巧用變式教學(xué)，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)

曹煒萍

［摘? 要］ 變式教學(xué)具有幫助學(xué)生梳理數(shù)學(xué)知識(shí)，揭示知識(shí)本質(zhì)的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)拓展知識(shí)的寬度與深度具有直接影響. 文章從變式教學(xué)的本質(zhì)出發(fā)，以一道二次函數(shù)題的變式教學(xué)為例，具體從“立足方法，促進(jìn)思維發(fā)展”“關(guān)注通法，形成變通能力”“注重拓展，發(fā)展核心素養(yǎng)”三方面談?wù)勅绾卧谡n堂中巧用變式教學(xué)，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué).

［關(guān)鍵詞］ 變式；教學(xué)；本質(zhì)；思維

變式教學(xué)在我國(guó)應(yīng)用歷史悠久，屬于傳統(tǒng)教學(xué)方式中的一種. 所謂變式教學(xué)，是指在保持知識(shí)本質(zhì)不變的前提下，通過問題表達(dá)方式、條件、結(jié)論以及圖形形狀、大小、位置等的變化，讓學(xué)生在“變”中求不變，在求異與思變中靈活思維、建構(gòu)新知，形成良好的創(chuàng)造力. 教師在課堂上進(jìn)行變式教學(xué)，常涉及三種情況：一題多變、一法多用和一題多解.

變式教學(xué)的本質(zhì)剖析

變式教學(xué)并非現(xiàn)代教育改革的產(chǎn)物，它在漫長(zhǎng)的歷史長(zhǎng)河中沉淀并流傳至今，且愈發(fā)完善，說明這種教學(xué)方法具有獨(dú)特的優(yōu)越性，對(duì)新課改浪潮下的數(shù)學(xué)教學(xué)具有指導(dǎo)意義. 顧明遠(yuǎn)先生認(rèn)為：變式教學(xué)是指用不同形式的事例或材料闡明事物本質(zhì)屬性的過程，它可以幫助學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)知識(shí)，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，因此變式教學(xué)屬于一種本質(zhì)主義教學(xué).

變式教學(xué)在基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)上有著其他教學(xué)方式無可比擬的優(yōu)勢(shì)與價(jià)值，這種教學(xué)方式一般在事前就設(shè)定好了知識(shí)本質(zhì)，所有教學(xué)都緊緊圍繞這個(gè)“本質(zhì)”而進(jìn)行，或者說圍繞“本質(zhì)”進(jìn)行“削皮”活動(dòng). 本質(zhì)呈現(xiàn)出不同的形態(tài)讓學(xué)生識(shí)別，而學(xué)生的個(gè)體差異在此時(shí)并不是最重要的，了解數(shù)學(xué)事物的本質(zhì)才是教學(xué)目標(biāo)所在，從這一點(diǎn)上也能看出變式教學(xué)本質(zhì)主義的觀點(diǎn).

本質(zhì)主義觀若使用得當(dāng)，則能成為課堂教學(xué)的助推器，成功激活學(xué)生的思維，幫助學(xué)生獲得事物的本質(zhì)；若使用不當(dāng)，則會(huì)從一定程度上限制學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的形成與發(fā)展，對(duì)教學(xué)產(chǎn)生消極影響. 因此，大家進(jìn)行變式教學(xué)時(shí)要結(jié)合學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，選擇合適的方式，切不可為了變式教學(xué)而變式教學(xué).

變式教學(xué)的實(shí)施策略

1. 立足方法，促進(jìn)思維發(fā)展

波利亞認(rèn)為：善于解題才算掌握了數(shù)學(xué)，加強(qiáng)解題訓(xùn)練是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵任務(wù). 那么，如何在教學(xué)中開展解題訓(xùn)練呢？實(shí)踐告訴我們，立足解題方法的訓(xùn)練，能充分暴露學(xué)生思維的過程，促進(jìn)學(xué)生解題能力的發(fā)展. 同時(shí)，設(shè)計(jì)具有一定探究性、開放性的變式題，往往能給學(xué)生提供較好的思維平臺(tái)，尤其在問題鏈的引領(lǐng)下，學(xué)生的思維可朝縱深發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生觀察力、想象力以及轉(zhuǎn)化力的提升.

