開展深度學(xué)習(xí),把握問題本質(zhì)*
——以高三一輪復(fù)習(xí)課“解三角形”為例

張 偉

? 湖北省教育科學(xué)研究院

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》指出:把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),啟發(fā)思考,改進(jìn)教學(xué).在高三一輪復(fù)習(xí)教學(xué)中,如何引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)呢?筆者以一輪復(fù)習(xí)課“解三角形”為例,引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)參與教學(xué),一題多解,多題歸一,層層深入,開展深度學(xué)習(xí),追本溯源,探尋解三角形的本質(zhì)、思想與方法.

1 教學(xué)過程

1.1 引例

設(shè)計(jì)意圖：通過本例題的教學(xué),復(fù)習(xí)正弦定理、余弦定理、面積公式,以及公式的變形與作用,理解利用方程法解三角形和方程思想等.

1.2 典型例題

圖1

思路分析：從幾何元素角度分析,解三角形就是已知三角形的六個(gè)元素(三個(gè)角和三條邊)中的三個(gè)元素(其中至少知道一條邊)求其他三個(gè)元素的過程;從代數(shù)方程的角度分析,解三角形就是知三求一,建立方程(A+B+C=π是其中隱含的一個(gè)方程),從正弦定理、余弦定理入手解決問題.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生理解利用方程法解三角形和方程思想等.

圖2

例2如圖2,在△ABC中,D是BC邊上的點(diǎn),AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,

AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC.

又因?yàn)閏os∠ADC+cos∠ADB=0,所以

AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

又由(1)知AB=2AC,所以AC=1.

生3:同理,還可以在△ABD和△ABC中求解.

師:例2的解決思路與例1有什么聯(lián)系和區(qū)別?

生4:都是建立方程解三角形.

生5:區(qū)別是例1是在一個(gè)三角形中求解,例2是把邊和角放在兩個(gè)三角形中求解.

師:解一個(gè)三角形從條件個(gè)數(shù)的角度來分析是知三求三,即需要知道三個(gè)獨(dú)立的條件,那么解兩個(gè)三角形呢?請(qǐng)以本題為例進(jìn)行分析.

師:由(1)得到的AB=2AC算一個(gè)獨(dú)立條件嗎?本題還有其他條件嗎?

生7:AB=2AC不算一個(gè)獨(dú)立條件,因?yàn)樗怯葾D平分∠BAC和△ABD面積是△ADC面積的2倍這兩個(gè)條件推出來的結(jié)果.本題還有AD是公共邊,∠ADC與∠ADB互補(bǔ),即∠ADC+∠ADB=π這兩個(gè)獨(dú)立條件.

師:本題如果在△ACD和△ABC中求解共需要幾個(gè)獨(dú)立元素呢?

生8:除了已知的四個(gè)條件外,還有AC是公共邊,∠C是公共角,共六個(gè)獨(dú)立條件.

師:從條件個(gè)數(shù)的角度來分析,解一個(gè)三角形需要知道三個(gè)元素,解兩個(gè)三角形需要知道六個(gè)元素.這里所說的元素,廣義來講可以是公共邊、公共角、互補(bǔ)角等,也可以是面積、中線、高線、角平分線、周長等,它們都可以轉(zhuǎn)化為三角形中的元素,但一定要是相互獨(dú)立的元素.

師:本題我們是利用建立方程的方法求三角形邊的長度和角的大小,請(qǐng)大家想想除了可以利用正余弦定理建立方程,還可以有哪些方法建立方程求解?

生10:因?yàn)榕c長度和角度有關(guān),所以還可以通過建立平面直角坐標(biāo)系來建立方程.

圖3

以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)∠BAD=∠DAC=θ,AC=b,則AB=c=2b.

所以B(2bcosθ,2bsinθ),D(1,0),C(bcosθ,-bsinθ).

(2bcosθ-1)2+(2bsinθ)2=2,

化簡,得2b2-1=1,得b=1,即AC=b=1.

師:下面我們來看幾個(gè)變式訓(xùn)練.

小結(jié)與反思：(1)我們是如何解三角形的?(解三角形的本質(zhì)是方程法.)

(2)建立方程的方法和途徑有哪些?(正余弦定理、向量法、坐標(biāo)法、構(gòu)造特殊三角形等.)

(3)請(qǐng)你談?wù)剰臈l件個(gè)數(shù)的角度我們是如何命制解三角形問題的?(命制涉及兩個(gè)三角形的題目時(shí),都是先給出兩個(gè)三角形,再將有關(guān)這兩個(gè)三角形的相互獨(dú)立的條件個(gè)數(shù)減少到六個(gè).)

