哲學視域下高中數學與課程思政的融合

江蘇省江陰市青陽中學(214400)夏俊

近年來,“課程思政”成為教育者研究的重點內容,各科教師更是努力將課程思政融入各學科.高中數學是整個高中比較抽象的一門學科,學生學起來比較吃力.經過作者多年的實踐,將馬克思主義哲學與高中數學結合不僅提升學生的數學核心素養,而且還有育人價值的作用.馬克思主義哲學雖然產生于19 世紀,但他依然具有強大的現實生命力,依然閃耀著光輝燦爛的真理光芒,散發出永恒的思想魅力.

馬克思主義哲學內容較為豐富,本文重點從唯物辯證法(聯系觀、發展觀、矛盾觀)以及認識論將哲學與高中數學有機結合.

1 馬克思主義哲學與高中數學的結合

1.1 聯系觀與高中數學的結合

(1)聯系的普遍性原理

聯系具有普遍性,但并不意味著任何兩個事物之間都存在聯系,因為任何兩個事物的聯系是具體的,有條件的.只有在一定條件下兩個事物之間才能建立聯系.

例1若曲線y= (x+a)ex有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是____.

解∵y= (x+a)ex,∴y′= (x+ 1 +a)ex,設切點為(x0,y0), 則y0= (x0+a)ex0, 切線方程為:y- (x0+a)ex0= (x0+1+a)ex0(x-x0), ∵切線過原點, ∴ -(x0+a)ex0= (x0+1+a)ex0(-x0), 整理得:, ∵切線有兩條, ∴Δ =a2+ 4a＞0,解得a＜-4 或a＞0.

本題將切線個數問題轉化為方程的解的問題,正是聯系的普遍性.用聯系的普遍性原理來解題,可以找到問題切入點.

(2)整體與部分的辯證關系

整體與部分相互聯系,密不可分.整體是由部分構成的,離開了部分,整體就不復存在.部分的功能及其變化會影響整體的功能.部分是整體中的部分,離開了整體,部分就不成其為部分.整體的功能、狀態及其變化也會影響部分.

例2已知在三棱錐P-ABC中,PA=4,,PB=PC=3,PA⊥平面PBC,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積是( ).

A.43πB.42πC.48πD.46π

解在ΔPBC中, 由余弦定理得:, ∴ ΔBPC外接圓半徑,又PA⊥平面PBC,∴三棱錐P-ABC的外接球半徑,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積

本題直接研究三棱錐(整體)很難找到突破口, 不妨降維先研究三角形PBC(部分), 找到外心.過外心做平面PBC的垂線,在垂線找到一點,使得它到P點和A點的距離相等.

圖1

(3)抽象與具體的辯證關系

抽象指客觀對象中存在著的諸如對象具有的某種性質、與其他對象具有的某種關系等抽象的東西.具體指具體的事物,具體的東西.

例3已知函數f(x)的定義域為R,f(x+2)為偶函數,f(2x+1)為奇函數,則( )

C.f(2)=0 D.f(4)=0

本題中給出的是抽象函數,不好研究.不妨找一個具體函數,更有利于幫助學生解題,發現問題根源.

1.2 矛盾觀與高中數學的結合

(1)矛盾的同一性和斗爭性的辯證關系

矛盾的同一性不能脫離斗爭性而存在,矛盾雙方的同一是對立中的同一,是包含著差別的同一;矛盾的斗爭性也不能脫離同一性而存在,斗爭性寓于同一性之中,并為同一性所制約.矛盾雙方的對立統一推動事物運動、變化和發展,矛盾是事物發展的源泉和動力.

例4平行四邊形ABCD中,AB= 2,AD= 1,, 點M在邊CD上, 則的最大值為( ).

解∵平行四邊形ABCD中,AB= 2,AD= 1,,點M在邊CD上,∴,∴,又A∈(0°,180°),∴A=120°.

以A為原點, 以AB所在的直線為x軸, 以AB的垂線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系, ∴,則的最大值是2.故選: A.

圖2

一個點對應著一個坐標,點是幾何元素,坐標是代數元素.點和坐標是相互依存的.

(2)矛盾的普遍性和特殊性辯證關系

矛盾的普遍性和特殊性是共性和個性、絕對和相對的關系.是關于事物矛盾問題的精髓.普遍性寓于特殊性之中,并通過特殊性表現出來,沒有特殊性就沒有普遍性;特殊性離不開普遍性,特殊性包含普遍性.

