動靜相融通 圖形顯本質

戴惠

［摘? 要］ 以大單元整體化教學對“平行四邊形復習課”進行設計，從圖形變換的角度整合平行四邊形與圖形變換知識，加深學生對平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念以及它們之間的關系的理解.學生在折A4紙的實踐操作中進行直觀想象、合情推理、演繹推理，形成平行四邊形的整體認識，建構自己的大單元圖譜，逐漸形成數學學科核心素養.

［關鍵詞］ 大單元；平行四邊形；圖形變換；核心素養

在平行四邊形復習課中，很多一線教師都會有知識點多且散的教學困惑. 筆者嘗試從圖形變換的視角，將圖形的平移、旋轉、翻折與平行四邊形進行結構化整合，引導學生了解平行四邊形相關知識的產生與來源、結構與關聯，幫助學生建構平行四邊形的知識結構大單元圖譜，培養學生用動態的眼光看待幾何問題，形成科學的思維模式. 本節課收到了較好的教學效果，現將教學與思考予以分享，供研討.

教學流程概述

教學環節（一）：以動成圖，重識變換

問題1如圖1，線段AB=6，將線段AB平移4個單位得到線段A′B′，連接AA′，BB′，

（1）求證：四邊形ABB′A′是平行四邊形；

（2）求四邊形ABB′A′的周長；

（3）若∠A=60°，求四邊形ABB′A′的面積.

教學預設學生易得AB=A′B′，AB∥A′B′，根據一組對邊平行且相等證得平行四邊形，不會繼續思考有無其他證明方法. 學生對平移的基本特征中“對應點的連線平行且相等”的理解運用不到位，教師用幾何畫板演示線段AB平移的過程，啟發學生得到AA′=BB′，AA′∥BB′，進而復習兩組對邊分別平行、兩組對邊分別相等都是證明平行四邊形的方法. 學生能夠輕松答對問題（2）（3），復習平行四邊形周長和面積公式的同時，活躍本節課的氣氛.

問題2如圖3，將△OAB繞點O旋轉得到△OA′B′，連接AB′，BA′，當旋轉角為180°時，

（1）求證：四邊形ABA′B′是平行四邊形；

（2）△OAB滿足什么條件時，平行四邊形是矩形、菱形、正方形？

教學預設根據三角形旋轉可得△OAB≌△OA′B′，從而得到OA=OA′，OB=OB′，但這里不能說明四邊形ABA′B′是平行四邊形.? 在學生出錯后，教師用幾何畫板演示△OAB繞點O旋轉的過程，強調條件中旋轉角為180°時，保證A，O，A′三點共線，B，O，B′三點共線，才能證得平行四邊形，復習平行四邊形的中心對稱性和第四種判定方法：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形. 在證明問題2（1）的基礎上，學生能很快解決問題2（2），復習矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形.

設計意圖區別于先知識回顧，再習題練評的傳統的復習課教學模式，以動成圖，助力學生重新認識圖形邊、角之間的關系. 師生在一起解決問題的過程中，喚醒學生記憶，激活學生思維，重構學生知識結構. 同時借助幾何畫板的演示讓學生感悟圖形平移、旋轉變化的基本特征，從動態的角度再次認識平行四邊形的產生與來源，掌握矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形. 在加深學生對矩形、菱形、正方形性質和判定的理解的同時，讓學生體會從一般到特殊的研究問題的方法，提升學生分析解決問題的能力.

教學環節（二）：以折為媒，探求本質

活動1拿出手邊的A4紙，將A4紙抽象成矩形ABCD，請你折出對稱中心O.

教學預設學生容易折出圖5、圖6的兩種折法，在圖6中，學生有點O就是對稱中心的直觀猜想，但在說理方面解釋不清. 圖7、圖8的折法很少學生能夠折出，學生從整體對稱性的角度認識圖形的意識不強.

設計意圖數學源于生活又服務于生活， A4紙是學生日常生活中熟悉的材料，折紙活動是學生喜歡的游戲，將A4紙抽象成矩形，轉變為教學資源. 學生人人參與折紙，在手腦協同的過程中，復習鞏固矩形、菱形的中心對稱性和軸對稱性，激發了學生學習數學的熱情.

活動2在活動1的基礎上，請你折出以點O為對稱中心的平行四邊形.

教學預設不少學生能夠很快反應出圖6、圖7、圖8折出來的四邊形AECF就是平行四邊形，教學時安排小組討論，得到圖9、圖10、圖11的折法. 請小組代表在全班展示，并說出證明方法，發現當折痕過對稱中心時，根據對角線互相平分證得四邊形是平行四邊形.

活動3在活動2的基礎上，如何折出菱形？

教學預設學生根據活動1、2的經驗，自然聯想到只要保證過對稱中心O的兩條折痕互相垂直，就可以得到菱形.

設計意圖根據矩形的對稱性設置問題，將折菱形的問題細化，從一般的平行四邊形到特殊的菱形，讓學生經歷由一般到特殊的分析問題的方法. 同時在實際操作中，學生經歷了觀察猜想、推理驗證的活動過程，在自主、合作、交流中不斷優化方法，提升思維，形成平行四邊形的整體認識.

