畢達(dá)哥拉斯律和歐洲中世紀(jì)復(fù)調(diào)之間的聯(lián)系

莊曉雪

歐洲中世紀(jì)音樂(lè)理論的源頭可以追溯到古希臘音樂(lè)理論， 古希臘哲學(xué)的核心思想是理性理論， 理論的核心是數(shù)學(xué)， 用數(shù)學(xué)工具思考物質(zhì)層面上的各種性質(zhì)， 一步步發(fā)展成為一門科學(xué)。 音樂(lè)在早期是一門科學(xué)而非現(xiàn)在的藝術(shù)。 畢達(dá)哥拉斯被認(rèn)為是古希臘音樂(lè)理論的奠基人， 音樂(lè)理論是對(duì)數(shù)字比例的數(shù)學(xué)研究， 這也成為古希臘音樂(lè)理論的主要論點(diǎn)。 中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂(lè)中縱向和聲音程成為西方和聲發(fā)展的萌芽［1］， 畢達(dá)哥拉斯律中的協(xié)和音程成為中世紀(jì)早期復(fù)調(diào)音樂(lè)最重要的和聲音程。 早期復(fù)調(diào)音樂(lè)是為宗教服務(wù)， 因此音樂(lè)的審美需要符合“神” 的審美， 協(xié)和音程是 “神” 的和諧統(tǒng)一美的體現(xiàn)。隨著不協(xié)和音程的使用越來(lái)越頻繁， 是人們想要擺脫宗教束縛的體現(xiàn)， 也是音樂(lè)從迎合 “神” 的審美到 “人”的審美的轉(zhuǎn)變。

一、 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的音樂(lè)理論

（一） 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)思想

雖然沒(méi)有關(guān)于畢達(dá)哥拉斯本人著作的留存， 但許多畢達(dá)哥拉斯的信徒們寫了大量的文章， 并把一些思想歸功于他。 現(xiàn)代的學(xué)者將畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)思想分為兩大類——宗教哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)。 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的宗教哲學(xué)起源于古希臘宗教奧爾菲斯教派 （Orpheus）， 該宗教的教義就是靈魂轉(zhuǎn)世、 生命的輪回。 如果說(shuō)泰勒斯是第一位哲學(xué)家， 那么畢達(dá)哥拉斯就是第一位數(shù)學(xué)哲學(xué)家， 因?yàn)樗堑谝粋€(gè)將哲學(xué)與數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái)的人。 亞里士多德在他的 《形而上學(xué)》 中說(shuō)： “……畢達(dá)哥拉斯學(xué)派出于對(duì)數(shù)學(xué)的興趣， 是最早引入數(shù)學(xué)的早期哲學(xué)家，并表示數(shù)學(xué)原理是萬(wàn)物的基本原理。 ……他們又看到了音律的變化與比例可由數(shù)來(lái)計(jì)算［2］。” 盡管古希臘哲學(xué)家對(duì)事物有不同的看法， 但他們有一個(gè)共同點(diǎn)就是他們都認(rèn)為宇宙多樣性背后存在著潛在的統(tǒng)一性。 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中 “數(shù)的世界” 有一個(gè)觀點(diǎn)： 外在的世界有一種內(nèi)在的秩序， 內(nèi)在的秩序指的是通過(guò)思考才可以掌握的一個(gè)形式概念， 數(shù)字只是一個(gè)數(shù)的概念的代表。 畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為， 音樂(lè)也可以用數(shù)字表示。 那么為什么音樂(lè)可以用數(shù)字來(lái)代表呢？ 因?yàn)橐魳?lè)旋律具有其內(nèi)在的秩序， 這種秩序有規(guī)律， 可以透過(guò)數(shù)字加以表達(dá)。 音樂(lè)家與數(shù)學(xué)家一樣， 都是針對(duì)這一原先就已經(jīng)有秩序的世界， 進(jìn)一步發(fā)展的自由創(chuàng)作者。 畢氏哲學(xué)雖然充斥著神秘主義色彩， 但是一種相當(dāng)具有知識(shí)主義特色的哲學(xué)。

