借助“微專題”教學，提高復習效率

劉振娟

［摘? 要］ “微專題”教學法能讓學生從本質上掌握教學內容，提升解題能力. 文章以“隱形圓相關的最值問題”的專題復習教學為例，從教學分析出發，分別從“注重預習，初建模型”“加強探究，強化模型”“立足解題，變式拓展”“課堂小結，反思感悟”四個方面展開教學，并從“尊重個體差異，合理設計教學”“利用變式拓展，發散數學思維”“注重教學反思，提煉知識重點”三方面談一些教學思考.

［關鍵詞］ 微專題；復習教學；隱圓

章建躍認為：數學教育應注重教學方法的研究，要以發展學生的數學核心素養為目標，讓學生獲得用數學知識來解決數學內外問題的能力. 近年來，“微專題”教學法已然成為復習教學的重要方法之一，該教學方法主要立足于學情、教情與考情等綜合因素，選擇“切口小，針對性強”的一兩個關聯的知識點或數學思想方法等進行專題復習，讓學生深度理解知識本質，獲得用這部分知識來解決數學內外問題的能力.

教學分析

1. 教學內容

課堂探究的主題為“隱形圓相關的最值問題”，教學涉及課前預習和課堂教學兩大版塊. 預習環節，主要是讓學生探尋“隱圓”的形成過程與模型. 教學環節，主要分三步走：①將學生的預習成果——隱圓模型進行展示，根據學生的結論進行提煉總結；②帶領學生探索隱圓模型的形成依據；③用實際問題鼓勵學生自主發現隱圓相關內容，并計算最值，讓學生深切體會“探尋模型—發現隱圓—獲得路徑—解決最值”的過程.

2. 教學方法

教學預設以發現問題、提出問題與解決問題為主線，讓學生全程參與知識的回顧與整理過程，通過一定的探索手段自主歸納模型，而后利用所獲得的模型解決實際問題. 讓學生在豐富的教學方式中，感知、體悟這一類問題在中考中的命題方向，從而突破思維的瓶頸，在認知上獲得質的飛躍.

3. 教學手段

精心的教學預設離不開科學的教學手段的支持. 教師以“微專題”教學模式為載體，鼓勵學生在課前進行獨立預習與思考，課堂中要求學生在自己的引導下，積極開動腦筋妥善理解并處理隱圓問題的主要方法（四個步驟），課后可適當地布置作業，以鞏固學生的認知.

教學過程

1. 注重預習，初建模型

眾所周知，凡事預則立，不預則廢. “微專題”教學雖然所涉及的知識點不多，但教學容量并不小，而且涉及的知識點都比較經典，具有一定的代表性，預習環節同樣值得重視［1］. 隱圓相關知識，學生之前雖然接觸過，但因其比較抽象且歷時久遠，課前預習必不可少. 本節課預習的主要目的在于回憶、總結幾種常見的隱圓模型，為課堂“微專題”復習奠定基礎.

師：經過課前預習，大家發現隱圓模型有哪些？

學生總結出以下幾種基本模型（見圖1至圖4）.

分析預習不僅引導學生回顧了隱圓相關知識，還讓學生明確了本節課待探索的主題，從而使學生做到胸有成竹. 教師將四種典型模型在課前展示，存在兩方面深意：一方面檢查學生的預習情況，是對學生預習成果的肯定；另一方面，讓一部分學生發現自身認知的漏洞與盲區，從而提高課堂學習的積極性.

2. 加強探究，強化模型

探究1上述四種模型作為隱圓的常規模型，大家知道它們是如何形成的嗎？

經過討論，學生提出四個隱圓模型所獲得的依據分別為：第一個，直角的圓周角所對的弦是直徑；第二個，若一個四邊形的對角互補，或外角與內對角是相等的關系，那么這個四邊形的四個頂點在一個圓上；第三個，定角對定弦；第四個，到定點的距離等于定長的點的集合為一個圓.

探究2這四種模型之間是否存在什么聯系？

探索發現，圖1是圖3的特殊情況，一般情況下定角為30°、45°、60°、90°等特殊角，同時，圖1也是圖4的特殊狀態. 模型1的得來依據，從表面上看是“直角的圓周角所對的弦是直徑”，實質上卻是“到定點的距離等于定長的點的集合是一個圓”.

