運用APOS理論，提升數學概念教學實效

劉正強

［摘? 要］ APOS理論從學生的認知心理角度出發，認為學生在學習數學概念的過程中要進行心理建構. 在數學概念教學中運用APOS理論能夠幫助學生從根本上認識數學概念的本質，強化對數學概念的理解，并建構起數學概念的體系，真正在解決問題的過程中運用數學概念形成自覺意識，從而使學生掌握數學思想和方法，提升對數學的認識.

［關鍵詞］ APOS理論；無理數；數學概念

數學概念是從具體問題中抽象、概括出的數學本質特征，并運用數學語言的形式將事物的本質屬性表達出來. 數學概念是進行數學判斷和推理，從而解決數學問題的關鍵與核心，是掌握數學知識的基石. 理解數學概念有利于提升學生的數學學習能力，落實數學核心素養的要求.

人類最開始運用有理數表達事物的數量，而無理數的發現在數學發展史上具有里程碑式的意義，拓展了人類對數學的認識［1］. 然而在初中階段，學生在學習數學概念的過程中存在一些困難，如學生在學習無理數的過程中對無理數兩種定義的相互轉化較難理解，以致在判斷無理數時缺乏有效的理論支持；在初中階段學習的過程中存在學生按照目前的知識沒有辦法進行驗證的情況，只能將知識以記憶的方式進行學習，同時學生由于認知水平的限制所了解的無理數非常有限，也無法對無理數的無限性產生認同. 因此，筆者嘗試運用APOS理論指導“無理數”的教學，使數學概念的教學更加生動，更加符合學生的認知規律，深化學生對無理數的認識.

何謂APOS理論

APOS理論的提出來自美國學者杜賓斯基，屬于建構主義學習理論，這一理論將學習數學概念的過程明確分為四個階段，分別是活動、過程、對象和圖式，將理解概念的過程進行了詳細的層次劃分，對每個階段的內容以及教師的任務都做了明確的規定，使學生能夠循序漸進地理解和認識數學概念，對數學概念的教學具有明確的指導意義［2］.

當前教師在教學過程中常常感覺無理數的概念較為突兀，在辨別無理數與有理數的區別，以及認識無理數存在的不同形式，或者是理解無理數的無限性上都存在困難. 學生在學習過程中也感覺無理數的概念較為抽象和生硬. 因此，運用APOS理論可以幫助教師科學認識數學概念教學，形成逐層推進的數學概念教學過程.

基于APOS理論的教學設計

學生在學習“無理數”這一內容之前已經接觸過有關有理數的知識，如有理數可以分為整數和分數，同時能夠正確區分數的大小. 在中學階段引入無理數的概念是對學生已有的關于“數”的知識的補充，有利于開闊學生的視野，打開學生認識世界的思路.

1. 操作實踐：情境導入，創設問題，激發興趣

古希臘的數學家們在研究世界的時候發現世間萬物都能用數進行表示，這也成了人們衡量世界的一種方式. 然而其中一位叫希帕斯的數學家在研究的過程中發現了一個例外，在一個邊長為1的正方形中，無法用有理數表示這個正方形的對角線. 這給人類提出了一個新的問題：應該用什么數來進行表示呢？下面讓我們通過自己的操作實踐來驗證一下希帕斯的猜想.

課前教師準備了兩個邊長為1的小正方形，如圖1，將兩個小正方形沿著對角線剪開，再將剪得的四個三角形重新拼成一個大正方形. 請大家將自己重新拼得的正方形進行展示并觀察.

問題1：拼接之后的大正方形的面積和邊長分別是多少？

生3：我們可以進一步縮小范圍，因為1.4的平方等于1.96，1.5的平方等

2. 過程階段：聯系已知，歸納特征，初識概念

數點后40位準確的數值應該是1.4142135623730950488016887242096980785696. 請同學們仔細觀察這個數值，在前10位、前20位、前30位、前40位有沒有出現循環節？

生2：小數點后的位數沒有循環節.

生3：觀察計算出的結果我們可以看到它們的近似值都是一些無限不循環小數.

