培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維 促進(jìn)深度學(xué)習(xí)
——“用導(dǎo)數(shù)研究一類函數(shù)問(wèn)題”教學(xué)與反思

王開(kāi)林

? 江蘇省淮州中學(xué)

在工作室活動(dòng)中,筆者開(kāi)設(shè)的“用導(dǎo)數(shù)研究一類函數(shù)問(wèn)題”一課,是針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中暴露出來(lái)的問(wèn)題設(shè)計(jì)的一節(jié)微專題復(fù)習(xí)課,從基礎(chǔ)入手,引領(lǐng)學(xué)生變式探究,幫助學(xué)生建構(gòu)用導(dǎo)數(shù)研究解決一類函數(shù)問(wèn)題的方法,培養(yǎng)思維能力,促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

1 微專題復(fù)習(xí)課例主要片段

1.1 基礎(chǔ)訓(xùn)練

學(xué)生課前完成下列訓(xùn)練題,課堂上予以展示.

(1)若函數(shù)f(x)=xlnx,則不等式f(x)>e的解集為_(kāi)_____.

(4)已知函數(shù)f(x)=xex,當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)的值域?yàn)開(kāi)_____.

(5)若不等式kex>x恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.

學(xué)生在展示的基礎(chǔ)上,梳理用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一般方法和以上訓(xùn)練題中涉及的六個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的圖象與性質(zhì),并相互補(bǔ)充,教師及時(shí)點(diǎn)評(píng)和總結(jié).

1.2 活動(dòng)探究

問(wèn)題1若函數(shù)f(x)=ax-x2(a>1)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

師:函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常用什么方法解決?動(dòng)手試試.

生1:函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化成方程根的問(wèn)題或者函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題,很明顯,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與二次函數(shù)y=x2的圖象在第二象限有一個(gè)交點(diǎn),在第一象限還應(yīng)該有兩個(gè)交點(diǎn),但是從圖象上看在(0,+∞)上這兩個(gè)函數(shù)都單調(diào)遞增,根本沒(méi)法求出a的取值范圍.

師:同學(xué)們先獨(dú)立思考幾分鐘,然后在小組內(nèi)交流你的思路和方法.

師:怎么才能求出此時(shí)a的值?

通過(guò)適時(shí)追問(wèn)加深學(xué)生的理解,促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

師:這里應(yīng)該有等號(hào)吧?

師:很好!一定要弄清楚這里的充分性與必要性.

設(shè)計(jì)意圖：基礎(chǔ)訓(xùn)練中涉及到的六個(gè)函數(shù)是常見(jiàn)函數(shù),雖然很多問(wèn)題看似與它們無(wú)關(guān),但實(shí)際上通過(guò)轉(zhuǎn)化之后也能化歸為這幾個(gè)函數(shù)的問(wèn)題,只要借助這些函數(shù)的圖象和性質(zhì)都能順利解決.通過(guò)問(wèn)題1和3個(gè)變式,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考,能夠舉一反三,觸類旁通.解決的關(guān)鍵是如何尋求問(wèn)題的切入點(diǎn).

師:怎么解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題?

師:與問(wèn)題2相比有什么變化?方法是否相同?

師:與變式1相比,此題中函數(shù)f(x)的圖象因動(dòng)區(qū)間而不確定,有什么好辦法解決這個(gè)問(wèn)題嗎?

師:復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題怎么入手?

生11:還是要數(shù)形結(jié)合,先畫(huà)出圖象.

師:投影你畫(huà)的圖象,接下來(lái)怎么辦?

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}2以及3個(gè)變式,讓學(xué)生注意到與六個(gè)基本函數(shù)形式、圖象和性質(zhì)都相近的函數(shù),尤其是漸近線,特別容易出錯(cuò),要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào).

1.3 鞏固訓(xùn)練

(3)對(duì)于函數(shù)y=f(x),若存在區(qū)間[a,b],當(dāng)x∈[a,b]時(shí)的值域?yàn)閇ka,kb](k>0),則稱y=f(x)為k倍值函數(shù).若f(x)=lnx+x是k倍值函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.

2 教學(xué)感悟

2.1 突出主干,關(guān)注通法

新高考加強(qiáng)了對(duì)主干知識(shí)的考查,只有增強(qiáng)對(duì)主干知識(shí)的深層次認(rèn)識(shí),才能更好地把握數(shù)學(xué)的本質(zhì).復(fù)習(xí)教學(xué)還是要立足基礎(chǔ),不設(shè)計(jì)偏題、怪題,更多地關(guān)注通性通法,不片面追求技巧.既要一題多解、一題多變,更要多題一解,要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納出適用于一類問(wèn)題的通性通法.

2.2 查漏補(bǔ)缺,精準(zhǔn)指導(dǎo)

二輪復(fù)習(xí)既要進(jìn)一步鞏固強(qiáng)化應(yīng)知、應(yīng)會(huì)的基礎(chǔ)知識(shí),幫助學(xué)生確實(shí)解決存在的問(wèn)題,還應(yīng)提升學(xué)生的綜合能力.二輪復(fù)習(xí)的專題設(shè)置既要考慮到高頻考點(diǎn),關(guān)注重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn),還要根據(jù)學(xué)情針對(duì)學(xué)生暴露出來(lái)的問(wèn)題,進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo),實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效;既要設(shè)置小切口的專題,實(shí)施微專題教學(xué),還要注意不同知識(shí)板塊之間的聯(lián)系與綜合,特別是創(chuàng)設(shè)不同的、科學(xué)的、真實(shí)的情境,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.Z