讓數學核心素養在高中數學課堂落地生根*
——以人教版高中“函數的奇偶性”教學為例

夏啟明 曹鑫月 陸萬順

? 寧夏固原第五中學

奇偶性作為函數的重要性質之一,對研究函數圖象和性質具有重要作用.但“函數的奇偶性”這一節,內容較為抽象難懂,為了使學生更好地理解和掌握,需要精心設計教學過程,同時利用多媒體等教學資源,引導學生積極探索、合作交流,在學習的過程中發現規律、獲得知識,學會學習并且熱愛學習.

1 教學分析

1.1 教材分析

“函數的奇偶性”是人教A版必修一中第三章第二節“函數的基本性質”的第2小節.函數的奇偶性是函數的整體性質.在本書中,和處理函數單調性的方法一樣,先給出幾個特殊函數的圖象,通過這些圖象去直觀地理解奇偶性,然后利用表格發現數量變化特征,再通過代數運算進行驗證,由此建立了奇(偶)函數的概念.

1.2 學情分析

學生在初中已經學過軸對稱和中心對稱的圖形,同時,上一課學習了函數的單調性,并從初次學習函數性質的經驗中積累了研究函數的基本方法.

1.3 核心素養目標

本節課通過圖象直觀地感知對稱性,從具體的圖象中抽象出數學概念,并用數學符號語言揭示規律和表征,是培養學生數學抽象素養的核心.

1.4 教學重難點

教學重點:了解奇函數與偶函數的定義和圖象特征,根據函數奇偶性的定義判斷函數的奇偶性.

教學難點:將“圖象關于y軸(原點)對稱”轉化為定量的符號語言.

2 教學過程

2.1 創設情境,提出問題

首先展示圖1所示的圖形.

圖1

教師:生活中并不缺少美,而是缺少尋找美的樂趣.

請大家觀察老師展示的這兩幅圖片,美麗的蝴蝶和我們傳統文化中的京劇變臉,它們有什么共同的特征呢?

生1:它們是軸對稱的.

教師:我們把生活中的美抽象成了數學中的對稱,那同學們想一下,數學中有哪些內容展現了這樣的對稱呢?

生2:函數圖象,如f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=x-1的圖象.

教師:類似,我們借助幾何畫板再畫一些函數的圖象,如f(x)=x-2,f(x)=x3,f(x)=x4的圖象.

設計意圖：通過情境創設,學生真正體會到數學來源于生活,發現于生活,與日常生活密切相聯,從而能夠很好地激發學生學習數學的興趣,體會數學美.

探究活動1:觀察這些函數的圖象,根據它們的特征給這些函數分類,并說明分類依據.

生3:函數f(x)=x2,f(x)=x-2,f(x)=x4的圖象都關于y軸對稱,函數f(x)=x,f(x)=x-1,f(x)=x3的圖象都關于原點成中心對稱圖形.

教師:請觀察這些函數的解析式,你能根據它們的特征給這些函數取一個特殊的名字嗎?

生4:關于y軸對稱的函數叫做偶函數,因為它們的指數都是偶數;關于原點對稱的函數叫做奇函數,因為它們的指數都是奇數.

教師:瑞士數學家歐拉在1727年首次提出奇函數和偶函數的定義時,是根據指數的奇偶性來定義的,同學們課下可以查閱有關資料加深了解.

教師:今天我們共同來探究函數的奇偶性.

設計意圖：通過設置問題,引發學生的猜想,數學史的引入讓學生更加了解函數奇偶性定義的發展過程,將課堂還給學生,極大地增強學生學習數學的興趣和信心,充分體現數學核心素養的要求.

2.2 探究新知,形成概念

教師:剛才我們是通過函數圖象的對稱性來對函數進行分類的,但是當我們遇到不熟悉的函數時,不能快速畫出它的圖象,也就無法判斷函數的對稱性,那我們又應該從哪個角度來判斷呢?

生5:既然從圖象角度無法判斷,那可不可以類比上節課學習函數的單調性的方法,從代數的角度來研究函數的奇偶性呢?

設計意圖：在學生學習知識的基礎上,結合最近發展區,提出一些學生能夠主動并且可以去解決的問題,激發學生的好奇心,讓學生真正學會學習.通過類比、數形結合、由特殊到一般的方法,學生在獲得知識的同時也獲得了學習的方法.

探究活動2:如何用數量關系來刻畫函數的對稱性呢?

教師:以f(x)=x2為例,通過幾何畫板演示,同學們有怎樣的發現呢?

生6:當自變量互為相反數時,函數值相等.(文字語言)

教師:觀察表1中相應的函數值,大家能證明生6的結論嗎?