師：很好，雖然今天是第一次認識無限不循環小數這個概念，但事實上我們早就接觸了這樣的數，如π這個數，我們在小學階段知道π等于3.1415926，但其實這只是一個近似數，事實上π小數點后面40位小數是這樣的（投影展示）. 我們可以發現π也是無限不循環小數，這樣的數與我們所學的有理數是有區別的，可以稱之為無理數.

設計意圖? 第二階段引導學生聯系已學的知識，具體分析無理數的特點，通過具體的觀察進行抽象概括，從而抓住無理數的特征，形成初步感知. 這一環節的探究通過學生進行計算和取值的方式，并列舉了學生較為熟悉的π這個數，使學生對無理數無限性的認識更加深刻，突破了思維的局限性，使學生能夠理解無限不循環小數出現的必然性以及無理數的本質特征，為進一步形成抽象的概念奠定基礎.

3. 對象研究：具象對比，抽象概括，形成概念

在對無理數有了初步認識的基礎上，進一步明確有理數與無理數的區別，將兩者進行對比，明確無理數和有理數的特點.

問題5：請大家一起來觀察以下幾個分數（即有理數），并將這些分數寫成小數的形式，觀察它們的小數部分有什么特點.

學生將分數轉化成小數，教師進一步追問.

問題7：現在我們已經知道了無理數的概念，以及有理數可以在數軸上表示，那么無理數同樣可以用數軸上的點進行表示嗎？

如圖2：

生5：觀察圖2，我們發現無理數也可以用數軸上的點進行表示，換言之，數軸上的點與實數是一一對應的.

問題8：請同學們進行小組合作討論，并盡可能多地展示無理數的表示形式.

設計意圖? 在學生已經對無理數有了具體認識的基礎上，進一步將概念與具體例子相結合，使學生明確無理數的不同形式，形成更加具象化的認識. 學生由無理數的具體例子到抽象概念，再通過概念到無理數的分類，實現了對無理數的全面認識和把握，從而能夠正確區分有理數與無理數，強化了對無理數本質的理解. 在數軸上表示無理數，使學生深入認識無理數存在的客觀性，同時充分感受數形結合思想在其中的應用.

4. 圖式階段：總結歸納，強化概念，提升認知

師：現在我們已經知道了有理數與無理數的概念，請同學們進行小組討論，我們該如何對實數進行具體的分類呢？

在教師的引導下，學生將實數進行了如下的分類（如圖3）：

例題1：下列各數是有理數，還是無理數？

生9：根據有理數的概念，整數

課堂總結：回顧本節課的學習過程，學生相互交流這節課有哪些感想和收獲，最后教師對本節課學習的無理數相關知識及探究方法進行總結和歸納，幫助學生進一步梳理了實數的結構以及無理數的特征.

設計意圖? 只有經歷數學概念體系的形成過程，學生對數學概念才會有更加清晰明了的認識和分類，同時提升了知識辨別能力，加強了主動思考意識，增強了對新舊知識的聯系，從而形成了更加完整的知識結構，產生了更加深刻的數學理解. 本階段是概念教學的最后一個階段，是幫助學生形成心理認知的過程，旨在使學生從根本上把握無理數的特征.

教學反思

數學概念教學是加強學生對數學知識的理解，掌握數學本質的重要方式，APOS理論從認知心理學的角度將數學概念的學習進行了具體的分段指導，明確了學生從理解數學概念到形成自主概念意識的過程. 本文運用APOS理論指導數學概念的教學，通過實踐操作、歸納特征、抽象概括、總結歸納讓學生經歷無理數概念的形成過程，從源頭上強化了學生知識增長與智力發展的聯系，樹立了學生探索發現的意識，發展了學生的思維能力.

綜上所述，APOS理論為數學概念的教學提供了科學而準確的指導，促使學生在數學概念的學習中不再采取僵硬記憶的方式，而是讓學生充分經歷概念的形成過程，實現對概念的理解、鞏固和強化，直至能夠自覺地運用數學概念解決問題. 在運用理論指導教學的過程中，教師要將理論與教學實踐相結合，使理論更好地運用在實際的教學中，有效提升教學效果.

參考文獻：

［1］呂亞軍，顧正剛. 促進初中生數學深度學習的元認知訓練模式構建［J］. 中學數學月刊，2018（07）：7-10+13.

［2］史寧中. 數學基本思想18講［M］. 北京：北京師范大學出版社，2016.