例談?wù)郊訙p中的缺項(xiàng)與無關(guān)問題

【摘要】本文結(jié)合具體題目闡述整式加減中常見的缺項(xiàng)問題和無關(guān)問題，提供解題的一般方法，以幫助學(xué)生鞏固含參數(shù)整式的加減運(yùn)算，提升解決含參數(shù)整式問題的能力．

【關(guān)鍵詞】整式的加減；參數(shù)；缺項(xiàng)問題；無關(guān)問題；變式

“整式的加減”是人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第二章的學(xué)習(xí)內(nèi)容，本章在學(xué)習(xí)整式的概念、合并同類項(xiàng)、去括號(hào)以及化簡求值的過程中，會(huì)遇到較多含參數(shù)的整式問題，其中較典型的有缺項(xiàng)問題和無關(guān)問題.本文以八道題目的解答為例，闡述了整式缺項(xiàng)與無關(guān)問題的解題原理和方法，能有效鞏固含參數(shù)整式的加減運(yùn)算，進(jìn)一步提升解決含參數(shù)整式問題的能力．

1 知識(shí)回顧

通過以下四道選填題，回顧含參數(shù)整式中的合并同類項(xiàng)、求系數(shù)、次數(shù)、項(xiàng)數(shù)問題，初步接觸含參數(shù)整式的缺項(xiàng)問題和無關(guān)問題.

（1）關(guān)于x，y的單項(xiàng)式mxy2和-6y2x合并的結(jié)果為．

（2）已知整式x|m|-（m-2）x+3是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，則m的值為．

（3）已知（a-1）x3+（b+2）x2+1是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，則a，b的值可以是（）．

A．0，0B．0，-1C．1，0D．1，-2

（4）已知整式x2+mxy-y2+3不含xy項(xiàng)，則m的值為．

解答 （1）（m-6）xy2．

（2）依題意|m|=2，-（m-2）≠0，所以m=-2．

（3）依題意a-1=0，b+2≠0，解得a=1，b≠-2，所以答案選C．

（4）因?yàn)椴缓瑇y項(xiàng)，所以m=0．

2 解題探究

2.1 缺項(xiàng)問題

缺項(xiàng)問題指的是整式中不含某項(xiàng)的問題．解決缺項(xiàng)問題的一般方法是先將整式進(jìn)行化簡，再根據(jù)題目要求，不含哪一項(xiàng)則令該項(xiàng)的系數(shù)為0，從而解出其中的參數(shù)．其原理是因?yàn)闊o論某項(xiàng)中的字母取何值，只要該項(xiàng)系數(shù)取0，則該項(xiàng)的值就為0，所以要使某項(xiàng)不存在，就令該項(xiàng)的系數(shù)為0．

下面以四道例題為例，例1和例2是直接應(yīng)用，例3需要先化簡整式找出系數(shù)，例4需要先列式求出該整式再進(jìn)行解答，解題時(shí)還應(yīng)注意正確區(qū)分題目中的自變量和參數(shù)．

例1 已知關(guān)于x的整式x4-（m+2）x3+（n-1）x2-3x+5不含x3項(xiàng)和x2項(xiàng)，求m，n的值．

解 因?yàn)樵撜讲缓瑇3項(xiàng)和x2項(xiàng)，所以這兩項(xiàng)的系數(shù)為0，即-（m+2）=0，n-1=0，解得m=-2，n=1．

例2 已知整式（a-2b）x4-（2a+b）x3+x2-2是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，求3a-b的值．

解 因?yàn)樵撜绞顷P(guān)于x的二次多項(xiàng)式，故不含x4項(xiàng)和x3項(xiàng)，所以這兩項(xiàng)的系數(shù)為0，即a-2b=0，-（2a+b）=0，所以a-2b+（2a+b）=0，即3a-b=0．

例3 已知關(guān)于x，y的整式ax2+xy+2x2-3x-bxy+y不含二次項(xiàng)，求3a-5b的值．

解 將整式合并化簡，得（a+2）x2+（1-b）xy-3x+y．因?yàn)樵撜讲缓雾?xiàng)，所以二次項(xiàng)（a+2）x2和（1-b）xy的系數(shù)為0，即a+2=0，1-b=0，解得a=-2，b=1，所以3a-5b=-11．

例4 已知關(guān)于x，y的整式A=3x2-mx-n和B=y2+2x-5，如果A+B中不含一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，求（m+n）m的值．

解 先求出A+B=3x2-mx-n+y2+2x-5=3x2-（m-2）x+y2-n-5．因?yàn)锳+B中不含一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，所以-（m-2）=0，-n-5=0，解得m=2，n=-5，所以（m+n）m=（-3）2=9．

2.2 無關(guān)問題

無關(guān)問題指的是整式的值與某字母取值無關(guān)的問題．與缺項(xiàng)問題類似，若與某字母取值無關(guān)，則說明含該字母的項(xiàng)不存在．所以解決無關(guān)問題的一般方法是先將整式化簡，再根據(jù)題目要求，令含該字母的項(xiàng)的系數(shù)為0，進(jìn)而解出其中的參數(shù)．

下面以四道例題為例，例5是直接應(yīng)用，例6需要先列式化簡求出該整式，例7和例8通過定值問題的形式呈現(xiàn)，考查綜合運(yùn)用能力．

例5 已知整式（a+3）x2+（b-2）x+5的值與x的取值無關(guān)，求a，b的值．

解 因?yàn)樵撜脚cx的取值無關(guān)，所以令（a+3）x2和（b-2）x的系數(shù)為0，即a+3=0，b-2=0，解得a=-3，b=2．

例6 已知整式A=x2+mx+2m，B=2x2-2mx+x-3，如果2A-B的值與x的取值無關(guān)，求2A-B的值．

解 因?yàn)?A-B=2（x2+mx+2m）-（2x2-2mx+x-3）=（4m-1）x+4m+3．由于2A-B的值與x的取值無關(guān)，所以含x的項(xiàng)的系數(shù)為0，即4m-1=0，解得m=14，所以2A-B=0+4m+3=4．

例7 已知整式A=2x2+mx-2x+3，B=-x2+2mx-1，小明在計(jì)算3A+6B時(shí)發(fā)現(xiàn)，無論x取何值，3A+6B的值恒不變，求m的值．

解 先求出3A+6B=3（2x2+mx-2x+3）+6（-x2+2mx-1）=（15m-6）x+3．因?yàn)闊o論x取何值，3A+6B的值恒不變，說明其值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，即15m-6=0，解得m=25．

例8 已知無論x，y取何值，整式2mx2-ny+5與nx2+4y-10的差都等于定值15，求m2+n2的值．

解 先求出（2mx2-ny+5）-（nx2+4y-10）=（2m-n）x2-（n+4）y+15．因?yàn)闊o論x，y取何值，該差值都等于定值15，說明其值與x，y的取值無關(guān)，所以含x，y項(xiàng)的系數(shù)為0，即2m-n=0，n+4=0，解得m=-2，n=-4，所以m2+n2=20．

參考文獻(xiàn)：

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