素養視域下數的運算一致性新探

廣東省深圳市龍崗區華南師范大學附屬平湖學校 祝旭瑞

一致性，包括數的認識，即整數、分數、小數表達的一致性，也包括數的運算，即整數、分數、小數運算的一致性，同時，數與運算之間也具有一致性。所謂“一致性”，就是要經歷一個再抽象的過程，使其擺脫現實背景和實際意義，達到一個數學化的過程。這樣的過程，有利于學生感悟數學的本質，形成和發展核心素養，實現真正的減負提質。對于“數的認識”和“數的運算”這兩個如此獨立又緊密聯系的龐大的內容體系，筆者將重點討論數的運算的一致性。

一、加、減法運算的一致性

伴隨著自然數的產生，加法運算應運而生。加法的本質是一個一個地往前數數，也可以看作一個一個單位累加的過程。而減法則是加法的逆運算，是從某一個數開始，一個一個地往回數數，也就是一個一個單位遞減的過程。

實際教學中，有兩種方法可以認識加法，一個是基于定義的方法，一個是基于對應的方法。在實際教學中，更多教師采用第一種方法。例如，3+1=4，為什么這樣得到的就是4呢？從自然數的定義，我們可以知道4=3+1，故利用對稱性就得到了3+1=4。而這種方法雖然可以幫助學生掌握算法，但是不利于學生理解數學概念之間的關系。第二種方法，哪邊的方塊多呢？學生很容易看出4個比3個多，也就是4比3大，那么左邊再放一個小方塊呢，此時哪邊的方塊多？左邊等于右邊，這樣解釋就突出了兩邊的量相等，減法亦然。這種方法既可以幫助學生體會“量相等”的本質，還有助于學生感悟數學符號化思想、對應思想等。

認識了加、減法的本質，我們再從計數單位的角度來看加、減法。在教加法時，教師可以用撥計數器、畫圖、列豎式、列橫式等各種形式來幫助學生理解算理，但無論形式如何變化，本質就是相同計數單位上的數累加的過程，在這個過程中，涉及“滿十進一”“位值”等核心要素。對于小數而言，由于小數與整數的形式相同，教學中教師可以引導學生根據整數加法的經驗自主完成算法遷移，掌握小數加法。對于分數加法，雖然形式不同，但引導學生先通分、再相加，在本質上與整數和小數加法是一致的，都是對相同的計數單位上的數進行累加，體現了加法的一致性。

減法是加法的逆運算，所以本質上是相同計數單位上的數遞減的過程，與加法涉及的核心要素相同。但值得一提的是，當某個數位上的數不夠減時，我們需要將前一位上的數化一當十，也是滿十進一的逆過程，這是將單位不斷細分的過程，也是學生理解算理的重難點。這點在整數、小數、分數減法中是一致的，從單位細分的角度也體現了減法的一致性。

二、乘法運算的一致性

乘法是對加法的簡便運算。“分數乘法”屬于北師大版數學五年級下冊第三單元的內容，整個單元內容由“分數乘法（一）（二）”（分數乘整數），“分數乘法（三）”（分數乘分數）和“倒數”各部分內容組成。分數乘法的意義在繼承整數乘法和小數乘法意義的基礎上，又有它自身的特殊性。整個單元各部分之間的內容層層遞進，有著緊密的關聯。接下來，筆者以分數乘法為例，分別從乘法意義的維度和計數單位的維度來感受乘法運算的一致性。

（一）以“倍”統領，體現乘法意義的一致性

隨著數系的擴充，整數乘法的意義也被應用于小數乘法和分數乘法中，小數乘法和分數乘法也可以看作求幾個相同加數的和。例如北師大版教材中，一張松樹卡片占整張紙條的，3張松樹卡片占整張紙條的幾分之幾？此處是求3個的和是多少，也就是求的3倍是多少，列式為“×3”。第二個課時中，奇思吃了6塊餅干，而笑笑吃的餅干數是奇思的，也就是求6的是多少。此時，教師會發現，學生對于理解6的如何列式計算有些難度。這時，教師可以引導學生聯想整數乘法：6的2倍是多少？6的1倍是多少？學生很容易類比推測到6的也用乘法，只是不滿1倍，通常不用“倍”字來表達。同理類推，第三課時中找1的是多少，的是多少，的是多少時，也都是用乘法來解決。此時，學生能夠體會到乘法意義在整數、小數、分數中的一致性，只是在通常情況下，當倍數小于1時，“倍”字可省略。