（二） 畢達(dá)哥拉斯律的產(chǎn)生

根據(jù)卡西奧多魯斯 （Cassiodorus） 在6 世紀(jì)的著述中描述， 數(shù)學(xué)科學(xué)考慮抽象的量分為四部分： 算術(shù)、 音樂(lè)、 幾何學(xué)和天文學(xué)。 音樂(lè)是一門研究數(shù)學(xué)與聲音之間關(guān)系的學(xué)科。 音樂(lè)被認(rèn)為是一門理論學(xué)科的觀點(diǎn)存在著很長(zhǎng)的時(shí)間， 這種觀點(diǎn)至少在西方世界里起源于畢達(dá)哥拉斯。 畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為音樂(lè)和數(shù)學(xué)是密不可分的， 他深信宇宙萬(wàn)物都可以用比例以及整數(shù)來(lái)表示。 畢達(dá)哥拉斯開(kāi)創(chuàng)了音樂(lè)和數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究， 用客觀的物理量測(cè)量，例如弦的長(zhǎng)度， 并通過(guò)算術(shù)比例發(fā)現(xiàn)了音樂(lè)的定量數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)試圖解釋主觀的心理和審美感受。 雖然畢達(dá)哥拉斯本人并不是音樂(lè)家， 但通常被認(rèn)為是發(fā)現(xiàn)全音階的人。 相傳， 畢達(dá)哥拉斯在經(jīng)過(guò)鐵匠鋪時(shí)聽(tīng)到不同錘子發(fā)出不同音高的聲音從而發(fā)現(xiàn)了構(gòu)成音階的比例。 圖一木刻版畫描述了畢達(dá)哥拉斯進(jìn)行各種音程之間數(shù)學(xué)比例的實(shí)驗(yàn)［3］。 圖中左上角是不同重量的錘子敲擊鐵砧時(shí)， 產(chǎn)生了不同的音高。 其中錘子的重量有12 磅、 9 磅、 8 磅和6 磅， 分別產(chǎn)生八度 （2： 1）、 五度 （3： 2）、 四度（4： 3） 的音程關(guān)系， 這些音程聽(tīng)起來(lái)相當(dāng)和諧。 顯然，這個(gè)錘子的故事并不靠譜。 因?yàn)椴煌|(zhì)量的錘子敲打同一塊鐵砧時(shí)， 只是響度不同， 而音高是由鐵砧的大小決定的。 如果我們將這個(gè)故事運(yùn)用到弦上， 就會(huì)顯得非常合理。 木刻版畫中的左下圖描繪了畢達(dá)哥拉斯在彈奏六根單弦琴， 每根琴弦上都掛有不同重量的東西來(lái)收緊琴弦， 這樣每根琴弦的張力就不同。 根據(jù)弦振動(dòng)頻率公式可知， 弦的長(zhǎng)度、 密度相同， 頻率與弦的張力成正比。 后來(lái)， 波愛(ài)修斯使用可移動(dòng)琴橋的單弦琴來(lái)計(jì)算音程的數(shù)學(xué)比例， 進(jìn)一步證明畢達(dá)哥拉斯各音程的頻率比例理論。 他通過(guò)移動(dòng)琴橋改變弦的長(zhǎng)度， 首先將弦分成二等份， 然后將其中一半發(fā)出的聲音與整根弦發(fā)出的聲音進(jìn)行比較， 產(chǎn)生了一個(gè)高八度音程 （2： 1）。 再將整段弦分成三等份并振動(dòng)其中的2 個(gè)部分， 得到五度音程 （3： 2）。 最后將弦分成四等份并振動(dòng)其中的3 個(gè)部分， 得到四度音程 （4： 3）。除此之外， 還將該理論運(yùn)用到不同的實(shí)驗(yàn)中， 圖中右上角的圖片是用相同的杯子裝不同容量的水進(jìn)行實(shí)驗(yàn)， 右下角是用不同管長(zhǎng)產(chǎn)生不同的音高的實(shí)驗(yàn)。

