二次函數與幾何圖形中的動態問題探究

李祥平

【摘要】二次函數與幾何圖形相結合的綜合問題，不但考查學生二次函數和平面幾何的基礎知識，還考查數形結合、分類討論等數學思想.其中的幾何動態問題一直是初中數學學習的重中之重，要求學生求解時需利用運動變化的觀點，綜合運用所學知識解決問題.本文分析探究了二次函數與幾何圖形的幾種動態問題，并針對每種動態問題列舉了一道典型例題進行詳細解答，以期望幫助學生對函數與幾何相結合的知識有更全面的掌握.

【關鍵詞】 二次函數；幾何；動態

1 點動變換問題

例1 將拋物線y=ax2a≠0向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線H：y=ax－h2+k.拋物線H與x軸交于點A、B，與y軸交于點C.已知A－3，0，點P是拋物線H上的一個動點.

（1）求拋物線H的解析式；

（2）如圖1，點Q是拋物線H的對稱軸l上的一個動點，在拋物線H上，是否存在點P，使得以點A、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標，若不存在，說明理由.

分析 動點問題的一般解題思路：①化動為靜，讓運動的點在某個時刻停止下來，分析此刻變量間的關系；②利用好對稱性，如果是二次函數的題一定要利用好圖象的對稱性；③關系法：根據圖形找出已知條件間的關系，列出方程，將幾何問題轉化為代數問題來解決.

2 線動變化問題

例2 如圖3，O為坐標原點，已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0經過點A－3，0、B5，0、C0，5.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）把拋物線y=ax2+bx+ca≠0向下平移133個單位長度，再向右平移nn>0個單位長度，得到新拋物線，若新拋物線的頂點M在△ABC內，求n的取值范圍.

分析 解決這種運動變化型的問題，關鍵是要掌握在運動中分析問題，在變化中進行求解.首先，要把握運動規律，尋求運動過程中的特殊位置；其次，學會將動態問題進行靜態化，即將動態情境轉化為幾個靜態的情境，從中尋找到變量之間的關系，用相關字母去表示幾何圖形中的長度、點的坐標等，將幾何問題轉化為代數問題解決.

解 （1）把A、B、C三點的坐標代入拋物線解析式可得

9a－3b+c=025a+5b+c=0c=5，解得a=－13b=23c=5，

所以，拋物線解析式為y=－13x+23x+5.

（2）因為y=－13x+23x+5，

拋物線頂點坐標為1，163，所以將拋物線向下平移133個單位長度，再向右平移nn>0個單位長度后，得到的點M的坐標為1+n，1.設直線BC的解析式為y=kx+bk≠0，把B、C兩點坐標代入可得5k+m=0m=5，解得k=－1m=5，所以，直線BC的解析式為y=－x+5，

令y=1，解得x=4，

新拋物線的頂點M在△ABC內，

所以1+n<4，且n>0，解得0