（二）以“計數單位”統領，體現乘法運算的一致性

計數單位是“數與運算”這一領域的核心概念，教師應如何圍繞核心概念的理解與核心素養的培育，通過溝通關聯，幫助學生理解運算本質的一致性呢？筆者以“分數乘法”單元中“分數乘分數”這節課為例。學生在學習這節課時，不難掌握分數乘分數的運算法則，是用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。但顯然只知道計算的方法是遠遠不夠的，教師還要幫助學生更好地理解算理。在授課之前，教師可以思考這樣幾個問題：（1）分數乘分數，分母乘分母的積表示什么？分子乘分子的積表示什么？（2）前面在學習分數加減法時，是先通分，再加減，那么分數乘分數，為什么不用“通分”？（3）整數乘整數、小數乘小數、分數乘分數，三者之間的內在聯系是什么？

北師大版教材和人教版教材都是結合直觀圖形，引導學生比較算式和計算結果的數值之間的關系后，合理地推出運算的法則，但是，回歸分數乘法的本質，假如繼續追問：“圖中的2個3表示的意義一樣嗎？”顯然，不一樣，第一個3表示3個，第2個3表示3個，計數單位發生了變化，而這個部分對學生來說，是很難想到，也是很難理解的。（見圖1）

圖1

那么，如何突破這個重難點呢？張奠宙教授曾提出，如果分數可以表示為某線段的長度，那么，兩個分數相乘的積，就是以這兩個分數所表示的線段為邊長所構成的矩形的面積。聯想長方形面積的推導過程，就是用小方塊（面積單位）去鋪，看看一共需要多少個這樣的小方塊（面積單位的數量）。同樣的方法，遷移到分數乘法中來，學生比較容易畫出長米、寬米的長方形。接下來，教師引導學生結合長方形面積來理解“4×4”的含義以及“3×1”的含義。需要注意的是，學生比較容易觀察到16份（個）小方塊，取其中的3份（個）。此時，教師要有意識地引導學生繼續往更深一層去思考，每個小方塊還表示6平方米。這個過程中，產生了一個新的分數單位，而總共有“3×1”個這樣的分數單位。其實，在四年級下冊學習小數乘法時，學生也是用的這樣的方法。最終，我們可以發現，乘法計算都是在解決計數單位是什么以及有多少個這樣的計數單位的問題。

學生通過畫圖直觀理解了分數乘法的算理，那么整數乘整數、小數乘小數、分數乘分數，三者之間的內在聯系是什么？運用拆分以及乘法的交換律和結合律，我們可以發現，從計數單位的角度來審視整數乘法、小數乘法和分數乘法，乘法運算是個數乘以個數、計數單位乘以計數單位的運算，最終會產生新的計數單位以及計數單位的個數，三者的數學本質是完全一致的，只是表現方式不同，也就是乘法運算具有一致性。

三、除法運算的一致性

與減法是加法的逆運算類似，除法是乘法的逆運算。因此，在解決除法的問題時，教師通常可以引導學生借助乘法來理解。接下來，筆者就以分數除法為例，說明除法運算的一致性。

歸納以上，數的運算本質是對計數單位的操作（累加、遞減、細化）。而關于數與運算的主題學習，教師要注重推理，發展思維，落實核心素養。教師把握好數學本質的深度，才能更好地引導學生通理通法，掌握本質，建立結構的整體化。在教學的過程中，教師特別要注重遷移，從未知到已知；注重推理，讓學生從會算到會想；注重系統，從散點到結構，也就是要建好核心知識、核心素養的“承重墻”，打通知識之間的“隔斷墻”，建立起整體的結構；注重關聯，從表象到本質，讓學生體會數的運算的一致性，落實核心素養。