例1如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（1，-2），B（3，-1），拋物線y=-x2的圖象為l.

問題1：平移拋物線l使其經(jīng)過點(diǎn)A卻不經(jīng)過點(diǎn)B. ①滿足這個(gè)條件的拋物線總共有多少條？②如果只向下平移，寫出此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線的解析式.

問題2：如圖2所示，平移拋物線l使其經(jīng)過點(diǎn)A也經(jīng)過點(diǎn)B，此時(shí)我們得到拋物線l. ①拋物線l的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線l的解析式是什么？②△ABC的面積是多少？

問題引導(dǎo)? ①拋物線在平移前與平移后，其特征有什么變化？②與拋物線有關(guān)的三角形面積一般是怎么求的？③我們常用哪些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)去刻畫線段的長(zhǎng)度？

解析問題1? 第①問，有無數(shù)條拋物線；第②問，設(shè)此時(shí)拋物線的解析式為y=-x2+c，把點(diǎn)A（1，-2）代入其中可得拋物線的解析式為y= -x2-1.

設(shè)計(jì)意圖本題為一道綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，意在引導(dǎo)學(xué)生從特殊四邊形的幾何模型著手進(jìn)行分析. 教師以幾個(gè)問題作為學(xué)生思維的鋪墊，采用低起點(diǎn)、小步子的方法促進(jìn)學(xué)生的思維水平提升，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用常規(guī)的方程思想與數(shù)形結(jié)合思想解題. 這種解題教學(xué)方法的設(shè)計(jì)，首先為了鞏固學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，其次為了向?qū)W生滲透研究數(shù)學(xué)問題的模式與思想方法.

2. 關(guān)注通法，形成變通能力

章建躍教授提出：數(shù)學(xué)教學(xué)要注重通性通法的教學(xué)，其中，通性泛指數(shù)學(xué)概念所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)，通法為數(shù)學(xué)思想方法［1］. 通俗點(diǎn)講，通性就是師生所熟知的且可以大范圍使用的明確的結(jié)論；通法是在知識(shí)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的前提下，根據(jù)通性而獲得的，可用來解決一類問題的普通方法. 因此，通性通法不可分割，能夠直接幫助學(xué)生解題.

掌握通性通法對(duì)掌握“四基”與“四能”具有促進(jìn)作用，對(duì)落實(shí)“三會(huì)”“立德樹人”等具有直接影響. 但值得注意的是，通性通法的應(yīng)用要避免思維定式的形成，否則得不償失. 實(shí)踐告訴我們，抓住問題的核心，并探尋出一定的解題思路與方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)（深刻性、靈活性、敏捷性）具有深遠(yuǎn)的影響.

沿用例1的已知條件：

問題3：在y軸上是否存一點(diǎn)H，使得S=S？若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

問題引導(dǎo)①關(guān)于三角形等面積變換，可以應(yīng)用的幾何模型有哪些？②一般情況下，該怎樣根據(jù)幾何圖形的特征求解特殊點(diǎn)的坐標(biāo)？③已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)一般怎么求？存在什么規(guī)律？④可以從什么角度改變思考方向，將陌生復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的問題求解？

設(shè)計(jì)意圖? 以問題探究的方式引導(dǎo)學(xué)生緊扣圖形中的關(guān)鍵信息進(jìn)行分析，通過數(shù)形結(jié)合思想探尋等面積變換所涉及的基本模式，如此可以巧妙地將原問題轉(zhuǎn)化成直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，從而獲得利用面積確定點(diǎn)位置的通用方法. 對(duì)通用方法的掌握，能為后續(xù)解決類似問題奠定方法基礎(chǔ).