眾所周知， 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)前四個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的音程比例 （即4： 3： 2： 1） 特別感興趣。 他們認(rèn)為這些音程聽(tīng)起來(lái)很和諧。 基于八度和五度音程， 畢達(dá)哥拉斯提出了關(guān)于這兩個(gè)音程生成的音階過(guò)程。 首先我們從D1 （可以從任意音符開(kāi)始） 開(kāi)始向上升一個(gè)八度得到D2， 在D1 和D2 這一個(gè)八度內(nèi)生律。 我們可以分別將D1 和D2 向上、 向下構(gòu)五度音程， 得到A1 和G1。 然后將A1 向上生純五度得到E1， G1 向下生成純五度得到C， 為了保證在一個(gè)八度內(nèi)， 我們將C 移高一個(gè)八度得到C1。 這樣我們一共有五個(gè)音， 分別是C1、 D1、 E1、G1、 A1， 也就是我們熟悉的中國(guó)五聲音階。 我們?cè)賹1 向下生成純五度得到F1， 將E1 向上生成純五度得到B1， 這樣就得到了西方的全音階。 如果我們?cè)倮^續(xù)五度循環(huán)可以生成半音階， 即以D 音為中心音向上和向下五度生律得到：bA-bE-bB-F-C-G-D-A-E-B-#F-#C-#G 形成五度圈。 但是最后發(fā)現(xiàn)從D1 開(kāi)始循環(huán)無(wú)法再回到D1，假設(shè)我們總是以純五度音程開(kāi)始生律。 如果我們生成n次， 那么頻率比為超過(guò)限定一個(gè)八度內(nèi)的音需要我們下降八度m 次， 即我們最終會(huì)得到的頻率比是這個(gè)式子等于1。 對(duì)于則必須為真。 但是， 2m始終是整數(shù)， 而不是整數(shù)。 所以，永遠(yuǎn)不會(huì)成立。 因此， 如果使用畢達(dá)哥拉斯律進(jìn)行調(diào)律的話， 一個(gè)八度音階內(nèi)只有十一個(gè)純五度音程， 畢達(dá)哥拉斯律中最后一個(gè)純五度音程由于積累過(guò)多的拍音而導(dǎo)致 “狼音” 的出現(xiàn)， 并且無(wú)法任意轉(zhuǎn)調(diào)。 所以歐洲中世紀(jì)的作曲家會(huì)根據(jù)自己所創(chuàng)作的作品的調(diào)式來(lái)避免 “狼音程” 的出現(xiàn)。［4］

二、 中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂(lè)的發(fā)展

中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂(lè)通常指的是9 世紀(jì)至15 世紀(jì)初的西歐音樂(lè)， 雖然關(guān)于基督教禮儀和圣詠的歷史可以追溯到更遠(yuǎn)。 中世紀(jì)的音樂(lè)包括宗教音樂(lè)和世俗音樂(lè)， 宗教音樂(lè)是為西方基督教會(huì)的儀式和宗教而創(chuàng)作的， 關(guān)于中世紀(jì)早期的世俗音樂(lè)很少， 因?yàn)橹挥猩衤毴藛T識(shí)字， 才能夠進(jìn)行寫作， 而世俗音樂(lè)是通過(guò)口耳相傳來(lái)學(xué)習(xí)的。復(fù)調(diào)起源的確切時(shí)間一直是爭(zhēng)論的主題。 盡管如此， 我們可以從音樂(lè)學(xué)的角度談?wù)?“復(fù)調(diào)的出現(xiàn)”， 最早的復(fù)調(diào)音樂(lè)出現(xiàn)于9 世紀(jì)。 《音樂(lè)手冊(cè)》 是9 世紀(jì)的一部匿名音樂(lè)論文， 這是在西方藝術(shù)音樂(lè)中建立復(fù)調(diào)規(guī)則體系最早的音樂(lè)理論文本［5］。

（一） 從單聲部音樂(lè)到多聲部復(fù)調(diào)音樂(lè)