相互轉化: 矛盾的普通性和特殊性在一定條件下可以相互轉化.

例5設橢圓的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0),設O為坐標原點.證明: ∠OMA=∠OMB.

解當l與x軸重合時, ∠OMA= ∠OMB= 0°.當l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線, 所以∠OMA= ∠OMB.當l與x軸不重合也不垂直時, 設l的方程為y=k(x- 1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2), 則, 直線MA,MB的斜率之和為.由y1=kx1-k,y2=kx2-k得.將y=k(x-1)代入得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.所以.則從而kMA+kMB= 0, 故MA,MB的傾斜角互補, 所以∠OMA=∠OMB.

綜上,∠OMA=∠OMB.

當l與x軸重合以及l與x軸垂直時,這是特殊性.當l與x軸不重合也不垂直時,這是普遍性.

(3)主要矛盾與次要矛盾辯證關系

主要矛盾在事物發展過程中處于支配地位,對事物發展起決定作用的矛盾.次要矛盾處于從屬地位,對事物發展不起決定作用的矛盾.因此,既要善于抓重點,集中力量解決主要矛盾;又要學會統籌兼顧,恰當處理好次要矛盾.

例6天和核心艙是我國目前研制的最大航天器, 同時也是我國空間站的重要組成部分.2021 年6 月17 日,神舟十二號載人飛船搭載著聶海勝、劉伯明和楊洪波三名宇航員升空并順利“入住”天和核心艙.這是中國人首次進入自己的空間站,這也標志著中國載人航天事業邁入了一個新的臺階.為了能順利的完成航天任務,挑選航天員的要求非常嚴格.經過統計,在挑選航天員的過程中有一項必檢的身體指標ξ服從正態分布N(90,100),航天員在此項指標中的要求為ξ≥110.某學校共有1000 名學生,為了宣傳這一航天盛事,特意在本校舉辦了航天員的模擬選拔活動.學生首先要進行上述指標的篩查,對于符合要求的學生再進行4 個環節選拔,且僅在通過一個環節后,才能進行到下一個環節的選拔.假設學生通過每個環節的概率均為,且相互獨立.

(Ⅰ)設學生甲通過篩查后在后續的4 個環節中參與的環節數量為X,請計算X的分布列;

(Ⅱ)請估計符合該項指標的學生人數(結果取整數).以該人數為參加航天員選拔活動的名額,請計算最終通過學校選拔的人數Y的期望值.

參考數值:P(μ-σ＜X＜μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ＜X＜μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ＜X＜μ+3σ)=0.9973.

解(Ⅰ) 易知學生甲參與的環節數量X的所有可能取值為1, 2, 3, 4,所以X的分布列為

X 1 2 3 4 P 2 3 2 9 2 27 1 27

(Ⅱ) 因為ξ服從正態分布N(90,100), 所以.設1000 名學生中該項指標合格的學生人數為Z, 則Z～B(1000,0.02275), 所以E(Z) = 1000×0.02275 = 22.75≈23,所以估計符合該項指標的學生人數約有23 人, 且每位同學通過選拔的概率,則通過學校選拔的人數,故.

本題的第一問并不是涉及到題干中所有的信息,只是涉及到部分信息.在解決第一問過程中,要善于找到問題的主要信息,妥善處理好次要信息.

1.3 發展觀與高中數學的結合

(1)量變達到一定程度必然引起質變

事物的發展總是先從量變開始的,量變是質變的必要準備.量變達到一定程度必然引起質變,質變是量變的必然結果.

隨著n的增大,趨向于某個數,將變量轉化為定量.

(2)否定之否定

任何事物都要經歷肯定、否定,再到否定之否定的辯證發展過程.辯證否定的實質是揚棄,自己否定自己,自己發展自己.

例8從2 位女生,4 位男生中選3 人參加科技比賽,且至少有1 位女生入選,則不同的選法共有____種.(用數字填寫答案)

解

本題正難則反,正向思維解決本題較為復雜,不妨考慮逆向思維.

1.4 認識論與高中數學的結合

(1)感性認識與理性認識

感性認識是認識的初級階段,理性認識是認識的高級階段.感性認識有待于發展、深化為理性認識,理性認識依賴于感性認識.二者相互滲透、相互包含,具有辯證統一關系.