教學環節（三）：以題為介，加深理解

活動4A4紙的長和寬分別為210 mm×297 mm，我們近似取20 cm×30 cm，如圖12，在折出的菱形AECF中，你可以提出哪些問題，如何解決？

教學預設學生提出求線段AC，BE，AE，EF的長度，求菱形AECF的面積、周長等問題. 關注學生的解題方法，鼓勵一題多解，引導學生總結幾何圖形中求線段長的常用方法：勾股定理列方程、等積法、三角函數、相似等.

設計意圖對于開放性的試題，每位學生都能發現并提出問題，在一個個問題得到解決后，學生發現圖12中所有的量都可求. 在此過程中，學生從做題者變成出題者，增加了學習數學的信心.

活動5如圖13，老師將A4紙沿AC對折，點E，F為對應點，連接AE，AF，四邊形AECF是菱形嗎？連接B′D，你又可以提出哪些新問題呢？

教學預設由軸對稱性質，得到對應點E，F的連線被折痕AC垂直平分，只需證明四邊形AECF是平行四邊形就可證得菱形. 或者根據對應線段、對應角相等，易證四條邊相等，從而證得菱形. 學生很容易提出求線段B′D的問題，但在解決上遇到困難. 根據上一問總結的求線段長的方法，發現B′D∥AC，根據△ACF∽△B′DF，求得B′D.

設計意圖圖12、圖13的折法不同，但得到的菱形是相同的，再次鞏固菱形的判定方法. 幾何圖形添加一條線，圖形變復雜，研究的量就會多很多，此時從圖形整體的角度，從中心對稱性和軸對稱性的角度思考問題是一條很好的思路，引導學生從更高層面重構知識網絡，提升邏輯推理能力.

教學環節（四）：歸納總結，提升能力

教學預設學生根據折對稱中心、折平行四邊形、折菱形、求線段長等經歷，總結知識點；教師引導學生從動態幾何問題解題策略、圖形變換等角度總結本節課所學內容.

設計意圖學生素養的提升來自課后的總結反思. 學生在動手實踐中鞏固知識，提升能力.

教學思考

1. “動靜融通”彰顯圖形本質

幾何學習需要突出圖形的形成過程，關注知識應用與發展的完整過程. 本節課之前，學生對平行四邊形以及特殊的平行四邊形的認識比較單一，能夠記憶它們的性質與判定，但不會靈活運用. 本節課通過線段的平移、三角形繞頂點旋轉、矩形折紙，在整合平行四邊形與圖形變換知識的同時，師生共同復習平行四邊形這一章節的相關知識點. 教師以平行四邊形為依托，在圖形變換中以題帶點，帶領學生再次認識矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形. 在解決問題的過程中學生進行多元化的問題拓展，復習三大變換的性質和平行四邊形的相關知識點，重構知識體系.

2. “大單元結構教學”設計幾何復習課

溫故而知新. 作為復習課，在“溫故”的基礎上如何引導學生“知新”，如何將復習課上得讓學生感興趣，并且讓每一位學生都能有所收獲，是備課時筆者遇到的幾個難題. 《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下稱《標準》）指出：在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系［1］. 根據大單元整體教學理念，將初中階段所學內容進行合理整合，可以有效提高幾何復習課的教學效率. 此時需要教師回歸課本，研究《標準》，并結合本校學生情況，確定教學目標. 在本節課中，筆者以圖形變換為主線，綜合考慮不同層次的學生學情，設置出四個教學環節. 每個教學環節均以基礎性問題為起點，讓學生在動手實踐中經歷發現、提出、分析與解決問題的過程，梳理了知識、訓練了技能，并在最后的綜合探究中加深了對知識的理解. 整節課筆者引導學生從“知識—方法—思想”的角度重新審視平面幾何問題，對已學知識進行重組和整合，優化原有的知識結構，培養學生的深度思維，提升學生的學習能力.

3. “做數學”助力核心素養的發展

史寧中說：“做數學”的核心在于“做”，實踐“做中看”“做中思”“做中說”“做中悟”的過程，實現“促進認知，讓學生會學數學；激發情感，讓學生愿學數學；啟迪智慧，讓學生慧學數學；塑造品格，讓學生品學數學”. 教師需要充分發掘日常生活中的教學資源，帶領學生“做數學”. 如本課中的將A4紙抽象成矩形，學生在折對稱中心、折平行四邊形、折菱形的過程中思考背后的原理，并用數學語言向全班同學表達自己的觀點. 在折紙活動中，人人都可以折，人人都可以提出一些問題，獲得數學學習的基本活動經驗，激發學習數學的熱情.? 教學模式從教師的教轉變成學生的學，教師對學生提出的稍難的題進行啟發引導，在解決問題的過程中學生掌握基礎知識和基本技能，培養了空間觀念、幾何直觀、邏輯推理等能力，發展了數學核心素養.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.