一致性視域下整數除法運算整體性的教學思考與設計

楊明嵐

【摘? ?要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》十分強調數與運算的一致性。教師以人教版教材三年級下冊“除數是一位數的除法”單元為例，通過“提煉單元核心概念、構建單元教學序列”進行單元整體教學的思考與設計，凸顯內容的整體性和原理的一致性，促使學生從知識系統化走向思維結構化。

【關鍵詞】整數除法；單元整體；數與運算；一致性

《義務教育數學課程標準（2022年版）》十分強調數與運算的一致性，主要包括感悟數的概念本質上的一致性和體會數的運算本質上的一致性兩個方面。在“數與代數”領域，要建立數的概念與數的運算之間的內在關聯，通過數的意義理解數的運算，突出“數”與“運算”的一致性。

整數的除法運算是乘法運算的逆運算，除法運算的意義依附于乘法運算，其核心是計數單位個數的均分。那么，如何在整數除法運算教學中滲透運算的一致性呢？下面以人教版教材三年級下冊“除數是一位數的除法”單元為例展開單元整體教學的研究。

一、教材內容分析

（一）除法運算

人教版教材分三個階段編排除法運算：第一階段“整數除法”，其實質是將被除數按不同計數單位進行分解，并利用分配律進行解構再細分；第二階段“小數除法”，其實質是“披著小數外衣的整數除法運算”；第三階段“分數除法”，目的是建立與整數除法的關系，貫通整數與分數的運算。

除法運算的一致性體現為計數單位與計數單位相除，計數單位的個數與計數單位的個數相除。將“除數是一位數的除法”教學單元置于“除法運算”的結構中進行整體考量，凸顯了內容的整體性、原理的一致性及目標的進階性。

（二）整數除法運算

對于整數除法運算，人教版教材依次編排了“表內除法”“有余數的除法”“除數是一位數的除法”“除數是兩位數的除法”等內容。在二年級下冊“表內除法（一）”和“表內除法（二）”單元，學生第一次接觸除法，理解除法的含義，認識除法是乘法的逆運算；在“有余數的除法”單元，學生第一次接觸除法豎式；到三年級下冊“除數是一位數的除法”單元，學生開始理解除法豎式的算理與算法；最后，在四年級上冊“除數是兩位數的除法”單元，除數由一位數擴展至多位數。整個“整數除法運算”（如圖1）通過橫向打通知識脈絡，與學生的認知結構建立聯系。

（三）除數是一位數的除法

“除數是一位數的除法”是“整數除法運算”中的關鍵單元，具有承上啟下的作用。本單元按照“口算除法—筆算除法—用估算解決問題”的順序編排教學內容。這樣的編排序列在實際教學中有一定的合理性，但結合學生的學習起點來分析，有兩個問題值得探討：一個是口算除法中編排的例題難度較小、梯度過緩，導致多數學生只關注除的“結果”，而忽視除的“理”和“過程”。從算理與算法間的關系看，口算除法的算法是筆算除法的算理。另一個是知識板塊缺少銜接，不利于內容的整體關聯。首先，口算除法與表內除法關聯不夠。教學口算除法應與表內除法均分的過程密切聯系，如針對教材提供的素材“10張一沓的彩紙”，就需要讓學生經歷“為什么選擇6個十均分，而不選擇60個一均分”的深度思考。其次，筆算除法與口算除法關聯不夠，學生不理解“有口算方法了為何還要學豎式方法”。

二、學情分析

在遵循學科邏輯的基礎上，教學時還要遵循學生的認知起點。為精準把握“除數是一位數的除法”單元中學生的認知起點，了解學生學習的真實疑難點，筆者在教學前組織了一次單元知識的前測，隨機抽取80名學生進行測試，具體情況如下。

測試題目1：口算120÷3=、66÷3=，用自己的方法清楚地表示計算的過程。

測試結果顯示，兩道口算題學生的正確率達97.5%。部分學生用橫式來表示計算過程，如“120÷3”，因為12÷3=4，所以120÷3=40；又如“66÷3”，因為60÷3=20，6÷3=2，所以20+2=22。部分學生用圓圈圖（120個圓圈）、小棒圖（120根小棒）圈出結果。少部分學生用12捆小棒圈出均分的結果。

