初中數學解題中逆向思維的應用

梁婷婷

【摘要】在初中教育階段，數學是一門對學生思維能力要求較強的課程，無論是在理論知識學習中，還是在解題訓練中均是如此，教師需適當加強對他們的思維訓練，其中在解題環節，應當指導學生嘗試應用逆向思維進行解題，鍛煉他們解題能力的同時改善他們的思維水平.基于此，本文主要對初中數學解題中如何應用逆向思維進行探討，同時羅列部分解題實例.

【關鍵詞】初中數學解題；逆向思維

逆向思維又稱求異思維，是對一些觀點或事物進行反向思考的一種思維方式，從問題的相反方向展開探索，產生新思想與新思路.在初中數學解題教學中，面對諸多難度較大的題目，當從正向視角無法處理時，教師可以引導學生巧借逆向思維，從問題的結論或反方向進行思考，使其快速找到解題的突破口，助推他們高效解題，并發展思維能力.

1 應用逆向思維方法，輕松解決證明試題

例1 如圖1所示，在一個四邊形ABCD中，M與N分別為邊AB和DC的中點，其中MN=12（AD+BC），請證明AD∥BC.

分析 應用逆向思維方法時，本質上都是“正難則反”，處理這道證明題時，如果從正向視角對題設進行證明，難度較大，這時教師可提醒學生從逆向視角切入，先假設AD與BC不是平行關系，然后進行逆向推理，直至找到同題設條件或者常規定理存在沖突，就說明假設不成立，題設是成立的[1].

詳解 假設AD與BC不是平行關系，畫出輔助線，連接對角線BD，設點P為BD的中點，再連接MP、NP，

在△ABD中，因為BM=MA，BP=PD，

所以MP∥AD且MP=12AD，

以此類推，采用一樣的方式可以證明PN∥BC且PN=12BC，

所以MP+PN=12（AD+BC），①

此時BD的中點并非在MN上面.

又因為MN∥AD，MN∥BC，

所以AD∥BC，

這與假設AD與BC不是平行關系產生沖突，

所以說M、P、N三點沒有共線，

MP+PN≥MN，②

由①、②得MN＜12（AD+BC），顯然這與已知條件MN=12（AD+BC）存在沖突，

所以假設是不成立的，故AD∥BC.

2 運用逆向推導方法，推出與已知條件矛盾

例2 已知在三角形ABC中，滿足AB和AC相等的關系，且P點是三角形ABC內的一點，∠APB＞∠APC，請證明PB和PC的長度不同.

分析 當無法直接證明結論時，學生可從反方向切入，假設命題的反面成立，并將其當作一個已知條件進行逆向推理和證明，直至得出同已知條件相矛盾，把假設推翻，從而證明原命題正確.此題可先把問題轉變成假設PB和PC的長度相等，將其當作已知條件來用，結合三角形全等證明∠APB和∠APC是相等關系，同題干信息相矛盾，由此證明原有結論[2].

所以所假設是不成立的，PB和PC的長度不同.

3 巧妙借助逆向思維，逆用數學問題條件

例3 已知參數n是一個正整數，嘗試求出滿足下列條件的n的最小值：針對n，存在正整數k滿足815＜nn+k＜713.

分析 處理這一題目時，要想從題干給定的條件中找到n所滿足的式子，就要對nn+k進行簡化處理，把其中的參數n分離出來，通過觀察nn+k能夠發現借助逆向思維，運用取倒數的方式可以實現對n的分離，由此明確解題思路.

詳解 結合題目中給定的條件815＜nn+k＜713，

對這一不等式的兩邊進行取倒數以后能夠得到158＞n+kn＞137，

也就是158＞1+kn＞137，

把這個式子化簡以后轉變成67＜kn＜78，

因為參數n和k都是正整數，

所以參數n一定不能比8小，假設參數n=9，

這樣可以得到547＜k＜638，

此時發現不存在滿足這一不等式的k的值，

然后再依次取用n為10，11，12，13與14代入式子，發現均沒有符合不等式的k的整數解，當n的值取15時，能夠得到907＜k＜1058，

這時有符合條件的正整數k，即為k=13，

綜上可得能夠確定符合本題條件的正確答案是n=15，k=13.

4 結語

綜上所述，逆向思維作為處理某些問題的一種重要思維方式，同以往的正向思維有著相反的特征，在初中數學解題教學活動中，巧借逆向思維往往能夠產生意想不到的效果，教師應當指引學生根據實際情況靈活運用逆向思維，且確保逆向推導過程的準確性，使其擺脫固有思維模式的束縛與禁錮，讓他們的思維變得更加靈活，從而高效解答數學試題.

參考文獻：

[1]黎春.探究初中數學解題教學中逆向思維的應用[J].數理天地（初中版），2023（15）：47-49.

[2]時慧娜.逆向思維在初中數學解題中的合理應用[J].數理天地（初中版），2023（11）：69-70.