基于HPM 的教學難點分析與突破策略*
——以“解一元二次方程(公式法)”為例

江蘇省南通市海門區(qū)首開東洲初級中學(226100) 南京師范大學教師教育學院(210023)趙嘉誠

1972 年,在第二屆國際數(shù)學教育大會上,瓊斯和英國學者羅杰斯組織數(shù)學史與數(shù)學教學關(guān)系國際研究小組,標志著數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關(guān)系(簡稱HPM)作為一個學術(shù)研究領(lǐng)域的出現(xiàn).目前HPM 研究的主要內(nèi)容是數(shù)學史融入數(shù)學教學的實踐研究.在數(shù)學教學中運用數(shù)學史的主要方式是附加式、復制式、順應式和重構(gòu)式[1].

教學難點是指那些太抽象、離學生生活實際太遠、過程太復雜、學生難以理解和掌握的知識、技能和方法.從聯(lián)系的觀點看,教學難點就是那些與學生已有知識建立聯(lián)系比較困難的知識[2].從HPM 角度看,教學難點是在數(shù)學發(fā)展過程中需要數(shù)學家們經(jīng)歷長期、艱苦探索才能發(fā)現(xiàn)、確認的數(shù)學知識.從最近發(fā)展區(qū)理論的觀點來看,想要突破教學難點就是要拉近乃至消除學生的現(xiàn)有水平和學生的可能發(fā)展水平之間的距離.

美國著名數(shù)學家、數(shù)學教育學家M·克萊因曾經(jīng)指出:“歷史上數(shù)學家遇到的困難,正是學生也會遇到的障礙,因而數(shù)學史是數(shù)學教學的指南.”因此,借助HPM 不僅有利于在數(shù)學教學中更好地把握難點、突破難點,而且有利于從理論上對數(shù)學教學難點進行深入研究.

本文以人教版《義務教育教科書·數(shù)學》九年級上冊第二十一章“一元二次方程”中的“21.2.2 公式法”為例, 借助HPM 分析與突破教學難點并進行教學設(shè)計.

1 求解一元二次方程的發(fā)展簡史

方程是中學代數(shù)的重要內(nèi)容,也是人們在問題解決過程中常用的數(shù)學模型和數(shù)學思想.教科書中對于一元二次方程的求解方法有直接開方法、配方法、公式法和因式分解法.其中公式法和配方法都為解一元二次方程的通法,這兩種方法之間蘊含著內(nèi)在聯(lián)系.

歷史上最早給出一元二次方程解法的是公元前19 世紀的古巴比倫人,他們主要研究一元二次方程x2+bx=c.由于當時缺少代數(shù)符號,所以他們的求解過程都是以文字的形式來加以敘述,同時由于對負數(shù)的不理解,故排除了負根.但是他們已經(jīng)找到程序化的計算步驟來對相同類型的一元二次方程進行求解,這顯然是公式法的早期體現(xiàn).

西漢中期成書的《九章算術(shù)》主要研究一元二次方程ax2+bx=c(a0).其中“少廣”章中記載了世界上最早的開方運算,為解高次方程奠基.“勾股章”中借助開帶從平方法對一元二次方程ax2+bx=c(a0)進行求解,同時也定義了負數(shù)概念.三國時吳國人趙爽在《周髀算經(jīng)》的注釋中借助幾何圖像對一元二次方程-x2+bx=c進行求解,最終也得出了相應的程序化求解過程.但由于缺少數(shù)學符號,故沒有現(xiàn)代方程和求根公式的形式.

公元3 世紀的希臘數(shù)學家丟番圖在其作品《算術(shù)》中引入了未知數(shù)的簡寫符號,這一舉措為后續(xù)數(shù)學家們用真正的代數(shù)符號來研究和推導得出公式法奠定了相應基礎(chǔ).

公元9 世紀,阿拉伯數(shù)學家花拉子米在他的名著《代數(shù)學》中將一元二次方程分成5 類,也借助幾何圖形來進行方程求解.由于引入了數(shù)字符號,其表達形式優(yōu)于古巴比倫人,但沒有使用符號和縮寫字母,同時還沒有引入負數(shù),所以也沒有現(xiàn)代方程和求根公式的形式.

