小學數學教學中數學思想的滲透策略

☉王 霞

數學教學中，對數學思想的提煉與滲透，有助于拓展學生的數學思維，提高學生的數學綜合應用能力。例如數學分類思想、模型思想、轉化思想、數形結合思想等。通過探究數學思想，結合數學問題，逐步拓展學生的數學解題思路，靈活掌握和運用數學思想，來解決問題，為發展學生數學核心素養奠定基礎。本文以模型思想為例，結合學生學情，增進數學與現實生活的關聯，促進學生用數學語言來描述現實問題，提升數學思維品質。

一、梳理數學模型分類，增強學生建模意識

對數學模型思想的討論，旨在通過數學語言來描述數量關系，幫助學生全面認識數學問題。模型思想，拉近數學與現實的距離，增進學生對數學本質的理解。［1］

（一）構建量化模型，發展學生抽象意識

從數學課程中，量化可以表示為用數來講述現實世界中量的關系。數學量化模型，體現了對現實世界的精確定量。量化的過程，幫助學生從形象思維向抽象思維過渡。例如，在學習《認識圖形》時，對于平面圖形的認識、理解與抽象，可以通過學生玩積木的方式，認識積木的幾何結構，把握這些圖形的特點，促進學生在頭腦中建立不同幾何圖形的模型表象。再例如，對于“三角形”，根據其定義，讓學生回歸生活情境，自己動手去“畫一個三角形”，觀察“三角形”需要滿足什么條件？即三角形需要有三條邊，三個角，三個頂點等。可見，對于數學模型中的量化方法，通過有形的物來揭示數學的抽象本質，幫助學生體認數學概念、定理，感悟模型思想的應用價值，增強數學建模意識。

（二）利用等價模型，感知等式內涵

對于“等價”，可以表述為“相等關系”。在數學中，“相等”用“=”來表示，即“=”號兩邊是相互等價的兩件事情。在認識“等式”關系時，無論是已知量，還是未知量，無論是一個數，還是多個數，只要能夠滿足“相等關系”，在數學中都可以用“=”來表示。例如在低年級學習“1＋3 ＝4”，再到中年級“a ＋b＝b ＋a”，以及計算面積時所用公式：“S ＝ab”，還有高年級將學到的方程、函數等問題，都要涉及與“等式”相關的數學模型。由此，在描述“等價模型”時，著重讓學生運用數學符號來建構等式關系，提升學生的代數思想。如在學習《小數乘法》時，對于小數乘以整數的計算，要讓學生認識到小數點的位置變化。某題中，一斤西瓜0.8元，問3 斤西瓜需要付多少元？通過分析，1 斤西瓜為0.8 元，3 斤就是3 個0.8 元，可以表示為“0.8 ＋0.8 ＋0.8”。對于三個0.8 的和，可以用小數乘以整數即“0.8×3 ＝2.4（元）”來表示。也就是說，“0.8 ＋0.8 ＋0.8 ＝0.8×3”。由此，利用等價模型，來簡化數學計算。

（三）引入數軸模型，探究數與形的結合

在數學中，數軸是刻畫一維空間的數學模型。數軸可以實現數與形的銜接。從數軸的概念來看，數軸包括原點、正方向、單位長度。數軸模型，利用數軸上的不同點的相對位置關系，來表示數學中的數。由此，可以從一維空間延伸到二維空間、三維空間的直角坐標系模型、球面空間的黎曼幾何模型等等。數軸思想，還體現了圖形與幾何的關系。如在教學近似數、小數、負數等知識點時，也會運用數軸模型，來幫助學生建構數理。如某題中，有一筐雞蛋，第一次拿走1/2，第二次又拿走剩下的1/2，最后筐里剩4 個雞蛋。問原來有多少個雞蛋？對該題的解決，可以將整個筐里的雞蛋看作“1”，第一次取走后，再將剩下的雞蛋看作“1”，利用數與形關系，第二次拿走雞蛋時，所剩雞蛋為4的2 倍，即8 個；第一次拿走雞蛋時，雞蛋應該是8 的2 倍。利用數與形的關系，讓數學問題直觀化。

