一道幾何問題“爭議證法”的診評與教學思考

李井凡

［摘? 要］ 學生在初學全等三角形之后，角平分線的性質定理可以簡化全等判定的推理語句，這使得有些學生在問題條件中看到角平分線就過分依賴該定理的證明，反而沒能從目標出發，逆向分析得出更加簡明的證明思路. 教學時教師要重視向學生傳遞善于比較和善于優化的解題追求.

［關鍵詞］ “爭議證法”；診評；思維回路；善于優化

在學習了全等三角形的幾種判定方法之后，角平分線的性質定理也隨之出現，學生才適應了全等三角形的推理語句，一下子又可以運用角平分線的性質定理簡化證明過程，這使得學生往往會過分依賴這種“簡化推理”，讓有些本不需要運用該定理的問題出現了思維回路，反而產生了“彎彎繞”的證明語句. 本文從一道幾何問題的“爭議證法”說起，并給出筆者的診評意見與教學思考，以供討論.

從一道幾何問題的“爭議證法”說起

問題：如圖1，已知BM平分∠ABC，點P在BM上，PD⊥BA，PE⊥BC，垂足分別為D，E. 求證：BD=BE.

學生解法：

因為BP平分∠ABC，PD⊥BA，PE⊥BC，

所以PD=PE. （角平分線上的點到角的兩邊距離相等）

在Rt△BPD和Rt△BPE中，BP=BP，PD=PE，所以Rt△BPD≌Rt△BPE（HL）. 所以BD=BE.

爭議觀點：一部分教師認為學生的以上解法是錯誤的，屬于“循環論證”.他們的說法是：學生運用角平分線的性質定理“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”證明“PD=PE”，然后再運用“HL”證明兩個三角形全等，而“角平分線的性質定理”本身就是由兩個三角形全等（△BPD≌△BPE）推證而來. 另一部分教師認為，學生的證明“步步有據”，應該是正確的.

診評意見：我們認為，從邏輯性上看學生的證法是沒有錯誤的，證明的每一步都“步步有據”. 至于有教師認為屬于“循環論證”的評價是站不住的. 所謂“循環論證”，是指用來證明論題的論據本身的真實性要依靠論題來證明的邏輯錯誤. 如證明“輕音樂能催眠”，所用的論據是“輕音樂有催眠的力量”，而“輕音樂有催眠的力量”，又要借助“輕音樂能催眠”來證明. 這就是犯了循環論證的自證. 回到學生的證明來看，雖然最后是證明兩個三角形全等，但使用的是“HL”來判定兩個三角形全等，而角平分線的性質定理是運用“AAS”來推理的，兩種判定三角形全等的方法并不夠成“循環論證”. 我們還可將“學生證法”再換一種“等價”的證法如下：

證明：因為BP平分∠ABC，所以∠DBP=∠EBP.? 因為PD⊥BA，PE⊥BC，所以∠PDB=∠PEB.? 在△BPD和△BPE中，∠PDB=∠PEB，∠DBP=∠EBP，PB=PB，所以△BPD≌△BPE（AAS）. 所以PD=PE. 在Rt△BPD和Rt△BPE中，BP=BP，PD=PE，所以Rt△BPD≌Rt△BPE（HL）. 所以BD=BE.

這樣來看，學生的證法就是一種典型的“思維回路”，并不是錯誤證法. 當然，沒有錯誤的解法，并不一定是“好的解法”，學生的證法是典型的“彎彎繞”的證明方法，需要我們在教學時引導他們進行解法上的改進，以下給出我們的教學建議.

講評設計：（投影展示“學生證法”）

教師提問：同學們看下這種證法能否更簡捷一些？

教學預設：學生應該想到直接運用“AAS”證兩個三角形全等，即可證明成功. 或者運用“等角的余角相等”證出“∠BPD=∠BPE”，再運用角平分線的性質定理，證明如下：

因為∠BPD=∠BPE，PD⊥BA，PE⊥BC，所以BD=BE.

教師點評：認真審題，尋找、接通證明思路后，要再思考一下思路是否簡明，是否直接，同學們要學會減少“彎彎繞”的多余步驟.

對一些幾何定理“教學順序”的對比分析

查閱不同版本（人教版、蘇科版、北師大版、華師大版等）的初中數學教材會發現，角平分線的性質定理（角平分線上的點到角的兩邊距離相等）分別出現在全等三角形的判定之后或者軸對稱圖形一章（與線段垂直平分線的性質定理一起出現）. 角平分線的性質定理一般都采用的是“AAS”判定兩個三角形全等，進而明確為定理及符號語言，以方便后續簡化與之相關的推理證明.