公式法的推導過程需要借助配方法.對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),不同于教材上配方時的“等式兩邊同除a”,古希臘的數(shù)學家海倫選擇“等式兩邊同乘a”再進行配方,7 世紀的印度數(shù)學家婆羅摩笈多選擇“等式兩邊同乘4a”.

最終在12 世紀印度數(shù)學家婆什迦羅在其著作《麗羅娃蒂》中引用11 世紀數(shù)學家斯里達羅的方法,對于一元二次方程ax2+bx+c= 0(a0)進行研究,得出了求根公式,并且承認了負根的存在.所以求根公式,又稱作印度求根公式.

2 HPM 視角下的教學難點分析與突破策略

數(shù)學家M·克萊因、HPM 先驅(qū)、數(shù)學史家卡約黎、數(shù)學史家福韋爾等人根據(jù)生物學家海克爾提出的“個體發(fā)育史重演種族發(fā)展史”這一生物發(fā)生學定律,提出了“過去的發(fā)展障礙有助于解釋今天的學習困難”這一主張.所以數(shù)學發(fā)展歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)過的困難往往會或多或少地體現(xiàn)在學生個體的數(shù)學學習過程之中,故歷史不僅有助于教師分析課堂中的教學難點,還有助于教師制定針對學生的教學難點突破策略.

縱觀借助公式法解一元二次方程的發(fā)展歷程,數(shù)學家們經(jīng)歷了不承認負根,缺少代數(shù)符號,沒有對一般化的一元二次方程進行一般化研究等困境.同時數(shù)學家們付出了以文字形式描述解方程的程序化計算步驟,通過幾何方法來分析并計算方程問題,對方程進行不同形式的化簡再配方等有利于推導出求根公式的努力.

結(jié)合學生原有的數(shù)學活動經(jīng)驗,學生在初一時已經(jīng)系統(tǒng)學習了負數(shù)相關(guān)概念和用字母表示數(shù),所以困擾古人的負根和代數(shù)符號問題不做考慮,故教學難點主要在借助配方法對一元二次方程的求根公式進行推導.同時通過以往的教學經(jīng)驗來看,照搬教材中的“探究”,讓學生嘗試自己推導公式,會出現(xiàn)學生推導慢、錯誤多等問題,最終變成教師黑板演示全過程,學生從探究者變成旁觀者,從主動學習變成被動灌輸.由此基礎(chǔ)知識和基本技能掌握尚不牢靠,更不用說增加活動經(jīng)驗和獲得數(shù)學思想.

導致推導過程中學生出現(xiàn)困難的主要原因和突破策略如下.

(1)學習目標混亂

很多學生上課之初內(nèi)心就充滿疑惑: (1)已經(jīng)學習了配方法解一元二次方程,為什么還要學習公式法? (2)為什么要借助配方法來推導求根公式? (3)為什么要對一元二次方程ax2+bx+c= 0(a0)來推導求根公式,而不是其他一元二次方程.

借助數(shù)學史,這些問題都能迎刃而解.古巴比倫人和中國古代數(shù)學家們程序化的求解一元二次方程的過程看似和配方法一樣,但其本質(zhì)上是公式法的一種外顯形式.讓學生用配方法來推導公式法, 是讓學生經(jīng)歷這樣一種探究過程,對于配方法和公式法內(nèi)在隱性關(guān)系有更加直觀的數(shù)學探究體驗.同時后續(xù)的數(shù)學家們從對不同形式的一元二次方程的探究到最后對一般式ax2+bx+c=0(a0)進行探究,也說明了要得到一般規(guī)律,就要對最一般的式子進行研究.

借助數(shù)學史,不僅可以使學生知道知識是什么,更能讓他們知道為什么要學習這個知識以及如何探究這個知識.從而讓學生目標明確,增加學習的積極性.

(2)運算錯誤,半途而廢

由于前攝抑制,學生在之前借助配方法解一元二次方程時,在“移項”完以后,往往會進行“二次項系數(shù)化為1”的操作,此時會出現(xiàn)分數(shù),并且在配方時添加的分式是運算過程中的難點和易錯點.