表1

生7:對于函數f(x)=x2,有f(-3)=f(3)=9;f(-2)=f(2)=4;f(-1)=f(1)=1.

教師:這些都是比較特殊的函數值,不能用局部代表整體,那如何用更加嚴密的語言來證明呢?

學生共同回答:要證明對于函數f(x)定義域內的任意x,都有f(-x)=f(x).

教師:若對函數f(x)定義域內的任意x,都有f(-x)=f(x),那么其圖象關于y軸對稱嗎?

生8:函數圖象上的任意一點關于y軸對稱的點也在這個函數的圖象上.

設計意圖：培養學生主動探究、動手操作,以及能夠合理運用文字語言、符號語言表述問題特征的能力,促使學生的思維水平、問題解決的能力都能得到提升和發展.

引出偶函數的定義:一般地,設函數y=f(x)的定義域為A,如果對于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x),那么稱函數y=f(x)是偶函數.

2.3 合作探究,類比推理

學生完成表2.

表2

可以發現,當自變量x取一對相反數時,相應的函數值也是一對相反數.

學生合作探究得出,對于函數f(x)=x,有

f(-3)=-3=-f(x);f(-2)=-2=-f(2);f(-1)=-1=-f(1).

那么類比偶函數的定義,我們如何定義具有上述特征的函數呢?

生9:一般地,設函數y=f(x)的定義域為A,如果對于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x),那么稱函數y=f(x)是奇函數.

教師補充:奇函數的圖象關于原點對稱.

設計意圖：通過類比上一節課學習函數單調性的方法來研究函數的奇偶性,從整體上研究函數的性質,函數值隨自變量的變化而變化的規律特征,為以后的學習奠定了基礎.

2.4 講練結合,鞏固新知

例題利用定義,判斷下列函數的奇偶性:

(1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5;

師生活動:教師引導學生找出判斷的依據——定義,根據定義求出函數的定義域I后,再判斷兩個條件“①任意x∈I,-x是否屬于I;②f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”是否成立,只有①②同時成立,才能判斷函數的奇偶性.

預設的答案:

解：(1)函數f(x)=x4的定義域為R.

因為對任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以函數f(x)=x4為偶函數.

(2)函數f(x)=x5定義域為R.

因為對任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函數f(x)=x5為奇函數.

追問1:你能總結利用定義法判斷函數奇偶性的步驟嗎?

學生討論探究并回答:第一步,求函數的定義域I.第二步,判斷定義域是否關于原點對稱.如果定義域不關于原點對稱,則函數不具有奇偶性,結束判斷;若定義域關于原點對稱,則進行第三步.第三步,對任意x∈I,計算f(-x),若f(-x)=f(x),則為偶函數;若f(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數;若f(-x)與f(x)既不相等也不相反,則f(x)既不是奇函數也不是偶函數.

追問2:如果可以作出函數的圖象,是否還需要利用定義判斷函數的奇偶性?你能得到其他的判斷方法嗎?

學生:可以直接根據函數的圖象判斷函數的奇偶性.如果函數圖象關于y軸對稱那么函數為偶函數;如果函數圖象關于原點對稱,那么函數為奇函數.

設計意圖：例1和追問1能夠幫助學生理解并掌握應用定義判定函數奇偶性的過程,進一步加深對概念的認識,在證明過程中提升學生的邏輯推理素養和數學運算素養.追問2能夠引導學生體會函數的圖象.對于研究函數性質的作用,提升學生直觀想象素養.

2.5 歸納小結,布置作業

教師:回顧本節課的內容,請回答以下幾個問題.

(1)什么是奇(偶)函數?用定義判斷函數奇偶性的步驟是什么?

(2)比較奇函數和偶函數的定義,說說二者的異同點.

師生活動:學生順利回答了第(1)個問題并指出了奇函數和偶函數的相同點與不同點.

(2)相同點:①定義域都關于原點對稱;②都是函數的整體性質.

不同點:①偶函數的圖象關于y軸對稱,而奇函數的圖象關于原點對稱;②當自變量取一對相反數時,偶函數對應的函數值相同,而奇函數對應的函數值相反.

設計意圖：通過梳理本節課的內容,學生更能夠系統地理解和掌握函數奇偶性的概念和判定,提升數學抽象、邏輯推理與數學運算核心素養.

本文立足于高中數學課堂實踐基礎之上,選取了人教版高中數學必修一中的重點之一——“函數的奇偶性”,進行具體的教學設計并實施教學實踐,為數學核心素養進一步落實到數學課堂中打下了良好的基礎.最后,學生可以通過建立“研究和思考”系統,利用所學到的知識來解決現實生活中的問題,切實將數學核心素養滲透到數學教學中.Z