幾何畫板，讓初中數學課“活”起來

章苗

［摘? 要］ 幾何畫板是數學教學中幫助學生直觀體驗圖形變化，培養學生空間意識的重要工具. 幾何畫板的使用，使抽象的圖形變化更加具體形象，從而從感性認識上升到理性認識，激發課堂的活力，使學生從親身體驗中生成自我認識，體會數學的實質和內涵，感受數學的魅力.

［關鍵詞］ 幾何畫板；課堂活力；實質內涵

函數與幾何是數學學習的兩個重要方面，對于初中階段的學生剛剛接觸幾何圖形的相關證明來說，是一個困擾許多學生的難點. 同時初中階段開始初步體現數形結合思想，函數圖象的變化也常常讓很多學生“望而生畏”，然而這些內容又是初中數學教學和考察的重點內容，不容忽視. 圖形的變化較為抽象，學生缺少實際的體驗和感受，在學習過程中只能依靠記憶和模仿，生硬的套用公式或者總結的規律進行運用，難以調動知識進行綜合運用，在遇到復雜性的綜合題時就變得一籌莫展了. 因此教師要嘗試創造學生能夠親身感受的平臺，讓學生體會知識的發生和發展，真正開展思維活動，激發思維碰撞的火花，才能為課堂注入鮮活的生命力.

幾何畫板的使用為教師的教學提供了一個更加便捷的工具，使圖形變化的呈現更加生動，使數學課堂“活”了起來. 幾何畫板能夠使靜止的圖形呈現動態性，具備非常強大的圖形、圖象變化和動畫演示功能，并且幾何畫板使用方便，簡明樸素，為學生的學習提供了一種便捷的方法. 幾何畫板可以給學生在幾何學習時提供一種幾何實驗的情境，為教學中研究幾何圖形的變化提供了更加便捷的平臺. 因此，教學中研究幾何畫板如何更加有效地使用具有非常重要的價值.

幾何畫板，激發學生學習

數學學習帶給很多學生的感受都是枯燥乏味的，為了應試被動學習，常常容易產生厭倦的不良情緒，對數學學習提不起興趣. 事實上，數學是一門非常有魅力的學科，仔細觀察可以發現生活中處處都有數學，數學的神奇無處不在. 之所以學生難以感受數學之美，是因為在教學中教師的教學模式過于僵化，一直停留在“教師講學生聽”的層面，沒有為學生創造思考互動的平臺，留給學生交流練習的空間非常有限，導致學生感受不到學習數學的樂趣. 新課程的學習理念要求課程內容活動化，學生能夠在活動中收獲知識，就需要教師在教學中開展豐富的體驗活動，使學生增強自身感受，獲得體悟. 幾何畫板能夠向學生展示圖形變化的全部過程，使圖形、色彩、聲音、文字集于一體，將復雜、靜止的畫面表現得更加簡便、生動，枯燥的知識變得更加生動和具體，激發學生探究的好奇心.

幾何畫板，創設問題情境

問題是教學載體，有效的問題情境可以激發學生的學習興趣和好奇心，使教學過程更加順暢，課堂氣氛更加融洽. 利用幾何畫板進行問題情境的創設可以使教學中的問題更加貼近學生的實際生活，更加生動具體.

案例1? 九年級“圖形的旋轉”.

教師通過多媒體展示出幾個圖形動畫，動畫結束后，出現了一些圖案（如圖1所示）.

學生都被這樣驚奇的變化吸引住了，立即產生了濃厚的探究興趣，這樣的導入可以使學生很快進入學習的狀態，調動學生探究的好奇心. 好的開始是成功的一半，學生的學習興趣已經為課堂教學的順利展開奠定了基礎，在學習動力的驅使下，學生能夠結合具體的學習情境，調動已有的知識，運用思維能力進行分析、聯想和類比等方法，深入學習探索，掌握圖形的“平移”“旋轉”等概念和知識，并且會運用知識遷移解決具體問題，學會怎樣進行自主作圖. 教師引導學生深入理解圖形旋轉的概念，不僅學會圖形的旋轉知識，并且引領學生自己設計圖案，課堂進行展示，讓學生感受收獲學習成果的喜悅.

