培養數學思維 促進深度學習
——“用導數研究一類函數問題”教學與反思

王開林

? 江蘇省淮州中學

在工作室活動中,筆者開設的“用導數研究一類函數問題”一課,是針對學生學習中暴露出來的問題設計的一節微專題復習課,從基礎入手,引領學生變式探究,幫助學生建構用導數研究解決一類函數問題的方法,培養思維能力,促進深度學習.

1 微專題復習課例主要片段

1.1 基礎訓練

學生課前完成下列訓練題,課堂上予以展示.

(1)若函數f(x)=xlnx,則不等式f(x)>e的解集為______.

(4)已知函數f(x)=xex,當x∈(-∞,0)時,f(x)的值域為______.

(5)若不等式kex>x恒成立,則實數k的取值范圍是______.

學生在展示的基礎上,梳理用導數研究函數的一般方法和以上訓練題中涉及的六個常見函數的圖象與性質,并相互補充,教師及時點評和總結.

1.2 活動探究

問題1若函數f(x)=ax-x2(a>1)有三個不同的零點,則實數a的取值范圍是______.

師:函數零點問題常用什么方法解決?動手試試.

生1:函數零點問題常常轉化成方程根的問題或者函數圖象交點的問題,很明顯,指數函數y=ax(a>1)與二次函數y=x2的圖象在第二象限有一個交點,在第一象限還應該有兩個交點,但是從圖象上看在(0,+∞)上這兩個函數都單調遞增,根本沒法求出a的取值范圍.

師:同學們先獨立思考幾分鐘,然后在小組內交流你的思路和方法.

師:怎么才能求出此時a的值?

通過適時追問加深學生的理解,促進學生深度學習.

師:這里應該有等號吧?

師:很好!一定要弄清楚這里的充分性與必要性.

設計意圖：基礎訓練中涉及到的六個函數是常見函數,雖然很多問題看似與它們無關,但實際上通過轉化之后也能化歸為這幾個函數的問題,只要借助這些函數的圖象和性質都能順利解決.通過問題1和3個變式,培養學生學會思考,能夠舉一反三,觸類旁通.解決的關鍵是如何尋求問題的切入點.

師:怎么解決函數零點問題?

師:與問題2相比有什么變化?方法是否相同?

師:與變式1相比,此題中函數f(x)的圖象因動區間而不確定,有什么好辦法解決這個問題嗎?

師:復合函數零點問題怎么入手?

生11:還是要數形結合,先畫出圖象.

師:投影你畫的圖象,接下來怎么辦?

設計意圖：問題2以及3個變式,讓學生注意到與六個基本函數形式、圖象和性質都相近的函數,尤其是漸近線,特別容易出錯,要重點強調.

1.3 鞏固訓練

(3)對于函數y=f(x),若存在區間[a,b],當x∈[a,b]時的值域為[ka,kb](k>0),則稱y=f(x)為k倍值函數.若f(x)=lnx+x是k倍值函數,則實數k的取值范圍是______.

2 教學感悟

2.1 突出主干,關注通法

新高考加強了對主干知識的考查,只有增強對主干知識的深層次認識,才能更好地把握數學的本質.復習教學還是要立足基礎,不設計偏題、怪題,更多地關注通性通法,不片面追求技巧.既要一題多解、一題多變,更要多題一解,要引導學生總結歸納出適用于一類問題的通性通法.

2.2 查漏補缺,精準指導

二輪復習既要進一步鞏固強化應知、應會的基礎知識,幫助學生確實解決存在的問題,還應提升學生的綜合能力.二輪復習的專題設置既要考慮到高頻考點,關注重點、熱點和難點,還要根據學情針對學生暴露出來的問題,進行精準指導,實現減負增效;既要設置小切口的專題,實施微專題教學,還要注意不同知識板塊之間的聯系與綜合,特別是創設不同的、科學的、真實的情境,培養學生數學理解能力和數學應用能力.Z