例9有6 個相同的球,分別標有數字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次,每次取1 個球,甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”,則( )

A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立

解,P(甲丙) = 0P(甲)P(丙) ,,P(丙丁)=0P(丁)P(丙),故選: B.

學生解本題過程中,往往忽視了相互獨立的概念,憑感覺直接判斷,很容易選錯.這反映學生基礎不扎實,需要對公式深入理解.

(2)實踐是檢驗認識的真理性的唯一標準

通過實踐,人們可以把自己頭腦中的觀念的存在變為現實的存在.在這一過程中,人們把指導自己實踐的認識和實踐所產生的結果加以對照,從而檢驗認識是否正確地反映了客觀事物.

例10在ΔABC中,角A,B,C所對的邊長為a,b,c,b=a+1,c=a+2.是否存在正整數a,使得ΔABC為鈍角三角形? 若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.

解顯然c＞b＞a, 若ΔABC為鈍角三角形,則C為鈍角, 由余弦定理可得, 解得-1 ＜a＜3,則0 ＜a＜3,由三角形三邊關系可得a+a+1＞a+2,可得a＞1,∵a∈Z,故a=2.

本題屬于探索性題型,問題中的存在與不存在,無法直接給出答案.唯有通過自己的實踐,才能給出最終的結果.

(3)真理是客觀的

由于人們的立場、觀點和方法不同,每個人的知識結構、認識能力和認識水平不同(認識多樣性),對同一個確定的對象會產生多種不同的認識,但是,在同一條件下人們對同一對象的真理性認識只有一個而不可能有多個(真理唯一性).真理面前人人平等.

例11ΔABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=(2a-c)cosB.

(Ⅰ)求B;

(Ⅱ) 若BC= 6,AC邊上的中線BD的長為7, 求ΔABC的面積.

解(Ⅰ) 根據正弦定理, 由bcosC= (2a-c)cosB, 可得sinBcosC=(2 sinA-sinC)cosB,整理得sinBcosC+cosBsinC=2 sinAcosB,所以sin(B+C)=2 sinAcosB,即sinA= 2 sinAcosB.因為sinA0,∴.因為B∈(0,π),所以.

(Ⅱ)解法一: 如圖3,延長BD至點E, 使得DE=BD, 連接AE,CE.因為D為AC的中點, 所以四邊形ABCE為平行四邊形, 所以,BE= 14.在ΔBCE中,根據余弦定理,得,即,即CE2+6CE-160=0,解得CE=10(負值舍去) , 所以AB=CE= 10.所以ΔABC的面積.

圖3

解法二: 因為BD是AC邊上的中線, 所以, 所以, 即.所以, 即, 解得(負值舍去) , 即AB= 10.所以ΔABC的面積

解法三: 設AB=x,CD=DA=y.在ΔABC中,根據余弦定理,可得,即

在ΔBCD中, 根據余弦定理可得,, 在ΔABD中,同理可得,.因為∠BDC+ ∠BDA=π, 所以cos ∠BDC= -cos ∠BDA, 所以y2+ 13 =-(y2-x2+49),即

由①②可得x2+6x-160 = 0, 所以x= 10(負值舍去) ,即AB= 10.所以ΔABC的面積.

一題多解解題過程是不同的,但是結果是唯一的,正是真理客觀性的表現.

2 結語

哲學視域下,高中數學的研究任重而道遠,值得廣大師生深入研究.教師作為引導者,應當將哲學與高中數學結合.

首先，教師加強研究.哲學是一門熱愛智慧、追求智慧的學問.哲學對于高中數學教師是陌生的,所以大部分教師不會想到將哲學和高中數學結合.但是教師要想挖掘哲學中的思政元素,就必須學習哲學理論并加以應用.教師們可以先研究哲學的理論內容,然后有意識的將哲學的知識應用到高中數學上來,通過不斷的實踐,一定會收獲頗多.

其次，創設合理的問題情境.《中國高考評價體系》中指出情境是試題的載體,情境有利于發展學生的數學核心素養.教師引入哲學的思政元素,必須想辦法找出恰當的題目,尋求數學知識與哲學的最佳切入點.通過引入情境,讓學生發揮核心價值的引領作用,學會用必備知識和關鍵能力去解決問題,全面發展學科素養.