借助史學史, 我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學家們在對一般式ax2+bx+c= 0(a0) 進行探究時, 沒有采用“二次項系數(shù)化為1”,而是“兩邊同乘4a”,這樣的操作與教材中的“探究”不同,可以避免出現(xiàn)分式.借助“學材再建構(gòu)”理論[3],教師在實際課堂中可以對學生進行提示和引導,開拓學生的解題思路.

基于以上分析,“解一元二次方程(公式法)”的教學目標可設(shè)置為: (1)能夠用公式法解一元二次方程.(2)借助配方法推導一元二次方程的求根公式中,滲透特殊到一般、數(shù)形結(jié)合和分類討論思想.(3)了解數(shù)學史、欣賞數(shù)學美,感受探索求知的精神.

3 HPM 視角下的教學設(shè)計

3.1 課前引入,展示數(shù)學故事

在ppt 中投影古巴比倫泥版中的問題: 已知矩形面積為60, 長比寬多7, 問該矩形的長為多少, 列出矩形的長所滿足的方程.并給出一元二次方程x2-7x= 60 和古巴比倫人的文字解答過程: 取7 的一半,得自乘,得;將和60 相加,得;開方,得,將和相加,得12, 即為矩形的長.并展現(xiàn)上述解法寫成的一個運算式子:,同時告知缺少負根是因為古巴比倫人對于負數(shù)缺乏認識.

設(shè)計意圖借助附加式和復制式,將這部分史料作為課前閱讀材料的形式進行展示有三個目的.一是,學生在閱讀古巴比倫算法的文字表達方式的過程中,能夠體會它與配方法的不同之處,從而對其原理產(chǎn)生學習興趣,進而解決為什么要學習公式法這一疑問.二是,借助符號語言下的運算式子,讓學生發(fā)現(xiàn)配方法在這種計算方法中的作用,為后續(xù)利用配方法算出求根根式提供先行組織者.三是,這部分的數(shù)學史主要作用是激發(fā)學生探究興趣,放在課前而非課中,是為了避免喧賓奪主,導致沒有充分時間進行教學難點的突破.

3.2 討論運算式子,確認研究方程的種類

問題1: 觀察運算的式子,你覺得這種計算方法與我們學過的哪種方法相類似?

問題2: 這種解法是否具有普遍適用性?

問題3: 你覺得最終結(jié)果和一元二次方程中哪些元素有關(guān)?

問題4: 通過哪個一元二次方程去研究一般性結(jié)論?

設(shè)計意圖借助重構(gòu)式,將古人經(jīng)過多個世紀的時間才最終確定對一元二次方程ax2+bx+c= 0(a0)進行研究來得出求根公式的歷史經(jīng)歷,體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學思想.通過發(fā)生教學法,以問題鏈的形式進行授課.根據(jù)歷史相似性,個體數(shù)學理解的過程與數(shù)學歷史發(fā)展過程具有相似性.[4]因此學生想要得到這一結(jié)果,必然也是要付出一定的努力.故以教學內(nèi)容和學生思維水平為基礎(chǔ),通過由淺入深的問題,激發(fā)學生學習興趣,使得學生的認知水平隨著問題的深入層層遞進,最終實現(xiàn)知識的螺旋式上升,突破這一學習難點.

3.3 借助配方法,得出求根公式

師: 如果進行“二次項系數(shù)化為1”的操作,后續(xù)的計算過程中會出現(xiàn)什么問題?

生1: 中間項和尾項會出現(xiàn)分式,配方時計算過于復雜.

師: 如果不將二次項系數(shù)化為1,是否可以配方?

師: 為了能夠配方,應該使得首項ax2變成平方項,應該進行什么操作?

生2: 可以兩邊同乘a.

師: 同乘以后確定的尾項是什么?

師: 再想想,乘多少,可以使得中間項和尾項都是整式?

生4: 4a.

師: 后續(xù)的計算中,你又遇到了什么問題?

生5: (2ax+b)2=b2-4ac這一步,萬一等號右邊式子小于零,下面就不可以同時開平方了.

