借助幾何直觀培養小學生數學核心素養

江蘇省南京師范大學附屬中學新城小學北校區 張勇成

江蘇省南京致遠外國語小學 劉 媛

一、問題提出：圖形直觀的數學意義

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，小學階段核心素養主要表現為數感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數據意識、模型意識、應用意識、創新意識。幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑。曹培英在《跨越斷層，走出誤區》一書中也介紹：一方面，直觀是數學抽象的基礎與數學認知的有力支撐；另一方面，直觀又是數學理解，乃至數學抽象的重要內涵與數學本質認識的深化。聯系小學生的發展特點，由于生理與心理上的日趨成熟，他們的求知欲發展得很快，抽象思維能力也在不斷發展，導致他們更關注知識的形成過程而不僅僅是結果。此時，如果進一步落實學生幾何直觀能力的培養，不僅可以幫助學生將抽象知識變得直觀可視，更能讓學生將原本錯綜復雜的知識進行關聯，從而探尋知識間的內在聯系。

二、教學思考：幾何直觀的應用價值

（一）化復雜為簡單，推理數學規律

在新課標中，幾何直觀主要是指利用圖表描述和分析問題的意識與習慣。這也為一線教師的課堂教學指明了方向。

比如，蘇教版數學四年級下冊“三位數乘兩位數”單元中有這樣的思考題：用0，1，2，3，4這五個數字組成一個兩位數和一個三位數，要使乘積最大，應是哪兩個數？要使乘積最小呢？解決這個問題有兩個關鍵：一是要使乘積最大，大數占高位；要使乘積最小，小數占高位；二是和一定，兩數之差越小，乘積越大；兩數之差越大，乘積越小。教學中，教師可以借助幾何直觀來分析數位及數量之間的關系，幫助學生形象直觀地理解規律中隱藏的秘密。

【情況1】乘積最大，0放在三位數的個位上

聯系圖示可知（如圖1），0和任何數相乘結果都為0。如果0放在三位數的個位上，依次要和兩位數的個位、十位相乘，相當于損耗了個位、十位；而0放在兩位數的個位上，依次要和三位數的個位、十位以及百位相乘，相當于損耗了個位、十位和百位。要使乘積最大，損耗就要盡可能小，所以0放在三位數的個位上。

【情況2】乘積最小，0放在兩位數的個位上

依舊聯系圖示（如圖2）進行上述分析。這里要使乘積最小，損耗就要盡可能大，所以0放在兩位數的個位上。

圖2

接著再研究其他數位上的數，學生就能夠順利解決了。

（二）將抽象變直觀，實現知識遷移

借助幾何直觀可以建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型。在實際課堂教學中，筆者也通過嘗試發現，借助幾何直觀不僅能夠幫助學生發現圖形深層次的含義，直觀理解數學，記憶某些結論，發展重要的學習能力，還能夠幫助學生實現知識的遷移，建立起新舊知識之間的聯系。如在蘇教版數學五年級下冊“和的奇偶性”一課中，筆者主要設計了以下三個環節：

【環節1】教師出示三個抽獎轉盤（如圖3）和游戲規則：轉動轉盤，若指針指著的兩數相加的和是奇數，則中獎。通過調動學生生活中參加游戲中獎的經驗，激起他們探究的欲望，引導他們思考：“為什么沒有中獎？怎樣才能中獎？”學生自然調動原有經驗舉例驗證，繼而發現，要判斷兩個數和的奇偶性可以直接計算個位上的數相加的和。

圖3

【環節2】基于舉例驗證得出猜想正確后，教師提出“以形助數”的驗證方法（如圖4）：如果用1個方格表示1，2個方格就表示2，3個方格就表示3，以此類推，這里第一行表示的都是奇數，第二行表示的都是偶數，結合數的奇偶性，學生會發現：偶數對應的都是完整的正方形或長方形，奇數對應的不是完整的圖形，或表示奇數的都多1格，表示偶數的都正好擺成2排。幫助學生通過圖示深層次理解奇偶數及其求和后的特點，借助幾何直觀，為學生打開了驗證規律的另一扇窗。接著，教師利用所給的材料，鼓勵學生合作探究其他的驗證方法，拼圖驗證兩個不是0的自然數的和的奇偶性。學生在拼擺過程中總結出結論：偶數＋偶數＝偶數、奇數＋奇數＝偶數、偶數＋奇數＝奇數。

圖4

【環節3】學生繼續通過方格圖逼近知識本質，通過分類討論三種情況：若干個偶數相加的和是偶數；奇數個奇數連加的和是奇數；偶數個奇數連加的和是偶數。

和的奇偶性問題本身是十分抽象的，但借助方格圖的直觀性作為形象支撐，通過層層遞進的方式一步步把兩個或幾個數相加的和的奇偶性規律展示出來，既滲透了數形結合、轉化、化歸等數學思想，又更有效地提升了學生的數學素養。