由于上文中“學生證法”出現了直角三角形全等的判定定理（HL）的運用，我們也查閱了不同版本教材中“HL定理”出現的順序，多數教材都是緊隨“SSS，SAS，ASA，AAS”的判定方法之后就直接以畫圖驗證的方法給出“HL定理”，但又不給出推理證明——不少教材只能含糊地加上一句“這是一個定理，以后會給出它的證明（比如，人教版教材在隔了一個學期之后，待學習到勾股定理以后再以例題的形式對‘HL定理進行了證明）”. 筆者查閱后發現我國臺灣地區的初中幾何教材則將“HL定理”安排在等腰三角形的學習之后（即學生掌握“等邊對等角”“等角對等邊”的定理），其證明如下：

“HL定理”及證明：如圖2，已知在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.

證明：把△ABC與△A′B′C′拼在一起，使相等的直角邊AC與A′C′重合，并使點B，B′在AC邊（A′C′）的兩旁.

因為∠ACB=∠A′C′B′=90°，所以∠B′C′B=2∠ACB=180°. 所以點B′，C′，B在同一直線上.

在△A′B′B中，因為A′B′=AB=A′B，所以∠B=∠B′（等邊對等角）.

在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′，∠B=∠B′，AB=A′B′，

所以△ABC≌△A′B′C′（AAS）.

簡評：可以發現，如果“部分教師”只看到現行的人教版教材上的幾何內容呈現順序，對于上述“HL定理”的證明方法，是不是也會認為是一種“循環論證”？這也提醒大家，如果只是關注手頭這一本教材，并把它當成“唯一依據”，“敬如神明”，顯然不是一種科學的態度.教師應該站在幾何知識邏輯結構的高度來認識、理解教學內容所在邏輯鏈條的位置，從而讓自己對一些教學疑惑、爭議問題看得更加通透、明晰.

解題教學要注重“比較和優化”

第一，對學生解法不能止于判斷“對與錯”

在當前“雙減”背景下，很多學校對教師批改作業提出了“精批細改”的要求. 我們認為，“精批細改”有一個內涵就是不能止步于判斷學生解法的“對與錯”. 具體來說，以上文提及的“學生證法”為例，這種證法雖然不能被認為是錯誤解法，但教師應該對這種證法寫出必要的點評（證明過于煩瑣，“彎彎繞”），并要求學生進行優化和訂正. 同樣，在課堂教學中，對學生的一些解法或思路，教師在傾聽理解之后，也可組織學生進行分析和比較，讓學生知道數學解題不僅要關注結果，還要注意過程的簡化、表達的優化［1］.

第二，解題教學中要重視從糾錯走向究錯

數學解題教學離不開糾錯，善于糾錯并幫助學生答疑解惑是每個數學教師需要修煉的教學基本功之一. 課堂教學中，“捕捉”學生的錯誤資源，并將這種“生成性資源”化用在教學進程中，帶領學生從糾錯走向究錯，正是小學著名特級教師華應龍老師所主張的“化錯教學”［2］. 我們也常常看到一些經驗豐富的教師在解題教學中總會設置一兩處糾錯的教學環節，通過這些化錯教學的場景運用，教師會先稚化自己的思維，裝作看不懂、看不出學生的錯誤，激發學生參與糾錯、優化的學習興趣，往往能取得很好的教學效果.

第三，思路貫通后要讓推理表達更加簡明

多年之前，鄭毓信教授曾在《人民教育》發過一組關于數學教師“三項基本功”（善于舉例、善于提問、善于優化）［3］的文章，其中關于“善于優化”的相關論述中，鄭教授特別指出教師要向學生傳遞“善于比較和優化”的教學思想. 比如，本文開篇關注的角平分線的基本問題中，當“學生證法”出現后，教師要再挑選一些更加簡明的方法進行對比分析，讓學生在對比中發現“更初等”（相較于角平分線的性質定理來看，直接運用AAS證明全等的思路是“更初等”的）的解法、更簡明的解法.

寫在后面

本文從一些教師面對學生的“爭議證法”說起，通過查閱不同版本教材中一些幾何定理出現的“序”，思考了與這些定理相關的解題教學過程中的思路和推理語句的優化. 有些想法可能比較個性化，還缺少廣泛討論，期待更多同行的深入研討，使大家對相關問題理解得更加透徹.

參考文獻：

［1］潘榮菲. 展望新加坡2013年中學數學課程［J］. 數學教學，2012（08）：1-3.

［2］華應龍. “化錯教育”的實踐根基與文化底蘊［J］. 江蘇教育，2020（78）：15-18.

［3］鄭毓信. “數學教師的基本功”之三 善于優化［J］. 人民教育，2008（20）：43-44.