設(shè)計(jì)意圖：通過例題和變式的解決,引導(dǎo)學(xué)生掌握解三角形的基本方法,探尋研究一個(gè)問題、一類問題的基本思路與方法.授人以魚不如授人以漁,學(xué)生掌握了研究數(shù)學(xué)對(duì)象的思路,知道從哪些角度來研究問題后,自然不滿足于已有的問題,必然會(huì)產(chǎn)生新的想法,進(jìn)而會(huì)自己提出問題、分析并解決問題.

師:不難發(fā)現(xiàn),這六個(gè)條件中,除了已知的邊長和角度,還可以是隱藏的條件,比如公共邊、成倍數(shù)關(guān)系的邊、公共角或互補(bǔ)的兩個(gè)角等,也可以“換一種表達(dá)方式”給出條件,如給出面積、周長、中線長,角平分線長、向量形式的等式、正余弦邊角互化得出的等式、幾何關(guān)系等式等.

師:請(qǐng)各位同學(xué)自己編制試題.

設(shè)計(jì)意圖：給學(xué)生提供充分活動(dòng)的機(jī)會(huì),使他們?cè)谥鲃?dòng)探索和合作交流的過程中獲取知識(shí)、形成技能,在獲取廣泛數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上使知識(shí)、能力方面由“獲取”轉(zhuǎn)化為“建構(gòu)”,“感性”上升為“理性”.

例3(2021年新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點(diǎn)D在邊AC上,且BD=b,若AD=2DC,求cos∠ABC.

①

在△ABC中,由余弦定理得

b2=a2+c2-2accosB.

②

聯(lián)立①②,得11b2=3c2+6a2.

以下部分同解法1.

思路分析：本題涉及兩個(gè)三角形,只有五個(gè)獨(dú)立的條件,故無法確定三角形,那么如何求cos∠ABC呢?找到邊長a,b,c之間的關(guān)系,利用余弦定理求解.

設(shè)計(jì)意圖：考慮到學(xué)生已經(jīng)初步掌握了解三角形的方法、思想與本質(zhì),而從條件的個(gè)數(shù)分析,本題只有五個(gè)獨(dú)立條件,缺少給定某一條的邊長這一條件,故三角形不能確定.滿足題意的三角形都相似,不能求出邊長a,b,c,但根據(jù)邊長a,b,c之間的關(guān)系可以求出cos∠ABC.因此進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生當(dāng)條件個(gè)數(shù)不足時(shí),如何求解三角形問題.這也為繼續(xù)研究三角形中的邊長、面積和周長的取值范圍等問題做好鋪墊.

2 教學(xué)反思

當(dāng)前,在高中一輪復(fù)習(xí)中,大多數(shù)學(xué)校采取的復(fù)習(xí)方式是根據(jù)教輔資料的設(shè)計(jì),每一小節(jié)通過基礎(chǔ)知識(shí)梳理、典型例題剖析、課時(shí)作業(yè)等環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué),然后輔以大量的專題訓(xùn)練和考試.這種做法的優(yōu)點(diǎn)是能夠幫助學(xué)生更好地鞏固基礎(chǔ)知識(shí),提升解題技能;缺點(diǎn)是不能幫助學(xué)生深刻理解內(nèi)容的本質(zhì),掌握核心思想與方法,提升理性思維,落實(shí)核心素養(yǎng).“為國選才”是高考的基本功能,黨中央、國務(wù)院印發(fā)的《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》明確提出:“改變相對(duì)固化的試題形式,增強(qiáng)試題的開放性,減少死記硬背和機(jī)械刷題現(xiàn)象”,高考命題探索“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的綜合考查模式,高考命題加大題目的創(chuàng)新力度、注重思維能力考查要求,課堂教學(xué)要回到注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),加強(qiáng)關(guān)鍵能力的培養(yǎng),促使學(xué)生學(xué)會(huì)思考,善于總結(jié)與反思.如果在重視基礎(chǔ)的前提下適度開展深度學(xué)習(xí),學(xué)生通過教師的引導(dǎo)和幫助,借助適宜的活動(dòng)情境或手段,能主動(dòng)地去觀察、猜測、思考、探究,能提出問題并解決問題,真正成為教學(xué)的主體.教師在傳授知識(shí)的同時(shí),要注重知識(shí)的追根溯源、注重思維的深層訓(xùn)練、注重師生的深層對(duì)話、注重學(xué)習(xí)的深層評(píng)價(jià),引導(dǎo)學(xué)生“知其然”到“知其所以然”,促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”.Z