測試題目2：筆算69÷3=、72÷3=、327÷3=，用列豎式的方法表示計算的過程。

測試結果顯示：只有約12.5%的學生能正確運用除法豎式進行計算，通過訪談得知，他們是通過看書、父母告知等途徑習得計算方法的；約18.8%的學生是將加、減、乘的豎式書寫（從上往下寫）經驗遷移至了除法豎式；約46.3%的學生用一層的除法豎式書寫。分析測試結果可知，多數學生不會用多層豎式書寫，不理解除法豎式中每一步的含義。

前測結果表明，學生口算的正確率非常高。從技能層面看，學生能自主遷移運用乘法口訣進行計算，熟練掌握運算的技能；從理解層面看，有少部分學生能解釋這樣運算的道理，但多數學生只關注除的“結果”，而忽視除的“理”。基于上述分析，學生學習本單元內容時存在三方面的難點：一是理解口算除法時，對把被除數按計數單位分解成若干個部分（如66可以看作6個十和6個一），再均分每部分單位的個數（如先分6個十，平均分成3份，每份是2個十；再分6個一，平均分成3份，每份是2個一）的理解存在障礙；二是對除法豎式的價值理解、算理理解和豎式的含義無法同步匹配，即在理解除法豎式每一個數的含義、每一層均分的含義上存在困難；三是在除法豎式中，隨著被除數的增大，商的位數增多（出現商中間有0的情況），學生在運用多層記錄的方式進行計算時遇到了挑戰。因此，教師需要進一步思考兩個問題：一是如何遷移數的意義，深度理解除法的意義；二是如何獲得算理的支持，理解除法豎式每一步的含義。

三、單元教學框架重構

（一）單元核心概念提煉

核心概念指向數學學科結構的主干部分，能反映學科對象本質關聯的內容。本單元內容由“數的意義”引申出“數的結構”，即“數＋計數單位”。其中，“計數單位”是數的構成的核心。據此，本單元的核心概念可提煉為“均分計數單位的個數”，也就是對計數單位個數的運算。在此基礎上，確立“除數是一位數的除法”的單元目標：（1）通過數的意義的遷移，自主探索“除數是一位數的除法”的算法和算理，并能靈活選擇合適的算法解決實際問題；（2）在探索一位數除多位數的方法及估算方法的過程中，提高運算能力和推理意識，積累數學思考的經驗。

（二）單元核心內容重構

基于以上分析，筆者對“除數是一位數的除法”單元的教學內容作了適度的調整（如表1）。

重構后的教學內容主要有如下變化。

1.聯系數的意義，理解除法運算的原理

從運算的意義看，數的運算源自數的意義，即對計數單位個數的運算。因此，筆者將“均分計數單位個數”確立為單元核心概念，以此串聯本單元的課時學習。重構后的理解算理課是本單元的關鍵板塊，筆者有機整合“口算除法”的3個例題，設計“分一分1（每一位都能均分）”“分一分2（某一位不能均分）”兩個學習進階活動，讓學生借助“分小棒”的過程，在求同尋異中理解被除數按計數單位進行“拆—除—合”的運算過程，體會快捷計數的價值。

2.關聯計數原理，遷移筆算除法的技能

從運算的一致性看，加、減、乘、除運算都是“數”計數單位個數的運算。本單元的“筆算除法”是形成算法的關鍵板塊，筆者嘗試聯系“口算除法”中“分小棒”的過程，設計“除法豎式”的三個學習進階活動，將“分小棒”的過程與除法豎式分層記錄的過程結合起來，幫助學生理解豎式的含義；同時建立“加法、減法、乘法、除法”豎式之間的聯系，讓學生理解豎式是記錄計數單位個數的運算，感悟運算原理的一致性，實現教學內容的結構化，促進學生思維的結構化發展。