師：通過以上兩個探究活動的開展，能否對模型得來的依據進行一個歸納？

分析? 學生通過探究1活動的開展，深化了對各類模型形成本質的理解，這種理解能有效地幫助學生突破本節課的教學重點與難點，從一定意義上讓學生更加清晰地理解概念的本質；對于探究2，學生在類比分析中，進一步深化了對模型本身的認識，為后續靈活應用奠定了基礎；最后一個問題的提出，具有提煉、總結、提升的意圖.

3. 立足解題，變式拓展

例1如圖5所示，正方形ABCD的邊長為4，其中點E，F分別在線段DC，BC上移動，已知DE=CF，AE與DF相交于點P，求CP的最小值.

變式如圖6，Rt△ABC中，已知AB⊥BC，AB=6，CB=4，點P為△ABC內的一個動點，并滿足∠PAB=∠PBC，求線段CP的最小值.

分析例題與變式均為90°的圓周角所對的弦為直徑的模型，在動態中尋找，都能發現90°的角不會變化，問題在于直角比較難發現. 如例1中的直角，需要在全等的證明基礎上獲得，而變式中的直角則需要通過角的轉化而獲得.

變式的應用，讓學生在解決例1的基礎上，更加深入地理解了模型的本質，為提升解題能力奠定了基礎. 學生一旦找到隱圓，結合動點的起始點與終止點，不難獲得動點的運動軌跡. 那么，線段的最值問題就轉化成圓外一點到圓上點的最長與最短距離的問題了. 此例與變式的應用，讓學生親歷了“探尋模型、發現隱圓、明確解題路徑、解決最值問題”的過程，這種體驗為接下來解決更多的實際問題提供了直接經驗.

例2如圖7所示，點D，E分別為等邊三角形ABC中AB，AC邊上的兩個動點，已知AE=BD，分別連接CD，BE相交于點P，如果等邊三角形ABC的邊長是2，那么點P的運動路徑長是多少？

分析本題將例1中弦所對的圓周角從直角轉換成120°的角與45°的角，這種轉換顯然增加了尋找圓心的難度. 同時，變式也由探索線段的最值問題轉換到探索面積的最值問題上，從一定程度上對學生的思維提出了更高的要求.

本例題，需通過三角形的全等證明才能獲得120°的角，例1中也涉及三角形全等的證明問題，這對學生而言是一種方法上的鞏固. 而變式題，只有分析線段與角的關系，才能獲得45°角. 此例與變式的解決，訓練了學生在不同條件與背景下的思維拓展能力，為學生從不同維度掌握解題技巧奠定了基礎.

例3如圖9所示，菱形ABCD的邊長為2，已知∠A=60°，點M為AD邊的中點，點N為AB邊上的一個動點，若將△AMN沿MN所在的直線進行翻折，可得△NA′M，連接A′C，求A′C長度的最小值.

變式如圖10所示，△ABC中的∠BAC=90°，已知AB=3，AC=4，且點D為BC邊的中點，現將△ABD沿AD所在的直線進行翻折，可得△EDA，連接CE，求CE的長.

分析本題為“多點共圓”模型的應用，盡管問題中的點在運動，但是它到定點的距離卻是恒定不變的，也就是AM=DM=A′M. 根據模型4的形成依據，很快就能發現隱圓的身影. 本例被稱為“傘型”或“雞爪型”問題，學生通過研究本題，獲得從變中探尋不變的量的能力，這也是解決這一類問題的基本方式. 變式的提出，在于考查學生能否在多點共圓的模型下發現新的解題方法，這是一個挑戰，也是促進學生思維成長的契機.

例4如圖11所示，△ABC為一個邊長為2的等邊三角形，已知ED⊥AB，EF⊥AC，求AF的值.

分析本題為典型的“四點共圓”模型的應用，從“雙垂直”的條件不難發現隱圓的存在，通過圓中角的轉換，問題迎刃而解. 此例的應用，關鍵在于能讓學生明確“四點共圓”模型的主要特征，從中發現圖形. 三角函數設k法的應用以及圓中角的轉化都是解決幾何問題的常用方法. 變式的拓展，體現了“定角對定弦”與“四點共圓”模型的綜合應用，這不僅鞏固了本節課所探尋的新內容，而且也是對舊知的溫顧.