（三）由內隱到外顯，掌握數學本質

比較、溝通和聯想是幫助學生由內隱走向外顯，探尋知識本質的基本路徑。曹培英也在《跨越斷層，走出誤區》一書中指出，溝通同類事物內在的聯系，可實現幾何直觀的結構意義。可見，用幾何直觀聯結“數”與“形”之間的關系，可以充分激發學生的推理能力，提升學生的創新意識，從而幫助學生更加深刻地理解數學知識的本質，靈活運用數學思想方法。

在教學蘇教版數學六年級上冊“分數乘分數”一課時，筆者通過課前調查發現，不少學生已經在課前基本學會了分數乘分數的算法，那么，理解分數乘分數的算理、溝通算理和算法之間的聯系便成了本節課的重中之重。在這里，筆者也設置了三個環節：

【環節1】“數”“形”結合，初探算法

先出示例題（如圖5），讓學生嘗試列式并猜測結果，再鼓勵其用學過的方法證明結論。在這個問題中，正確計算出結果并不難，但對于為什么用分子相乘的積做分子、分母相乘的積做分母，學生并不清楚。因此，教學時要讓學生用自己學過的知識證明對此，多數學生用的是化成小數的做法（如圖6），極個別的用了畫圖的方法（如圖7）。此時，教師可以引導學生意識到：將“數”和“形”進行溝通，可以清晰地看到算法中隱藏的道理。

圖5

圖6

圖7

【環節2】由“數”到“形”，理解算理

在學生已經能用“化成小數”和“畫長方形圖”兩種方法證明分數乘分數的基礎上，繼續鼓勵學生證明的結果。這時，不能化成有限小數，這就激發了學生的又一次反思——可以用畫圖的方法來證明。經過層層遞進的環節，學生在一次又一次反思的過程中，借助幾何直觀的“可視性”，慢慢接近了分數乘分數的算理。

【環節3】由“形”到“數”，融通理法

教材中提供的是靜態的結果圖，所以筆者在學生經歷了用畫圖的方法找出分數乘分數的結果的過程后，反其道而行，鼓勵學生根據圖示寫出算式，再一次利用幾何直觀讓學生溝通算理和算法之間的聯系。經過前兩個環節，這里學生看到的雖然是靜態圖，但是已經可以通過聯想，化靜態圖為動態圖（如圖8）。

圖8

像這樣，學生在算式和幾何直觀中建立“數”與“形”的聯系，不斷經歷由反思到重構的過程，將思維從幾分之一乘幾分之一延伸到幾分之幾乘幾分之幾，乃至分數乘整數，直觀感受分數乘分數的算法，揭示分數乘分數算理的本質，逐步完成對分數乘法計算法則的整體建構。

三、實踐探索：幾何直觀的實施路徑

幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念和方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。培養學生的幾何直觀能力具有重要意義。對于如何切實培養學生的幾何直觀能力，筆者也嘗試進行了一些思考。

（一）釋意義：在直觀中豐富數形經驗

幾何直觀通過直觀感知、數形結合，可以培養學生的幾何直觀能力。比如，在平均數問題中，借助條形圖的直觀性進行分析，可以抽象出“求平均數”的本質即“移多補少”；在近似數意義的理解中，也可以借助數軸，直觀地感知“四舍五入”中“幾十五”約等于后一個整十數的道理。

在蘇教版數學五年級上冊“小數的近似數”一課，有一道思考題：“有一個三位小數，精確到百分位是4.80。這個三位小數最大是多少？最小呢？”對于這一問題，多數學生采取的是“分析法”，即要想三位小數最大，千分位需要“四舍”，所以4.80不變，千分位寫4，也就是三位小數最大是4.804；反之，要想三位小數最小，千分位需要“五入”，那么4.79可以通過“五入”得到4.80，這時千分位還要盡可能地小，也就是三位小數最小是4.795。但是，其中的道理如何幫助學生理解呢？可以用“數軸”來直觀地分析。在數軸中（如圖9），先固定4.80的位置，根據“沿著正方向（一般從左往右，以箭頭指向為準）數軸上的數越來越大”，先確定近似數為4.80的三位小數的取值范圍在4.79～4.81，即固定數軸中4.79和4.81的位置。接著，在兩位小數的基礎上繼續關注千分位，縮小取值范圍：根據四舍五入原則，大于4.79而小于4.80的三位小數中，4.795為近似于4.80的最小值，同理，大于4.80而小于4.81的三位小數中，4.804為最大值，從而最終確定了準確結果。