四、單元教學課堂實踐

基于上述分析，筆者圍繞單元重構后的3個關鍵課例進行例證。

【課例1】分一分1（每一位都能除盡）

1.回顧舊知，理解意義

教師直接出示題目：口算6÷3=、69÷3=。

問題1：6個一平均分成3份，均分了幾次？

問題2：按照6÷3的分法，69個一平均分成3份，需要均分幾次？

2.畫圖表征，理解算理

教師布置學習任務：有沒有一種簡便的分法能讓69÷3分的次數最少，可以畫一畫、寫一寫。

對比分析：這些作品（如圖2）中有什么相同的地方？

3.關聯方法，遷移技能

教師出示題目：口算369÷3=、6369÷3=。

問題1：這兩道題目分別需要均分幾次？

問題2：均分的道理和69÷3一樣嗎？如果是五位數、六位數呢？

【課例2】分一分2（某一位不能除盡）

核心環節教學：對比溝通，理解算理的一致性。

教師布置學習任務：分一分，圈一圈，清楚地表示兩次分的過程。

42÷3＝? ? ? ? ? ? ? ? 43÷3＝? ? ? ? ? ? ? ? ?24÷3＝

全班交流反饋：均分的過程中遇到了什么新問題？你們是怎么解決的？

師：你們是怎樣均分的？

生：42÷3是將十位的4個十平均分成3份，每份分到1個十，還剩1個十，再把1個十拆成10個一，與個位的“2個一”合起來再分（如圖3）。

生：43÷3的分法和42÷3的分法基本一樣，不一樣的是43÷3分到最后個位還有余數1（如圖4）。

師：是的，個位有余數。那如果還要繼續均分，怎么辦？

生：把個位的余數“1”變成更小的計數單位后再分。

生：均分24÷3時，十位的“2個十”不夠平均分成3份，所以要把2個十變成20個一，和個位的4個一合成24個一后再分。

小結：被除數是幾位數就均分幾次，不夠分的時候，先將大的計數單位細分成小的計數單位再繼續均分，除法就是將計數單位細分再不斷均分的過程。

【課例3】除法豎式1（被除數是兩位數）

1.數形結合，理解豎式

教師布置學習任務：用豎式記錄69÷3兩次均分小棒的過程和結果。

教師用課件演示兩次均分小棒的過程（如圖5）。

對比學生用豎式記錄的多種方法（如圖6）。

問題1：哪一個豎式把剛才兩次均分小棒的過程毫無遺漏地記錄下來了？

問題2：結合口算除法中兩次分小棒的過程，哪個豎式能顯示兩次均分小棒的過程？

問題3：②號豎式和③號豎式有什么相同點和不同點？

小結：第一次分完6捆小棒后沒有剩余，可記為“0”（如圖7），這樣就能毫無遺漏地把兩次均分的過程都記錄下來。

2.思維關聯，深化算理

教師布置學習任務：用豎式計算42÷3=、43÷3=、24÷3=。

問題1：你能在豎式中找到兩次均分的過程嗎？

問題2：第一次均分的過程中遇到了什么問題？你是怎么解決的？

3.內容關聯，關注一致

教師布置學習任務：用豎式計算69÷30。

問題：你能在豎式中找到每次均分的過程嗎？

“除數是一位數的除法”單元是整數除法的關鍵單元。教學時，可以“均分計數單位的個數”這一核心概念統攝整個學習過程，通過3個例證內容滲透運算的一致性，讓學生理解“除數是一位數的除法”的算理與算法，向前聯系“表內除法”的均分經驗，向后連接“除數是兩位數的除法”“小數除法”，將本單元置于整體教學中，凸顯知識原理的一致性。

參考文獻：

［1］鞏子坤，劉萍.論數的概念與運算的一致性之三：整數運算算理、算法的一致性［J］.小學數學教師，2022（10）：77-81.

［2］葉婉貞.單元整合? ?疏通聯系? ?發展學力：“除數是一位數的除法”單元整合探索［J］.小學數學教師，2020（9）：69-73.

［3］史寧中.基本概念與運算法則：小學數學教學中的核心問題［M］.北京：高等教育出版社，2013.

（浙江省湖州市長興縣教育研究中心）