在本章節中的中心對稱知識也可以利用幾何畫板進行演示，加強學生的印象，深入理解變換過程中坐標的變化. 如圖2中，任意移動圖中的點A、B、C以及A′、B′、C′中的任意一點，改變原有線段的長度或者方向，圖中的坐標也會隨之改變，呈現出具體的數值，可以讓學生直觀地看到各對應點之間的橫坐標和縱坐標之間的變化與原有的橫坐標和縱坐標之間的關系.

幾何畫板，指引思考方向

學生學習經驗的增加是從體驗中不斷獲得知識和產生感受的過程，只有從直接的體驗中才能收獲知識學習的意義. 因此教師需要創設學生體驗的情境和活動，讓學生能夠從做中學，實踐和做事的過程就是學習的過程.

案例2? “直線與圓的位置關系”教學.

本課的教學內容較為抽象，因此學生在理解直線與圓的不同位置關系時容易出現較大的困擾，為了便于學生的理解，筆者在課前要求學生收集大量相關的實際素材，從實際生活中查找相關的資料. 同時筆者在研究具體教學內容的基礎上預設了相關的探究問題，嘗試利用幾何畫板制作教學課件增強感官刺激，加強視覺印象，為理性探究奠定基礎. 這一教學內容中，直線與圓的相切關系是其中的思維難點也是這一課的教學重點. 課件操作如下：

（1）如圖3所示，畫出一條任意直線l和一個圓O，圓O的半徑為r，過該圓圓心O作直線l的垂線，垂足為E.

（2）拖動直線l或直線l上的任意一點A或點B，使直線與圓的位置發生改變，學生可以從不同的位置動態地觀察直線與圓位置的變化，并讓學生思考：直線與圓有幾個交點？同時注意觀察圓心到直線的距離，即線段OE的長度的變化，猜想它的長度與圓的半徑之間的關系.

經過實踐操作，引導學生總結在圓與直線變化的過程中呈現的規律和特征：當圓心與直線的距離小于圓的半徑時，直線與圓有兩個交點，它們的位置關系稱為相交；當圓心與直線的距離與圓的半徑相等時，直線與圓只有一個交點，它們的位置關系稱為相切；當圓心與直線的距離大于圓的半徑時，直線與圓沒有交點，它們的位置關系稱為相離.

通過幾何畫板的使用，學生的觀察更加直接，得到的感受更加深刻，擺脫了依靠生硬的記憶和生硬模仿的學習方式，提升了對知識的理解程度.

案例3圓的內接四邊形.

教師首先應用幾何畫板展示如圖4所示的圖形，引導學生思考四邊形ABCD與圓O之間的關系，同時帶領學生回顧已學的平行四邊形、菱形、正方形等四邊形的相關知識. 接著借助幾何畫板學生開始動手操作，任意畫圓以及圓的內接四邊形，通過親手度量四邊形的邊、角等要素，開展小組討論，梳理四邊形的邊、角等與圓的半徑之間的關系. 經過觀察、動手實踐、度量等過程，學生證明了自己的猜想，得到了相關的結論.

以探究性問題引導學生進行實踐操作，經過實驗觀察，總結形成結論，這種在問題引導下進行的探究學習類似于數學家發現數學定理的探究過程. 正是這種探究實踐和精神啟發學生能夠主動發現問題、獨立思考研究，在主動獲取中感受數學知識形成的神奇過程，體會數學之美，感受知識的發展和形成. 實踐體驗真理，學生在自己的親手實踐中學習數學，能夠增強學習數學的興趣，感受數學與生活的聯系，拉近數學與實際生活的距離，從而主動輕松地掌握數學知識.

幾何畫板，培養創新意識

幾何畫板不僅能夠幫助學生理解一些圖形的變化和抽象的數學概念以及定理，使課堂教學更加生動外，還能使傳統解題中枯燥乏味的講解更加直觀和立體，使生硬的講解更加生動，可以彌補傳統講解的缺陷.

案例4? 證明等腰三角形底邊上的點到腰的距離與腰上的高之間的關系.

如圖5所示，等腰三角形ABC中，AB與AC相等，BC上有任意一點D，DE與AB垂直，垂足為E，DF與AC垂直，垂足為F，BH與AC垂直，垂足為H. 證明：DE與DF的和與BH相等.

這是一道經典的證明題，難度雖然不大，但是題型經典，方法多樣，問題較為開放，對于訓練學生的思維具有非常好的作用. 傳統的解題方式是通過幾何的證明完成的，較為抽象，利用幾何畫板通過平移線段可以讓學生直觀地觀察圖形之間的變化，強化思維印象.