圖9

這樣，不僅為學生創造機會積累數形經驗，用圖形直觀闡釋小數近似值的確定方法，也在不斷縮小取值范圍的分析中滲透數形結合思想。

（二）理關系：在操作中助力概念理解

學生幾何直觀能力的培養不能只是停留在畫圖、看圖、分析圖的層面上，還要有剪、拼、折、圍等操作活動，這樣才能更好地把數學知識由抽象變為具體。在幾何圖形概念的教學中，如果能通過操作直觀地進行深入觀察，往往能幫助學生對幾何圖形建立深刻的表象體驗，引發學生深度思考，從而更準確地把握幾何圖形的要素。

如蘇教版數學四年級下冊“認識三角形”一課的教學。在理解三角形特征的環節，教師提供了火柴棒、毛線、點子圖和釘子板四種工具，鼓勵學生通過擺一擺、拉一拉、畫一畫、圍一圍等方法做一個三角形。交流時，讓學生在充分體驗的基礎上對三角形的概念進行提煉，總結出“三條線段”“首尾相接”“圍成”等要素。最后，利用生成的資源激發學生深度思考的意識，提出“回顧做三角形的過程，你覺得有哪些注意點”這一問題，為學生提供完整的反思機會，從而為學生由深入觀察到深刻體驗，最終走向深度思考畫上一個完整的句號。

整個環節中，不僅借操作幫助學生積累幾何直觀經驗，也利用歸納思想對不同方法制作出的三角形特點進行要素提煉，并歸納總結出三角形的概念，使學生對三角形的理解從感性層面上升到理性層面。

（三）明數理：在形象中掌握知識本質

“‘形’缺‘數’時難入微，‘數’缺‘形’時少直觀”是著名數學家華羅庚先生的名言。數形結合思想便是掌握數學本質的有力抓手，充分運用圖形的直觀功能，在形象中看透抽象本質，可以使學生的數學理解力逐步提升。

教學蘇教版數學五年級下冊“解決問題的策略——轉化”一課時，筆者發現在計算的結果時，幾乎所有學生都不約而同地選擇了通分，甚至有學生嘗試將分數逐一轉化成小數后再進行加法計算。基于學情，筆者將練習題進行了調整：計算。此時，“通分”和“化小數”的方法都不方便，以此激發學生探究新策略的欲望。這樣，通過“形”來解決問題就顯得很重要。學生可以把正方形看作單位“1”，結合已有經驗以及分數的意義，迅速領悟到其中的奧妙（如圖10）：這些分數相加的和，就是單位“1”減去最后剩下部分的差，而最后的剩下部分對應的就是最小的那個加數，從而發現

圖10

探究過程中，學生通過數形結合的直觀分析，不僅可以掌握數學知識的本質，更能深刻地體會到轉化思想帶來的無窮魅力。

（四）找方法：在簡明中拓展思維空間

歸納推理也是小學階段一種重要的數學思想，常常以特殊為起點，尋求解決問題的一般方法和規律，再反過來指導特殊問題的解決。

再以蘇教版數學五年級下冊“解決問題的策略——轉化”為例，練習中出現了三組題：“練一練”的第2題，實質是啟發學生將求一組連續自然數和的連加算式轉化為可以用乘法計算的同數連加算式；“練習十六”的第5題，既可以借助“練一練”第2題的經驗，轉化用乘法計算的同數連加算式，也可以聯系平均數的特點直接確定這九個數的平均數，旨在鼓勵學生根據題目特點合理選擇；而“練習十六”的第7題則以形助數，把從1開始的連續奇數相加借助直觀圖轉化成求一個數的平方。三組題目同為數列求和問題，但各有偏重，這是“同中見異”的落腳點，但亦有“異中求同”的生長點，即都在豐富學生轉化思想的經驗。所以筆者也進行了大膽的嘗試：將三組問題編為一組，先逐一呈現，深挖其落腳點，再合并觀察比較，生發其共同處——無論是連續自然數求和，還是連續奇數相加，每組數中相鄰兩數的差是一定的，從而歸納出等差數列的求和一般方法。

這樣，把內容放在知識體系中研究，關注前后知識的銜接，同中見異、異中求同，將學習研究的素材合理編排，這才是有效發展學生數學素養的重要保證。

正如數學家希爾伯特在《直觀幾何》中所描述的那樣，“圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結果。”可見，只要教師留心觀察、積極思考，以讓學生親身經歷與數學相關的學習過程為設計理念，將幾何直觀作為有力抓手，就能為學生思維的發展、能力的提升添磚加瓦。