師: 很好,那請小組內(nèi)針對b2-4ac的正負性討論一下正確的解題過程.

討論結(jié)果: 當b2- 4ac＞0 時, 方程的解是;當b2-4ac= 0 時,方程的解是;當b2-4ac＜0 時,方程無實數(shù)解.

師: 將b2-4ac稱為根的判別式,用希臘字母Δ 表示,當b2-4ac＞0 時,將稱為一元二次方程的求根公式.

設(shè)計意圖借助復制式,通過教師的引導,使得學生的解題思路往歷史上數(shù)學家們的解答思路靠攏,最終體會到古人的智慧.這樣的教學過程,也完美突破了學生可能因為計算錯誤,而無法借助配方法對一元二次方程的求根公式進行推導的教學難點,同時也更加直觀地展示了判別式b2-4ac.

3.4 借助歷史題目,鞏固新識

例1 解下列方程

(1)x2- 10x+ 9 = 0; (2)x2+ 8x- 65 = 0; (3)x2+32x-320=0.

總結(jié)計算步驟: 1.將方程化成一般式.2.寫出a、b、c(注意符號).3.計算判別式Δ.4.根據(jù)判別式正負性代入求根公式

設(shè)計意圖借助復制式,第一個方程是公元7 世紀印度數(shù)學家婆羅摩笈多解過的方程,第二個方程出自16 世紀法國的代數(shù)教材,第三個方程出自16 世紀意大利的數(shù)學教材.提供歷史數(shù)學名題,促進學生學習進程.同時讓學生自我總結(jié)解題步驟和注意事項,增加學習代入感.

3.5 課外拓展,展示幾何解法

古人巧妙地將一個數(shù)的平方與正方形面積相對應,將兩個數(shù)的乘積與長方形面積相對應.一元二次方程x2-7x= 60 可以看做長為x、寬為x-7 的長方形面積為60.按照古巴比倫人的解法,可以借助割補法將這個長方形轉(zhuǎn)化為正方形,從而建立可以直接開方的方程.(如圖1)

圖1 一元二次方程x2 -7x = 60 的幾何解釋

設(shè)計意圖《義務教育數(shù)學課程標準(2022 年版)》指出數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學習,有助于發(fā)展幾何直觀和運算能力.[5]這里借助復制式,以古人的視角展示代數(shù)問題的幾何解法,既增加了代數(shù)推理,又增強了幾何直觀,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.由于這不是本節(jié)課的重點,故以課外拓展的形式加以呈現(xiàn),讓學有余力的同學感受數(shù)學知識之間的聯(lián)系.

4 小結(jié)

要想真正從HPM 視角去研究教學難點并實施相應的突破策略,教師需要對知識點的歷史起源加以追溯,厘清該知識點在東西方不同數(shù)學體系下的發(fā)展歷程.由于歷史的復雜性,數(shù)學知識的發(fā)展往往并不是呈線性上升.但是發(fā)生教學法下的課堂需要符合知識的自然發(fā)生過程,教學過程必須以學生的現(xiàn)有水平為基礎(chǔ)來展開, 同時也強調(diào)知識的必要性,即教學必須激發(fā)學生的學習動機.所以基于HPM 的課堂,并不是數(shù)學史料的簡單堆砌, 而是教師充分分析完學情以后,選擇適合當前學生的相關(guān)史料,按照知識的發(fā)生邏輯,通過附加式、復制式、順應式、重構(gòu)式將數(shù)學史融合到課堂中.

本文在五個教學環(huán)節(jié)中都設(shè)計到數(shù)學史的相關(guān)內(nèi)容,主要采用附加式、復制式和重構(gòu)式.將數(shù)學史上有助于突破教學難點“對哪個一元二次方程進行配方法”的相關(guān)史料借助重構(gòu)式,以問題鏈的形式,讓學生經(jīng)歷古人同樣的思考過程,最終確定是ax2+bx+c=0(a0);同時借助復制式,引導學生使用古人的解法,避免了“借助配方法對一元二次方程的求根公式進行推導”中會遇到的困難,從而對教學難點進行突破.