解題教學(xué)要訓(xùn)練學(xué)生的“方向感”

徐瑾

［摘? 要］ 開(kāi)展“結(jié)構(gòu)不良”問(wèn)題的解題教學(xué)時(shí)，要注重引導(dǎo)學(xué)生尋找解題的“方向感”. 特別是一些幾何綜合題，往往解題方向不夠明確，如果不能準(zhǔn)確分析、想清解題目標(biāo)，解題效率往往較為低下. 開(kāi)展解題教學(xué)時(shí)可以讓優(yōu)秀學(xué)生分享他們是如何獲得解題念頭、解題方向的，即多讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)“怎么想到的”，讓學(xué)生的思維“可視化”.

［關(guān)鍵詞］ 解題教學(xué)；方向感；結(jié)構(gòu)不良

從一道“結(jié)構(gòu)不良”幾何題的教學(xué)說(shuō)起

所謂結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，是指問(wèn)題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)、解決問(wèn)題的模式三種要素中至少有一個(gè)沒(méi)有明確界定的問(wèn)題. 近年來(lái)，不少地區(qū)的中考幾何綜合題往往需要根據(jù)條件補(bǔ)全圖形，并探索結(jié)論，這類問(wèn)題需要學(xué)生具有較強(qiáng)的構(gòu)圖、分析、猜想、驗(yàn)證、排除、確認(rèn)等綜合能力，因而成為一類較有區(qū)分度的幾何綜合題. 下面是筆者在最近的解題教學(xué)中對(duì)一道幾何綜合題的教學(xué)記錄.

案例1? 如圖1，已知∠MON=α（0°<α<90°），OP是∠MON的角平分線，A，B分別在OP，OM上，且AB//ON. 以點(diǎn)A為中心，將線段AO旋轉(zhuǎn)到AC處，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好在射線BM上，在射線ON上取一點(diǎn)D，使得∠BAD=180°-α.

（1）依題意補(bǔ)全圖形，并證明OC=OD+AD；

教學(xué)記錄：第（1）問(wèn)先組織學(xué)生補(bǔ)全圖形（如圖2），然后結(jié)合“OP是∠MON的角平分線”“∠BAD=180°-α”可以轉(zhuǎn)化為八年級(jí)全等三角形的一個(gè)“基本圖形”（對(duì)角互補(bǔ)四邊形），證出AD=AB，進(jìn)一步代換出AD=AB=OB. 再證△AOD≌△ACB，可得OD=BC，于是OC=OB+BC=AD+OD.

解后回顧：同學(xué)們覺(jué)得這道題第（2）問(wèn)的主要難點(diǎn)在哪一步？關(guān)鍵步驟是哪一步？你們有怎樣的解題經(jīng)驗(yàn)值得積累？

教學(xué)記錄：經(jīng)過(guò)小組交流、全班匯報(bào)后，學(xué)生認(rèn)為第（2）問(wèn)的主要難點(diǎn)是要構(gòu)造符合題意的圖形，如果圖形不準(zhǔn)確會(huì)影響后續(xù)分析；關(guān)鍵步驟是猜想出α為45°（即△COD是等腰直角三角形）；值得分享的經(jīng)驗(yàn)是善于猜想幾個(gè)特殊銳角，并進(jìn)行快速驗(yàn)證、排除或確認(rèn).

教后反思：可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生猜想一些特殊銳角的經(jīng)驗(yàn)是問(wèn)題獲得突破的關(guān)鍵步驟，而猜想特殊銳角就是明確、明晰解題方向，這樣才能進(jìn)一步構(gòu)造出準(zhǔn)確的圖形，直至順利解答. 這說(shuō)明在解題進(jìn)程中，訓(xùn)練必要的“題感”、明晰解題“方向感”是教師應(yīng)向?qū)W生傳遞和訓(xùn)練的一種高階思維能力.