歐洲中世紀(jì)在9 世紀(jì)以前一直是單聲部音樂(lè)， 這一時(shí)期最重要的成就之一就是從單聲部音樂(lè)到多聲部復(fù)調(diào)音樂(lè)形式的發(fā)展。 中世紀(jì)早期歐洲各地出現(xiàn)了不同的圣詠形式， 隨著羅馬教皇在西方教會(huì)中地位的確立， 為了規(guī)范教堂中的圣歌， 格里高利圣詠成為統(tǒng)一的規(guī)范和最高的權(quán)威。 當(dāng)時(shí)采用的 “教會(huì)調(diào)式” 被廣泛地運(yùn)用在格里高利圣詠中， 中世紀(jì)調(diào)式與古希臘調(diào)式一樣， 都是根據(jù)畢達(dá)哥拉斯律構(gòu)成的［6］。 奧爾加農(nóng)是早期復(fù)調(diào)音樂(lè)的形式， 產(chǎn)生于公元9 世紀(jì)， 在圣詠旋律下方以四、 五度平行進(jìn)行， 稱為 “平行奧爾加農(nóng)”。 到11 世紀(jì)， 奧爾加農(nóng)兩個(gè)聲部出現(xiàn)了反向或斜向的關(guān)系。 這些復(fù)調(diào)在聲部結(jié)合上主要以八度、 四度、 五度的協(xié)和音程為主， 偶爾出現(xiàn)不協(xié)和音程也只是作為經(jīng)過(guò)音程， 會(huì)立即轉(zhuǎn)向協(xié)和音程上［7］。 因此早期的奧爾加農(nóng)建立在協(xié)和音程的基礎(chǔ)上，在協(xié)和性方面與畢達(dá)哥拉斯律相吻合。 在畢達(dá)哥拉斯律的音程比例中， 三度、 六度音程被認(rèn)為是不協(xié)和音程，大三度音程頻率比為81： 64， 小三度 （32： 27）， 大六度 （27： 16）， 小六度 （128： 81）。 由于復(fù)雜的比例， 在理論上， 三度、 六度音程聽(tīng)起來(lái)是不和諧的。 人們認(rèn)為同時(shí)演奏音高為簡(jiǎn)單比的音程時(shí)， 會(huì)讓人產(chǎn)生 “和諧悅耳的感覺(jué)”。 但實(shí)際上， 大二度 （9： 8） 雖然是簡(jiǎn)單比，三度音程卻比它聽(tīng)起來(lái)更協(xié)和。 我們可以看出， 從單聲部旋律到早期奧爾加農(nóng)形式， 是從音對(duì)音之間的橫向關(guān)系過(guò)渡到音程之間的縱向關(guān)系， 并且遵循著簡(jiǎn)單音程頻率比的原則進(jìn)行創(chuàng)作。

（二） 復(fù)調(diào)音樂(lè)中不協(xié)和音程的使用

節(jié)奏模式和記譜法的出現(xiàn)為復(fù)調(diào)音樂(lè)帶來(lái)了創(chuàng)新發(fā)展。 萊奧南和佩羅坦成為中世紀(jì)圣母院樂(lè)派兩位重要的作曲家， 從他們開(kāi)始， 三聲部作曲手法已經(jīng)成為常態(tài)，甚至出現(xiàn)了四個(gè)部的音樂(lè)作品。 畢達(dá)哥拉斯律作為13、14 世紀(jì)標(biāo)準(zhǔn)的理論調(diào)音方法， 非常適合佩羅坦、 紀(jì)堯姆·德·馬肖等作曲家的作品風(fēng)格。 畢達(dá)哥拉斯律是基于純五度產(chǎn)生的律制， 協(xié)和的純音程給中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂(lè)奠定了穩(wěn)定的基礎(chǔ)。 協(xié)和音程雖然聽(tīng)起來(lái)很 “和諧” 但并不代表好聽(tīng)， 協(xié)和音程空洞、 單調(diào)的音響越來(lái)越無(wú)法滿足作曲家對(duì)和聲色彩的追求， 三度、 六度以及其他被當(dāng)時(shí)視為不協(xié)和音程也逐漸開(kāi)始使用。 從表格中我們可以看到， 在畢達(dá)哥拉斯律中， 大三度、 大六度音程比純律大三度、 大六度大約22 音分， 小三度、 小六度比純律小三度、 小六度小約22 音分。 這個(gè)差值被稱為 “畢達(dá)哥拉斯音差” （純律大三度音分值為386.31， 小三度為315.64 音分； 大六度為884.36 音分， 小六度為813.69 音分）。 因此， 在用畢達(dá)哥拉斯律進(jìn)行調(diào)律時(shí)， 所有的大三度、 大六度都是寬音程， 小三度、 小六度是窄音程。畢達(dá)哥拉斯律中的三度、 六度音程作為 “不協(xié)和音程”具有一定的張力， 使得帶有不穩(wěn)定的三度、 六度音程解決到同度、 五度、 八度的穩(wěn)定音程， 為中世紀(jì)歐洲復(fù)調(diào)音樂(lè)帶來(lái)了色彩。