二、把握模型思想價值，有序融入數學教學

模型思想在融入數學實踐中，要突出數學問題與現實生活的內在聯系，全面梳理小學數學教材，增強學生對數學模型的感性認識，開放數學活動空間，讓學生體會建模過程。

（一）細化階段性目標，分步滲透模型思想

對數學模型思想的認識，要立足小學數學，從階段性目標設計中，讓學生漸進感悟模型思想。［2］低年級要初步感知模型思想，中高年級參與模型思想的抽象、概括過程。例如，在認識《10 以內的數》時，我們可以融入數軸模型，通過觀察數軸上的點，讓學生感知點與對應數的關系。在進行兩個數比較大小時，可以依托數軸上的點，觀察哪個點代表的數大，哪個點代表的數小。在求近似數時，可以結合數軸，讓學生對比“哪個數最接近某數”。由此，從數到數軸上的點之間，學生感知數與形的關系。同樣，在后續學習小數、分數時，也可以延伸數軸，讓學生透過數軸上的點，來辨析數的概念。在學習《數對確定位置》時，通過觀察教室里學生的座位次序，讓學生將座位抽象成數軸上的點，感受數軸中原點和正方向的重要性。在拓展平面二維坐標中，對于學生的座位，可以從“行”與“列”中確立。如某學生的座位位于“第幾排”“第幾列”，與對應的橫向、縱向數軸上的點形成對應關系，從而透析“數對”的內涵，發展學生用數來描述不同空間相對位置的意識。

（二）引入結構性材料，感知模型思想的數學意義

認識模型思想，重在感知和體驗。小學階段，對數學概念的講解，教師可以利用結構性材料，讓學生從觀察、觸摸中體認數學模型，幫助學生感悟模型思想。如對于“等價”模型的學習，小學低年級簡單加法的運算，可以借助于“天平”模型，讓學生觀察“左邊”與“右邊”之間的平衡關系，來體會加法的意義。天平的左邊我們用“□”表示，右邊用“□＋□”表示。要想實現平衡，需要“左邊＝右邊”，即滿足“□＝□＋□”的關系。舉例來講，8 ＋△＝□＝5，請同學們觀察等式兩邊的△與□，請思考并列舉符合等式的數。由此，教師借助于“天平”模型，讓學生展開問題探究，從結構性認知中，深入感知“等價模型”的數學意義。同樣，在學習《方程》時，對于“方程”的理解，一些學生搞不清楚。我們結合“等價模型”，讓學生展開探討。“30 ＋30 ＝60”觀察這個等式，如果“30 ＋x ＝60”，則請思考，等式中的x 應該是多少？再者，對比“30 ＝60 － 30”與“30 ＋x ＝60”的關系，引導學生辨析等式成立的條件，進而求解出x 的值。在這個過程中，學生體認到“方程”的意義。由此我們延伸方程問題，某班，男生有17 人，女生有15 人，一共有多少人？如果男生有17 人，女生有a 人，全班共有30 人；如果男生有b 人，女生有17 人，共有30人。請求出a、b 的值是多少。學生從模型建構中，深化對模型思想的理解。

（三）重視課堂活動，給予學生建模體驗

在小學數學模型思想滲透中，要順應小學生好玩愛動的天性，通過開展課堂活動，鼓勵學生認識、體認數學模型思想。課堂活動的組織，要突出開放性、自主性，讓學生從建模活動中積累數學經驗。如在學習《角的度量》時，對于“度”與“量”的理解，我們指導學生利用量角器，去量化角的大小。借助于“比角”活動，去觀察“單位小角”（10 度角），激發學生去合并“單位小角”，得到18 個“單位小角”，正好為半圓度量模型。對“量角器”的認識，由“單位小角”進行平分為10 份，每份所代表的刻度為“1 度”。在這個過程中，學生深刻認識“量角器”的結構與度量特點。再例如，對于“植樹”問題的探討，有一條小路長20 米，每隔5 米栽一棵樹，請同學們嘗試提煉數學模型。由此得到三種類型，兩端都種樹，可以栽5 棵；兩端都不種，可以栽3 棵；只種一端，可以栽4 棵。將種樹問題轉換為三條線段圖，讓學生從線段總長、間距、間隔數之間，歸納、計算間隔數的模型，即間隔數=總長÷間距。