解題教學(xué)重視“方向感”訓(xùn)練的進(jìn)一步思考

第一，幾何入門階段就要開(kāi)始訓(xùn)練“方向感”

學(xué)生解決幾何綜合題時(shí)，解題障礙主要出現(xiàn)在構(gòu)圖分析、思路突破、規(guī)范表達(dá)這三個(gè)方面，特別是有些幾何題感覺(jué)無(wú)從下手、“方向不明”（這里主要是指不知向什么方向前進(jìn)，而不是題目是否給出了“明確設(shè)問(wèn)”）. 根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，有些學(xué)生在面對(duì)較難的幾何綜合題時(shí)，如果啟發(fā)他們某個(gè)關(guān)鍵圖形或提醒某個(gè)特殊位置，他們往往就能快速獲得思路突破. 究其原因，教師在幾何入門階段就要重視訓(xùn)練學(xué)生的“方向感”［1］，舉例來(lái)說(shuō)，在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置有相交與平行，當(dāng)兩條直線相交時(shí)，垂直相交就是一種特殊的位置關(guān)系，它所對(duì)應(yīng)的是相交所成的4個(gè)角都是直角. 那么組織垂直的概念學(xué)習(xí)時(shí)，就要讓學(xué)生能從位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)的“正反”角度來(lái)深刻理解，這樣將來(lái)遇到一些復(fù)雜的幾何圖形中出現(xiàn)垂直或90°的信息時(shí)就要能向90°或垂直的方向思考，從而發(fā)現(xiàn)這些特殊的位置或數(shù)量關(guān)系，有利于思路的獲得. 順便指出，當(dāng)學(xué)生新遇到一個(gè)幾何對(duì)象時(shí)，教師不但要幫助學(xué)生歸納概括出這個(gè)幾何對(duì)象的概念（即圖形的定義），而且板書(shū)概念時(shí)，圖形的定義“旁邊”要有一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)圖形”（在小結(jié)階段還可以給出這個(gè)概念的“非標(biāo)準(zhǔn)圖形”或變式圖形），接著還要板書(shū)幾何符號(hào)語(yǔ)言，對(duì)于定義的符號(hào)語(yǔ)言，比如角平分線的符號(hào)語(yǔ)言，還要“雙向”書(shū)寫，如由角平分線知角的數(shù)量關(guān)系，反過(guò)來(lái)，由角的等量關(guān)系可得角平分線.

第二，重視特殊圖形的研究可強(qiáng)化“方向感”

初中階段幾何圖形的學(xué)習(xí)和研究多是從“一般到特殊”的“由大到小”的學(xué)習(xí)順序. 比如先學(xué)習(xí)三角形，然后再研究特殊的三角形；再如先學(xué)習(xí)等腰三角形，再研究等邊三角形；又如先學(xué)習(xí)平行四邊形，再研究特殊的平行四邊形. 研究特殊圖形時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生辨明圖形的“特殊之處”，而且要從多個(gè)角度（定義、性質(zhì)與判定）進(jìn)行理解，并善于在圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言之間靈活切換與轉(zhuǎn)譯. 對(duì)特殊圖形的深刻理解能幫助學(xué)生在遇到“殘缺不全”的圖形問(wèn)題時(shí)，想到通過(guò)添加必要的輔助線將“殘缺不全”的圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形，借助特殊圖形的性質(zhì)獲得問(wèn)題突破，這也是幫助學(xué)生獲得更好的解題“方向感”的有效方式. 比如，當(dāng)一個(gè)圖形問(wèn)題中出現(xiàn)等腰直角三角形的條件時(shí)，若思路限于等腰直角三角形難以打開(kāi)局面、陷入僵局，便可以考慮將等腰直角三角形“補(bǔ)全”為正方形，在正方形的背景下繼續(xù)思考，有時(shí)往往能獲得進(jìn)展.