變化1：當延長線或者反向延長線上有一點D，結論就和剛才不一樣了，即DE與DF的差的絕對值等于BH.

變化2：當點D運動到等腰三角形的內部設為點O（如圖6所示），根據等腰三角形的形狀進行分類討論. 第一種，當等腰三角形的頂角小于60度時，三角形三段高的和比腰上的高大. 第二種，當等腰三角形的頂角大于60度時，三角形三段高的和比腰上的高小. 第三種，當等腰三角形是正三角形時，即每個角都等于60度，就可以得到結論：正三角形內任意一點到三條邊的距離的和都等于等邊三角形的一條高.

變化3：如果這個點不在三角形的內部，而運動到等邊三角形的外面時，那么結論與剛才有所不同，但是研究的方法是一樣的. 下面我們就來進行研究：

如圖7所示，設正三角形ABC的外面有一點P，點P到正三角形ABC三條邊或者延長線即AB，AC，BC的距離分別為h，h，h，正三角形ABC的高為h，通過觀察和數據計算，學生很容易能夠發現等邊三角形外一點到邊的距離與等邊三角形的高之間的關系. 利用幾何畫板使深奧難懂的知識變得較為容易理解，同時提高學生的抽象思維和概括能力. 學生通過自己的親手操作后，使本來無形的知識通過現實的有形操作來呈現，便于學生進行掌握，數學學習也從無趣變得更加生動有趣，學生對知識的形成感到非常親切，對知識的理解自然水到渠成，學習變得輕松愉快.

幾何畫板，發展數學思想

數形結合是解決數學問題中的一種重要的數學思想，圖形為數學的運算提供了直觀的表現，數字為圖形的展示提供了依據，兩者結合可以使問題的解決更加形象和便捷. 在數學的發展變化中，數字與圖形在內容上是相互聯系的，兩者相輔相成，互相推進，在一定的條件下還能進行相互轉化. 數形結合思想使代數與幾何方法在解題時相互滲透，融合了兩種方法的優勢，能夠使形象思維與邏輯思維完美統一. 幾何畫板為數形結合思想的應用提供了平臺，能夠有效將兩者結合在一起，為解題能力的提高提供了條件.

由于圖形和圖象的靜態性使原本相互聯系的知識和事物割裂開來，導致學生不能從整體上進行觀察，也難以察覺知識之間的內部聯系，在探究解題路徑時出現了障礙，難以調動知識進行綜合應用. 教學中通過幾何畫板的應用，動態地展示問題，學生能夠自然地從整體上觀察事物，克服了靜態圖形的缺陷，調動了思維，實現知識的綜合運用.

案例5九年級“相似”一章中研究隨著動點變化引起的三角形內接矩形的面積變化.

如圖8所示，在△ABO中，OA邊上任意一點C，以點C為頂點作△ABO的內接矩形CDEF，使矩形的一邊CD在OA邊上，點C在邊OA上運動，矩形CDEF的面積也在發生變化. 設OC為x，建立x與矩形面積之間的函數關系. 當x發生變化時，矩形面積也會相應變化，總結變化規律. 矩形的面積有最大值嗎？最大值是多少？

利用幾何畫板制圖，建立關于x與矩形面積之間的函數關系，接著利用幾何畫板自動顯示當點C運動時，對應的動點I（x，S）（S為矩形的面積）的運動軌跡，改變△ABO的形狀，當△ABO的底邊OA或者OA邊上的高發生變化時，拋物線的形狀也隨之變化. 如果已知底邊OA或者OA邊上的高，可以計算出矩形的最大面積.

數學中的綜合性復雜問題需要運用抽象思維能力、邏輯推理能力等，單純依靠教師很難講清楚，利用幾何畫板的強大功能，可以充分運用數形結合思想，將數字與圖形充分結合起來，使學生被課堂教學深深地吸引，增強了課堂的趣味，活躍了課堂氛圍，大大激發了學生的好奇心，落實了學生的主體地位.

綜上所述是筆者在教學中對于如何使用幾何畫板進行的教學實踐，應用幾何畫板與信息技術相結合可以大大提高數學教學的生動性、準確性和趣味性，為傳統的數學教學注入新的活力，讓學生感受到數學課堂“活”了起來. 學生在幾何畫板的助力下探究問題，真正實現主體地位的落實，有效提高了課堂教學的實效性，對于學生的數學學習和綜合素質的提高提供了有利的條件.