畢達(dá)哥拉斯律中各音程頻率比及音分值

到了15 世紀(jì)， 歐洲大陸的音樂(lè)風(fēng)格開(kāi)始發(fā)生變化，越來(lái)越強(qiáng)調(diào)三度、 六度音程在作品中的地位， 因此尋求新的律制以適應(yīng)當(dāng)時(shí)的作曲風(fēng)格成為必然。 前面提到，簡(jiǎn)單的頻率比會(huì)產(chǎn)生協(xié)和的音程， 反之， 復(fù)雜的頻率比會(huì)產(chǎn)生不協(xié)和的音程。 基于此理論， 當(dāng)時(shí)的理論家也在思考如何將復(fù)雜的音程頻率比簡(jiǎn)單化。 大約1300 年，英國(guó)修道士、 音樂(lè)理論家兼科學(xué)家沃爾特·奧丁頓（Walter de Odington） 提出大三度和小三度的比例分別接近5： 4 和6： 5， 并且提出歌唱家傾向于這些更簡(jiǎn)單的比例。 他的觀點(diǎn)可能反映了那個(gè)時(shí)期許多英國(guó)復(fù)調(diào)的風(fēng)格， 其中三度通常在結(jié)構(gòu)中扮演著重要的角色， 甚至可以作為終止的音響。 法國(guó)作曲家兼理論家弗朗科把小六度 （8： 5） 作為協(xié)和音程， 法國(guó)理論家兼科學(xué)家里米斯把大六度 （5： 3） 作為協(xié)和音程。 這就是大約在15 世紀(jì)出現(xiàn)的純律當(dāng)中的大小三度、 大小六度的音程。 1500年來(lái)， 音樂(lè)主要是用整數(shù)比例來(lái)解釋的， 由于古希臘文明對(duì)西方文化產(chǎn)生巨大的影響， 科學(xué)家和哲學(xué)家長(zhǎng)期以來(lái)都在研究音樂(lè)和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。 中世紀(jì)后期的復(fù)調(diào)音樂(lè)中雖然出現(xiàn)了和弦， 但作曲家對(duì)于多聲部的結(jié)合是音程之間的疊加， 并沒(méi)有 “和弦” 的概念。 直到16 世紀(jì)， 主調(diào)音樂(lè)開(kāi)始出現(xiàn)， 和弦構(gòu)造才越來(lái)越明顯。

結(jié) 語(yǔ)

在歐洲早期的文化中， 數(shù)學(xué)、 宗教和音樂(lè)是相互關(guān)聯(lián)的。 在畢達(dá)哥拉斯律制的理論中， 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派確定了構(gòu)成音階基礎(chǔ)的算術(shù)、 幾何和和聲手段， 以及發(fā)現(xiàn)音樂(lè)的協(xié)和音程比例， 即純八度 （2： 1）、 純五度 （3：2）、 純四度 （4： 3）。 中世紀(jì)早期的復(fù)調(diào)音樂(lè)也是建立在協(xié)和音程的基礎(chǔ)上， 畢達(dá)哥拉斯律使所有五度音都是完美、 協(xié)和的， 但也導(dǎo)致所有大三度和大六度都以一個(gè)畢達(dá)哥拉斯音差變寬， 所有的小三度、 小六度以一個(gè)畢達(dá)哥拉斯音差變窄。 畢達(dá)哥拉斯律中不協(xié)和的三度、 六度為中世紀(jì)后期復(fù)調(diào)音樂(lè)增添了色彩， 純音程雖然帶來(lái)了穩(wěn)定的基礎(chǔ)， 但協(xié)和音程缺乏活力和張力， 而太多的不協(xié)和音程會(huì)破壞樂(lè)曲結(jié)構(gòu)整體的平衡。 中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂(lè)是為這種律制而創(chuàng)作的， 到了中世紀(jì)晚期和文藝復(fù)興時(shí)期畢達(dá)哥拉斯律已經(jīng)不再適合這一時(shí)期的音樂(lè)創(chuàng)作風(fēng)格， 也迫使新的律制的產(chǎn)生。 中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂(lè)基于但不依賴于畢達(dá)哥拉斯律， 在不斷地音樂(lè)實(shí)踐中產(chǎn)生新的律制來(lái)適應(yīng)同時(shí)期的音樂(lè)作品創(chuàng)作風(fēng)格， 新的律制也并不是畢達(dá)哥拉斯律的替代品， 而是在它的基礎(chǔ)上進(jìn)一步地優(yōu)化。