2023年新疆高三第一次適應(yīng)性檢測一道幾何試題的探究

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? 新疆昌吉州第一中學(xué)

1 題目

圖1

(1)求證:EF⊥BD;

(2)若點(diǎn)G為△ABD的重心(三條中線的交點(diǎn)),EG⊥平面ABD,求直線BD與平面ABE所成角的余弦值.

2 解法分析及詳解

2.1 第(1)問思路及解析

第(1)問思路及解析如下.

思路1：利用直線與平面垂直的判定定理,證明異面直線垂直問題.

思路2：利用向量坐標(biāo)運(yùn)算證明異面直線垂直.

圖2

2.2 第(2)問思路及解析

建立空間直角坐標(biāo)系,確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),可用三種方法計(jì)算平面ABE的法向量.依據(jù)該思路,繪制如圖3所示的思維導(dǎo)圖.

圖3

下面計(jì)算平面ABE的法向量,有如下三種方法.

3 相關(guān)鏈接

鏈接1(2020年天一大聯(lián)考高三皖豫聯(lián)盟體第三次考試·理)如圖4,在正方形ABCP中,AB=4,D是CP的中點(diǎn).把△ADP沿AD折疊,使△PAB為等邊三角形,得到如圖5所示的幾何體.

圖4

圖5

(Ⅰ)證明:AB⊥PD;

(Ⅱ)求二面角A-PB-C的余弦值.

圖6

圖7

圖8

(1)求證:BD⊥AC;

(2)求二面角A-BD-C的余弦值.

(1)證明：略.

圖9

同理,平面CBD的一個(gè)法向量為n=(-3,1,2).

向量坐標(biāo)法,程序化強(qiáng),易于操作.解題成功的關(guān)鍵,是平面法向量的計(jì)算:方程組法是通法,向量叉積屬于高等運(yùn)算,平面方程法是思維的拓展.Z