三、注重思想方法采用，養成數學核心素養

思想方法可以分為數形結合思想方法、集合思想方法、對應思想方法、劃歸思想方法等，教師要注意思想方法的分類，并注重、注意方法在課程教學中的采用，促使學生形成數學思想的同時養成核心素養。［3］

（一）數形結合思想方法

數學教學主要研究的對象是“數”和“形”，從幾何、函數、統計這些數學知識點可以得知數形結合在數學領域無處不在。數形結合是一種思想方法，也是核心素養元素之一，而數形結合思想就是要求學生能夠將數量關系與空間形式結合起來去分析問題、解決問題。在分析和解決的過程中，還需要具備畫圖能力，利用圖形、表格、符號、線條、文字等繪畫示意圖，從而找出了關鍵知識點，梳理問題與關鍵知識點的關系。為此，小學數學教師在教學過程中可以滲透數形結合思想方法，利用“數形結合”的方法將抽象的數學知識和問題簡單化，降低理解難度，培養學生數形結合思想。如在學習“長方體和正方體”知識時，教師就可以利用數形結合的思想去教學，活躍學生思維。用橡皮泥或小圓木棒制作成不同的正方體和長方體，并讓學生思考，如何選取木棒才能又快又好地做出物體？之后學生開始實踐，最終選取合適的長方形和正方形將框架圍起來。接下來教師利用學生做出來的物體引出知識點——用棱、面和頂點去總結長方體和正方體的特征，從而得出表面積就是長方體和正方體六個面的總面積，通過這種方法來活躍學生思維，培養學生數形結合思想。

（二）集合思想方法

小學數學主要學習了點、數、線這些抽象的數學知識，將這些知識放在一起研究需要運用到集合思想。集合思想是將一組研究對象放在一起，一起討論范圍，并用畫集合圖的方法來養成集合思想。為此，小學數學教師可以采用集合思想教學，滲透集合知識概念，提高學生空間觀，培養學生邏輯思維。［4］如在學習《平行四邊形》時，教師可以給學生分析平行四邊形的集合。平行四邊形的集合主要分為長方形的集合，通過這種方法直觀地向學生滲透集合概念，引導學生將擁有共同屬性的物體或知識看成一個整體，漸漸形成集合思想。

（三）對應思想方法

對應思想是把握兩個集合的問題聯系，從小學數學教材編排中可以看出是存在對應的，常見的有箭頭、虛線、實線、計數器等，為此，小學數學可以采用對應思想方法去教學，將元素與元素、數與算式、實物與實物、量與量聯系起來，培養學生對應思維。重點是一年級教學，將知識主人公、關鍵詞相互對應，開展比較學習，引導學生了解事物間對應關系，通過這種方法培養學生對應思想方法。

（四）劃歸思想方法

數學具有矛盾性特點，知識的復雜與簡單、問題的已知與未知、學習的困難與容易，這都需要根據學生自身特點進行矛盾轉化。所謂劃歸思想就是數學問題解決思想，將需要解決的數學問題進行轉化，歸結成已經解決或比較容易解決的問題中去從而解決。［5］為此，小學數學教師可以采用劃歸思想方法來將數學的矛盾性進行轉化，化難為易、化曲為直。如在學習《小數除法》這節課，教師可以利用“商不變性質”將小數除法劃歸為整數除法，將異分母分數比較大小轉化利用“通分”原理劃歸同分母分數比較大小，通過這種方法，構建完善學生數學認知結構，降低了學生學習難度。

綜上所述，數學知識具有抽象性，小學生正處于形象化思維階段，對數學的理解，很大程度上依賴于具體的形象。數學思想是解決數學問題的重要參考，教師在平時要重視數學思想的滲透，引領學生參與感知、體驗數學思想，讓數學學習更有效。