第三，解題“方向感”就是讓目標(biāo)得到明晰

根據(jù)波利亞解題理論，解題主要分為“我在哪兒（出發(fā)點(diǎn)）”“我到哪兒去（前進(jìn)方向）”“如何到達(dá)（解題路徑）”，本文主要關(guān)注的是“前進(jìn)方向”. 有些問(wèn)題的求解目標(biāo)（結(jié)論）沒(méi)有明確，比如“探究圖形中有幾對(duì)角相等，幾組三角形全等”或“這個(gè)方程有沒(méi)有實(shí)數(shù)根”或“該函數(shù)圖象是否存在某個(gè)點(diǎn)滿足……”等，這些設(shè)問(wèn)都沒(méi)有明確的方向，需要解題者結(jié)合題意分析出它們的解題目標(biāo).比如，探究一元二次方程有沒(méi)有實(shí)數(shù)根的目標(biāo)可能是分析該方程的根的判別式；再如，要分析圖形中是否存在全等三角形，關(guān)鍵是分析圖形中有哪些三角形中的邊、角有對(duì)應(yīng)相等的可能. 此外，還有不少問(wèn)題的設(shè)問(wèn)看似明確，比如求某條邊長(zhǎng)，關(guān)鍵或目標(biāo)卻是要證明全等三角形；再如，有些求某兩條線段的乘積，關(guān)鍵卻是找到這兩條線段所在的三角形并證明它們相似. 順便提及，命題設(shè)問(wèn)中有所謂的“等價(jià)結(jié)論”，在解題教學(xué)中善于向?qū)W生傳遞并分享“等價(jià)結(jié)論”，也是訓(xùn)練學(xué)生解題“方向感”的有效方式.

第四，重視“方向感”就是要加強(qiáng)解題監(jiān)控

筆者開(kāi)展解題教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)表明，解題水平高的學(xué)生往往有著很強(qiáng)的目標(biāo)意識(shí)（即方向感很好），他們總能找準(zhǔn)攻克的方向，即使出現(xiàn)解題方向的偏離，也能很快“折返”重新出發(fā)，所以解題速度快、彎路少. 而有些解題能力相對(duì)較弱的學(xué)生，其常常表現(xiàn)為走一步算一步，從已知條件出發(fā)，漫無(wú)目的，甚至在陷入繁難運(yùn)算之后仍然不知道要“掉頭折返”，僵持固執(zhí)，浪費(fèi)時(shí)間. 所以，要讓更多的學(xué)生知曉解題目標(biāo)或方向是先于具體運(yùn)算或思路貫通之前要優(yōu)先考慮的［2］. 比如，有些含有多個(gè)參數(shù)的代數(shù)問(wèn)題，其基本方向應(yīng)該是優(yōu)先“消參”（消元），然后才可能出現(xiàn)較為明確的解題路徑；又如，初學(xué)因式分解時(shí)，優(yōu)先考慮提公因式法也是重要的變形方向；再如，七年級(jí)初學(xué)有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，向?qū)W生傳遞優(yōu)先確定符號(hào)，也是重要的解題方向. 可見(jiàn)，教師在不同年級(jí)、不同階段的解題教學(xué)中都要向?qū)W生分享“方向感”. 正如那句俗語(yǔ)“方向如果錯(cuò)了，越努力離目標(biāo)越遠(yuǎn)”一樣，重視“方向感”就是要加強(qiáng)解題監(jiān)控.

寫在后面

解題教學(xué)在初中階段占有很大比例，教師如何修煉解題教學(xué)基本功是一個(gè)很大的課題. 筆者關(guān)于解題教學(xué)要訓(xùn)練學(xué)生的“方向感”的心得體會(huì)只是盲人摸象，還有待進(jìn)一步實(shí)踐研究和反思總結(jié). 筆者期待更多同行能在解題教學(xué)這個(gè)領(lǐng)域分享成功的案例和經(jīng)驗(yàn)，以促進(jìn)解題教學(xué)的研究不斷走向深入.

參考文獻(xiàn)：

［1］鄭毓信. 中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)之我見(jiàn)（下）［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（11）：1-4.

［2］劉東升. 學(xué)測(cè)命題要重視“關(guān)鍵題”的教學(xué)導(dǎo)向——有感于一道九年級(jí)“糾錯(cuò)題”［J］. 教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2021（04）：94-96.