同”,用到的是等效思想,但教材并未給出“球殼內(nèi)場強處處為零”“球殼內(nèi)電勢處處相等”的結(jié)論。筆者查閱大量的文獻資料發(fā)現(xiàn),絕大多數(shù)對此類問題分析多以高等數(shù)學(xué)知識純理論推導(dǎo)為主,然而這并不適用于一般的高中物理教學(xué),更不能有效促進學(xué)生的理解和掌握。均勻帶電半球殼問題可以看作是均勻帶電球殼電場特性的應(yīng)用,對于一些特殊的位置可以采用填補法、等效法、對稱性分析等方法,利用學(xué)生已掌握、能接受、能理解的方法解決均勻帶電半球殼的問題,提高學(xué)生此類問題的得分能力,這樣才更具有價值。

1.均勻帶電半球殼的場強與電勢變化特點

【例1】一球面均勻帶有正電荷,球內(nèi)的電場強度處處為零。如圖1所示,O為球心,A、B為直徑上的兩點,OA=OB,現(xiàn)垂直于AB將球面均分為左右兩部分,C為截面上的一點,移去左半球面,右半球面所帶電荷仍均勻分布,則

圖1

( )

A.O、C兩點電勢相等

B.A點的電場強度大于B點

C.沿直線從A到B電勢先升高后降低

D.沿直線從A到B電場強度逐漸增大

1.1 O、C兩點所在的這個面的場強方向相同,背離半球殼,此截面是等勢面

方法一:先用假設(shè)法判斷O、C場強,再確定等勢面。由于球殼內(nèi)部的場強為零,補全以后可知左右側(cè)球殼在C點的合場強為零,因左右球殼的場強具有對稱性,要想合場強為零只能是兩部分球殼在C點的場強都是水平方向,則可以知道右側(cè)球殼在C點的合場強水平向左,同理OC上其他點的場強都是水平向左,其實OC所在的這個面的場強方向也全都向左,這個截面是等勢面,故O、C兩點電勢相等。

方法二:先用假設(shè)法判斷O、C電勢,再確定場強方向。假設(shè)右半球殼在O、C兩點電勢不等,那么根據(jù)對稱性可知,左半球殼在O、C兩點電勢與右半球殼相等,則疊加后O、C兩點電勢則不同,這樣就會與“球殼內(nèi)電勢處處相等”的結(jié)論相悖,故右半球殼在O、C兩點的電勢必須相同,所以此半球的橫截面是等勢面。再根據(jù)右半球殼在O點場強方向向左且垂直于等勢面,可知此截面上的場強方向均向左。

1.2 軸線BOA直線上關(guān)于O點對稱的球殼內(nèi)兩點場強相同,與位置無關(guān)

首先將題中半球殼補成一個完整的球殼,且?guī)щ娋鶆?設(shè)左、右半球殼在A點產(chǎn)生的電場強度大小分別為E1和E2;由題知,均勻帶電球殼內(nèi)部電場強度處處為零,則知E1=E2。根據(jù)對稱性,左右半球殼在B點產(chǎn)生的電場強度大小分別為E2和E1,且E1=E2。A點的電場強度大小為E2,方向向左,B點的電場強度大小為E1,方向向左,所以A點的電場強度與B點的電場強度相同。試想沿直線從B到A電場強度那是如何變化呢,請看下面分析。

1.3 沿軸線BOA方向場強先增大后減小,且關(guān)于O點對稱

假設(shè)將表面均勻帶正電的半球殼,沿線軸分成厚度相等的兩部分,然后將這兩部分移開到很遠的距離,設(shè)分開后球表面仍均勻帶電,左半部分在A1點的場強大小為E1,方向向右,右半部分在A2點的場強的大小為E2,方向向左,如圖2所示。

圖2

設(shè)想在另一表面均勻分布正電荷的完全相同的半球殼,附在右半球?qū)由蠘?gòu)成球缺,球缺在A2點產(chǎn)生的電場強度E3大于E2,如圖3所示。球缺和球冠構(gòu)成一個完整球,由于均勻帶電球殼內(nèi)部任一點的電場強度為零,那么E1與E3必然大小相等,方向相反,所以球冠面電荷在點A1產(chǎn)生的場強E1大于球?qū)用骐姾稍贏2產(chǎn)生的場強E2,所以A1點的場強大小為E1-E2,方向向右。

圖3

如果左半部分寬度增加電荷量增多,E1增大,右半部分寬度減小,所帶電荷量減小,E2減小,故使得A1點右移同時場強逐漸增大,過半球形球心后場強再減小。

1.4 沿軸線BOA方向電勢逐漸降低

再結(jié)合上述場強大小變化分析時發(fā)現(xiàn)均勻帶電半球殼從B到A場強方向一直向左,故沿BA方向電勢一直降低。

以上分析過程就是利用學(xué)生已掌握、能接受、能理解的“填補法、等效法、對稱法”方法分析總結(jié)出的均勻帶電半球殼場強電勢變化特點,在教學(xué)中實現(xiàn)了“抓綱務(wù)本”的同時又能體現(xiàn)“知能并重”教學(xué)理念,使得學(xué)生的智慧得以活化,創(chuàng)造性得以增強。

2.定性判斷均勻帶電半球殼內(nèi)的場強與電勢

圖4

( )

A.若左右兩部分的表面積相等,有E1>E2,φ1>φ2

B.若左右兩部分的表面積相等,有E1

C.不論左右兩部分的表面積是否相等,總有E1>E2,E3=E4

D.只有左右兩部分的表面積相等,才有E1>E2,E3=E4

【答案】C

【分析】根據(jù)上述例1的分析和結(jié)論,結(jié)合填補法、對稱性可知,左半球殼在M、N點的電場強度大小都相等,方向相同,即E3=E4。

平面L分割的兩部分球冠在M點場強,根據(jù)填補法、對稱性、矢量疊加原理可知,E1方向水平向左,E2方向水平向右,左側(cè)部分在M點產(chǎn)生的場強比右側(cè)電荷在M點產(chǎn)生的場強大,E1>E2,與左右兩個部分的表面積是否相等無關(guān)。

3.定量求解均勻帶電半球殼外的場強大小

【例3】均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場。如圖5所示,在半球面AB上均勻分布正電荷,其電荷量為q,球面半徑為R,CD為通過半球頂點與球心O的軸線,在軸線上有M、N兩點,OM=ON=2R。已知M點的場強大小為E,則N點的場強大小為

圖5

( )

【答案】A

4.定量求解均勻帶電半球殼內(nèi)的電勢大小

圖6

( )

【答案】B

【分析】根據(jù)題干條件:均勻帶電球殼內(nèi)部電場強度處處為零,因此球殼內(nèi)任意兩點的電勢差為零,所以球殼內(nèi)電勢處處相等,即A、B兩點的電勢與O點電勢相等。

在半球面的右側(cè)填補一個均勻所帶電荷量為+Q、半徑為R的半球面,填補后球心O點的電勢應(yīng)該等于球殼上若干個點電荷在O點電勢的代數(shù)和。

5.反思