開展深度學習,把握問題本質*
——以高三一輪復習課“解三角形”為例

張 偉

? 湖北省教育科學研究院

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》以下簡稱《標準》指出:把握數學的本質,啟發思考,改進教學.在高三一輪復習教學中,如何引導學生把握數學本質呢?筆者以一輪復習課“解三角形”為例,引導學生積極主動參與教學,一題多解,多題歸一,層層深入,開展深度學習,追本溯源,探尋解三角形的本質、思想與方法.

1 教學過程

1.1 引例

設計意圖：通過本例題的教學,復習正弦定理、余弦定理、面積公式,以及公式的變形與作用,理解利用方程法解三角形和方程思想等.

1.2 典型例題

圖1

思路分析：從幾何元素角度分析,解三角形就是已知三角形的六個元素(三個角和三條邊)中的三個元素(其中至少知道一條邊)求其他三個元素的過程;從代數方程的角度分析,解三角形就是知三求一,建立方程(A+B+C=π是其中隱含的一個方程),從正弦定理、余弦定理入手解決問題.

設計意圖：進一步引導學生理解利用方程法解三角形和方程思想等.

圖2

例2如圖2,在△ABC中,D是BC邊上的點,AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,

AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC.

又因為cos∠ADC+cos∠ADB=0,所以

AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

又由(1)知AB=2AC,所以AC=1.

生3:同理,還可以在△ABD和△ABC中求解.

師:例2的解決思路與例1有什么聯系和區別?

生4:都是建立方程解三角形.

生5:區別是例1是在一個三角形中求解,例2是把邊和角放在兩個三角形中求解.

師:解一個三角形從條件個數的角度來分析是知三求三,即需要知道三個獨立的條件,那么解兩個三角形呢?請以本題為例進行分析.

師:由(1)得到的AB=2AC算一個獨立條件嗎?本題還有其他條件嗎?

生7:AB=2AC不算一個獨立條件,因為它是由AD平分∠BAC和△ABD面積是△ADC面積的2倍這兩個條件推出來的結果.本題還有AD是公共邊,∠ADC與∠ADB互補,即∠ADC+∠ADB=π這兩個獨立條件.

師:本題如果在△ACD和△ABC中求解共需要幾個獨立元素呢?

生8:除了已知的四個條件外,還有AC是公共邊,∠C是公共角,共六個獨立條件.

師:從條件個數的角度來分析,解一個三角形需要知道三個元素,解兩個三角形需要知道六個元素.這里所說的元素,廣義來講可以是公共邊、公共角、互補角等,也可以是面積、中線、高線、角平分線、周長等,它們都可以轉化為三角形中的元素,但一定要是相互獨立的元素.

師:本題我們是利用建立方程的方法求三角形邊的長度和角的大小,請大家想想除了可以利用正余弦定理建立方程,還可以有哪些方法建立方程求解?

生10:因為與長度和角度有關,所以還可以通過建立平面直角坐標系來建立方程.

圖3

以A為坐標原點,建立如圖3所示的平面直角坐標系.

設∠BAD=∠DAC=θ,AC=b,則AB=c=2b.

所以B(2bcosθ,2bsinθ),D(1,0),C(bcosθ,-bsinθ).

(2bcosθ-1)2+(2bsinθ)2=2,

化簡,得2b2-1=1,得b=1,即AC=b=1.

師:下面我們來看幾個變式訓練.

小結與反思：(1)我們是如何解三角形的?(解三角形的本質是方程法.)

(2)建立方程的方法和途徑有哪些?(正余弦定理、向量法、坐標法、構造特殊三角形等.)

(3)請你談談從條件個數的角度我們是如何命制解三角形問題的?(命制涉及兩個三角形的題目時,都是先給出兩個三角形,再將有關這兩個三角形的相互獨立的條件個數減少到六個.)

設計意圖：通過例題和變式的解決,引導學生掌握解三角形的基本方法,探尋研究一個問題、一類問題的基本思路與方法.授人以魚不如授人以漁,學生掌握了研究數學對象的思路,知道從哪些角度來研究問題后,自然不滿足于已有的問題,必然會產生新的想法,進而會自己提出問題、分析并解決問題.

師:不難發現,這六個條件中,除了已知的邊長和角度,還可以是隱藏的條件,比如公共邊、成倍數關系的邊、公共角或互補的兩個角等,也可以“換一種表達方式”給出條件,如給出面積、周長、中線長,角平分線長、向量形式的等式、正余弦邊角互化得出的等式、幾何關系等式等.

師:請各位同學自己編制試題.

設計意圖：給學生提供充分活動的機會,使他們在主動探索和合作交流的過程中獲取知識、形成技能,在獲取廣泛數學活動經驗的基礎上使知識、能力方面由“獲取”轉化為“建構”,“感性”上升為“理性”.

例3(2021年新高考Ⅰ卷)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點D在邊AC上,且BD=b,若AD=2DC,求cos∠ABC.

①

在△ABC中,由余弦定理得

b2=a2+c2-2accosB.

②

聯立①②,得11b2=3c2+6a2.

以下部分同解法1.

思路分析：本題涉及兩個三角形,只有五個獨立的條件,故無法確定三角形,那么如何求cos∠ABC呢?找到邊長a,b,c之間的關系,利用余弦定理求解.

設計意圖：考慮到學生已經初步掌握了解三角形的方法、思想與本質,而從條件的個數分析,本題只有五個獨立條件,缺少給定某一條的邊長這一條件,故三角形不能確定.滿足題意的三角形都相似,不能求出邊長a,b,c,但根據邊長a,b,c之間的關系可以求出cos∠ABC.因此進一步引導學生當條件個數不足時,如何求解三角形問題.這也為繼續研究三角形中的邊長、面積和周長的取值范圍等問題做好鋪墊.

2 教學反思

當前,在高中一輪復習中,大多數學校采取的復習方式是根據教輔資料的設計,每一小節通過基礎知識梳理、典型例題剖析、課時作業等環節進行教學,然后輔以大量的專題訓練和考試.這種做法的優點是能夠幫助學生更好地鞏固基礎知識,提升解題技能;缺點是不能幫助學生深刻理解內容的本質,掌握核心思想與方法,提升理性思維,落實核心素養.“為國選才”是高考的基本功能,黨中央、國務院印發的《深化新時代教育評價改革總體方案》明確提出:“改變相對固化的試題形式,增強試題的開放性,減少死記硬背和機械刷題現象”,高考命題探索“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的綜合考查模式,高考命題加大題目的創新力度、注重思維能力考查要求,課堂教學要回到注重數學內容的本質,加強關鍵能力的培養,促使學生學會思考,善于總結與反思.如果在重視基礎的前提下適度開展深度學習,學生通過教師的引導和幫助,借助適宜的活動情境或手段,能主動地去觀察、猜測、思考、探究,能提出問題并解決問題,真正成為教學的主體.教師在傳授知識的同時,要注重知識的追根溯源、注重思維的深層訓練、注重師生的深層對話、注重學習的深層評價,引導學生“知其然”到“知其所以然”,促進學生的學習從“學會”到“會學”.Z