4. 課堂小結，反思感悟

課堂總結具有“畫龍點睛”之功效. 本節課作為一節“微專題”課，目標明確、知識點清晰，教師在小結時，以總結、提煉與反思為主，以幫助學生更好地將知識內化成自己的認知結構.

師：通過本節課的探究，你們能在問題中一眼就發現“隱圓”的存在嗎？該如何發現呢？課后請有興趣的同學寫一寫關于隱圓的解題思考，下節課我們一起交流.

分析這個問題起到了回顧、總結、建構知識脈絡的作用，學生結合本節課的解題經驗，在思考“如何發現隱圓”的問題引領下形成了自己獨特的解題經驗. 課后教學思考的書寫，不僅訓練了學生的反思能力，還從另一個角度訓練了學生總結問題的能力，為后續研究其他專題提供了幫助.

教學思考

1. 尊重個體差異，合理設計教學

“微專題”教學內容一般為一個相關聯的或能單獨研究的知識點、數學思想方法、單個主題等. 對于初三階段的學生而言，受社會與學習背景等影響，存在一定的個體差異是客觀存在的現實. 教師應充分尊重學生的這種差異性，根據學情與教學專題的特點，科學、合理地設計教學，使得每個學生都能在課堂中獲得不同程度的進步與發展.

隱圓問題的綜合性與靈活性比較高，學生掌握時存在一定的困難，加上學生認知水平的參差不齊，著實給教學帶來了不小的困難. 本節課，教師以“微專題”教學法為載體，結合預習、探究與反思等教學活動的開展，讓每個學生都能根據自身實際情況，選擇學習的深度與寬度. 由此可見，本節課雖為“微專題”，實則“大容量”.

2. 利用變式拓展，發散數學思維

“微專題”教學離不開例題教學的輔助，而例題教學的拓展與延伸，又離不開變式的支持. 尤其是初三復習階段，教師將復習內容分割為一個個大小專題逐個突破，這些專題看似獨立存在，實則互相關聯. 而變式的應用，則實現了各個知識點的有效溝通，它主要通過表面的變化，突出核心知識恒定不變的本質［2］，對幫助學生更好地掌握知識與技能具有直接影響. 一般變式應用時，會選擇經典例題或教材例題作為“母胎”，以便學生掌握知識的重點與難點.

本節課，基于模型建立、應用與總結，讓學生以探索模型的形成依據為主線，進行例題的分析與拓展. 每個例題都配有相應的變式，這種模式不僅鞏固了學生對各種模型的理解與應用，還為課后研究提供了素材，是學生思維拓展延伸的基礎.

3. 注重教學反思，提煉知識重點

“微專題”教學雖以例題與變式來幫助學生明晰知識點，但它的作用絕不僅限于此. 例題與變式的應用還能有效地幫助學生提煉思想方法與數學模型等，而這一切都離不開“反思”的過程. “微專題”研究若僅憑單個雷同問題的堆砌，必然無法完成它的使命，只有從不同層次進行遞進式探索，才能讓學生從真正意義上掌握知識本質. 此過程，離不開師生及時、準確的歸納、總結與提煉.

常規情況下，“微專題”可以用較短的時間完成教學，但本節課卻花費了不少時間. 主要原因有：隱圓這個知識點確實存在一定的難度，學生理解需要一個過程；隱圓模型種類比較多，逐個分析與突破也需要耗費一定的時間.

那么，本節課的“微專題”還“微”嗎？還可以怎么改進教學設計，做到課堂教學內容“短小精悍”，而教學效果卻“穩中有升”呢？這些都是值得反思的問題.

參考文獻：

［1］呂增鋒. 數學“微專題教學”到底“微”在哪［J］. 中小學數學（高中版），2018（04）：33-34.

［2］李寬珍. 數學微專題教學的特征、策略及方法［J］. 教學月刊·中學版（教學參考），2016（09）：3-7.