3. 注重拓展，發(fā)展核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出：要增強(qiáng)數(shù)學(xué)綜合性的學(xué)習(xí)，注重學(xué)科各部分知識(shí)的整合，并倡導(dǎo)推進(jìn)跨學(xué)科知識(shí)的拓展，構(gòu)建綜合性的課程［2］. 學(xué)科整合理念與數(shù)學(xué)例題教學(xué)拓展有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，教師應(yīng)以例題教學(xué)為基礎(chǔ)，從多渠道、多領(lǐng)域融合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生通過綜合性問題加強(qiáng)實(shí)踐訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

變式教學(xué)中的拓展延伸，意在解決更多更復(fù)雜的變式問題，引導(dǎo)學(xué)生在變式問題的解決過程中應(yīng)用類比推理等方法，及時(shí)反思解題策略，拓寬解題視野，厘清解題思路，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力.

問題1：在該拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得S=S. 若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

問題2：在該拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得A，B，C，M四點(diǎn)組成一個(gè)梯形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

問題3：在拋物線位于線段AB上方的部分是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP的面積最大. 若點(diǎn)P存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

問題4：在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)T，使得△ABT是直角三角形并且斜邊是AB. 若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

問題引導(dǎo)①在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，該如何找到“變”中的“不變”作為解題的突破口呢？②在解題時(shí)，該如何以數(shù)助形，將圖形問題轉(zhuǎn)化成數(shù)量問題進(jìn)行分析呢？③怎樣將幾何問題轉(zhuǎn)化成適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的求解與應(yīng)用？④在解題過程中，該如何分解幾何圖形，并從幾何圖形的特征著手，用函數(shù)思想探尋運(yùn)動(dòng)變化中的“不變”？⑤該怎樣在觀察、猜想與驗(yàn)證的過程中，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成自己獨(dú)有的理解，并內(nèi)化成方法，提升解題能力？

設(shè)計(jì)意圖將直觀的幾何問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生所熟悉的代數(shù)模型，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)具有促進(jìn)作用.在此過程中，學(xué)生不僅獲得了良好的解題能力，還積累了一定的解題經(jīng)驗(yàn)，為核心素養(yǎng)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)意圖將梯形問題轉(zhuǎn)化成拋物線與直線的交點(diǎn)問題，讓學(xué)生在類比探究中認(rèn)識(shí)基本圖形的特征，這是解決此類問題的關(guān)鍵所在.

解析問題3如圖8所示，作PK∥y軸，交拋物線于點(diǎn)P，交線段AB于點(diǎn)

設(shè)計(jì)意圖將面積最值問題轉(zhuǎn)化成線段最值問題，通過對(duì)二次函數(shù)圖象與三角形面積的關(guān)系的思考，提升學(xué)生的抽象能力和觀察能力，為接下來數(shù)學(xué)思想方法的遷移奠定基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)意圖輔助變量的設(shè)置，不僅為探尋直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，還簡(jiǎn)化了問題的難度，揭示了知識(shí)的本質(zhì).

實(shí)踐證明，在解題時(shí)，我們不能將目光停留在問題的表面，而要通過一定的手段挖掘出問題中所隱藏的通性通法、數(shù)學(xué)思想方法以及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，通過問題的拓展與延伸進(jìn)一步激發(fā)問題的教學(xué)價(jià)值，讓學(xué)生在變式拓展中深刻體會(huì)知識(shí)的本質(zhì)與內(nèi)涵，從真正意義上掌握解題技巧.

例1和例2所涉及的數(shù)學(xué)思想方法有數(shù)形結(jié)合思想方法、化歸思想方法、函數(shù)思想方法等，這些都是初中階段重要的數(shù)學(xué)思想方法，是引領(lǐng)學(xué)生突破思維障礙、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ). 變式教學(xué)方法的應(yīng)用，能讓學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)整理成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并通過解題拓寬視野、豐富思維，促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍. 如何幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào). 2020（9）：1-8.

［2］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.